【材料力学】ひずみエネルギー (II-04 2018)

【材料力学】ひずみエネルギー (II-04 2018)

• 1.
  ひずみエネルギー 3. 各種弾性ひずみエネルギーを求められる 2. 弾性ひずみエネルギー密度から 応力・ひずみを求められる 1.ひずみエネルギーを説明できる 目標 1/15
• 2.
  ひずみエネルギー PA O δA A δ P 内部エネルギー増分 = 外力Pがする仕事 U＝ Uelastic Uplastic＋ Uplastic 塑性変形に 使われる PdδU ＝ 0 δA ひずみエネルギー 変形により増加する材料内部のエネルギー 2/15 Uelastic 貯えられる 除荷
• 3.
  ひずみエネルギー密度 σA O εA A ε σ 単位体積あたりのひずみエネルギー 除荷 *UplasticUelastic * σdεU* ＝ 0 εA U ＝ Uelastic Uplastic＋ * * * ∂ ∂ ε U* ＝ σ τ dγUS *＝ 0 γ せん断変形 ∂ ∂ γ US * ＝ τ 3/15 σ：単位面積 ε：単位長さ 単位体積 ＝ ×
• 4.
  補ひずみエネルギー密度 U* U* 単位体積あたりのひずみエネルギー γ dτUS *＝ 0 τ せん断変形 ∂ ∂ τ US * ＝ γ 4/15 σA εA A ε σ ∂ ∂ σ U* ＝ε ε dσU* ＝ 0 σ
• 5.
  弾性ひずみエネルギー密度 σ, τ ε, γO 弾性域のひずみエネルギー密度 U* U * ∂ ∂ ε U* ＝ σ ∂ ∂ σ U* ＝ ε ∂ ∂ ε U* ＝ σ ∂ ∂ σ U* ＝ ε ひずみで偏微分 → 応力 応力で偏微分 → ひずみ 5/15 U * U * 補ひずみエネルギー密度 ひずみエネルギー密度 ＝
• 6.
  PT δT ℓ E：ヤング率 A：断面積 P δO δT PT UT ＝ 2 1σ A εℓ・ UT *＝ V 弾性ひずみエネルギー（引張り） 2 σε UT * ＝ ＝ 2 Eε2 ＝ 2E σ2 PT δTUT 2 1 ＝ PT ＝ σ A δT ＝ εℓ 6/15 A 2 σε＝ ℓ σ＝E ε∵ 弾性ひずみエネルギー密度
• 7.
  弾性ひずみエネルギー（せん断） PS ＝ τA δS ＝ γℓ PS δSUS 2 1 ＝ US ＝ 2 1 τ A γℓ・ ＝ US *＝ V 弾性ひずみエネルギー密度 ＝ 2 Gγ2 ＝ 2G τ2 ＝US * 2 τγ 変形前 変形後 P δO δS PS G：横弾性係数 A：断面積 7/15 2 τγ Aℓ τ＝Gγ∵
• 8.
  弾性ひずみエネルギー（曲げ） σ I M y＝ y A 2 dAI＝ x y M ＝ （ ）I M 2 y dA dx 2E 1 8/15 の弾性ひずみエネルギー 2E σ2 dA dx＝ddUB ：はりの長さℓ E：ヤング率 A：断面積
• 9.
  弾性ひずみエネルギー（曲げ） σ I M y＝ dUB＝ A 2E 1 I M 2 y（ ）dAdx 2EI M 2 2 y A 2 dAdx＝ y A 2 dAI ＝ ＝ 2EI M 2 dx x y M 9/15 の弾性ひずみエネルギー ddUB A dUB ＝ ：はりの長さℓ E：ヤング率 A：断面積
• 10.
  弾性ひずみエネルギー（曲げ） σ I M y＝ y A 2 dAI＝ ＝ ℓ 0 2EI M 2 dx x y M はり 全体の弾性ひずみエネルギー UB ＝ ℓ 0 dUB ：はりの長さℓ E：ヤング率 A：断面積 10/15
• 11.
  弾性ひずみエネルギー（ねじり） ddUTS ＝ GIp T 2 2 πρ3 dxdρ ＝ 2G τ2 {}（ ）π ρ dρ＋ 2 − ρπ 2 dx ＝ 2G τ2 （ ）π 2ρ dρ＋ dρdx ~− G τ2 π ρdρdx = ρ Ip Tτ T dx の弾性ひずみエネルギー Ip＝ 2 πr4 ∵ 11/15 ：軸の長さℓ
• 12.
  弾性ひずみエネルギー（ねじり） = ρ Ip Tτ T dx の弾性ひずみエネルギー 0 ＝ r GIp T 2 2 πρ3 dxdρ ddUTS 0 r dUTS＝ 2 1 ＝ GIp T 2 22 πr4 dx ＝ 2GIp T 2 dx Ip＝ 2 πr4 ∵ 12/15 ：軸の長さℓ
• 13.
  弾性ひずみエネルギー（ねじり） = ρ Ip Tτ T dx 軸全体の弾性ひずみエネルギー ＝ 2GIp T 2 ℓ ℓ 0 dx＝ 2GIp T 2 ＝ 2 Tθ ねじれ角 GIp Tℓ＝θ∵ ℓ UTS ＝ 0 dUTS 13/15 ：軸の長さℓ
• 14.
  弾性ひずみエネルギーのまとめ 2 σε UT * ＝ ＝ 2 Eε2 ＝ 2E σ2 US * ＝ ＝ 2 Gγ2 ＝ 2G τ2 2 τγ 弾性ひずみエネルギー密度 垂直応力（引張） せん断応力（せん断） 弾性ひずみエネルギー UB＝ ℓ 0 2EI M 2 dx ℓ 0 dxUTS ＝ 2GIp T 2 曲げ ねじり ：棒の長さℓ ：はりの長さℓ 14/15
• 15.
  まとめ 3. 各種弾性ひずみエネルギーを求められる 2. 弾性ひずみエネルギー密度から応力・ひずみを求められる 1.ひずみエネルギーを説明できる 垂直応力 せん断応力 曲げ ねじり 15/15 ひずみエネルギー：変形により増加する材料内部のエネルギー ひずみエネルギー密度 補ひずみエネルギー密度 ひずみで偏微分 → 応力 応力で偏微分 → ひずみ 一般には