Downloaded 591 times
![KEKONTINUAN
Fungsi f(x) dikatakan kontinu pada suatu titik x = a bila nilai limit f(x) pada x
mendekati a sama dengan nilai fungsi di x = a atau f(a).
f disebut kontinu jika bersambung (grafis) secara analisis :
1. Nilai fungsinya ada
f (a) terdefinisi atau f (a) R
2. Nilai limitnya ada (limit kiri sama dengan limit kanan)
=
3. Nilai fungsinya sama dengan nilai limitnya
= f (a)
Fungsi f(x) dikatakan kontinu pada interval buka ( a,b ) bila f(x) kontinu pada
setiap titik di dalam interval tersebut. Sedangkan f(x) dikatakan kontinu pada interval
tutup [ a,b ] bila :
1. f (x) kontinu pada (a,b)
2. f (x) kontinu kanan x = a,
3. f (x) kontinu kiri x = b ,](https://image.slidesharecdn.com/keterkaitanantarafungsilimitkekontinuanturunandanintegral-111231052515-phpapp01/75/Keterkaitan-antara-fungsi-limit-kekontinuan-turunan-dan-integral-8-2048.jpg)
![INTEGRAL
A. DEFINISI INTEGRAL
Misalkan f (x) adalah suatu fungsi umum yang bersifat f ‘ (x) = f(x) atau f (x). dalam
hal ini f(x) dinamakan senagai anti turunan atau himpunan pengintegralan dari fungsi f ‘ (x) =
f (x).
B. SIFAT-SIFAT INTEGRAL
1. = x +c
= ax +c
2. dx
3. dx
dx = + c dengan n ≠ -1
Sifat-sifat Integral Tertentu :
1.
2.
3. =b–a
4. = k (b – a) , k = konstanta
5.
6.
7. = ,a<b<c
8. a) jika f (x) ≥ 0 dalam interval a ≤ x ≤ b, maka
b) jika f (x) ≤ 0 dalam interval a ≤ x ≤ b , maka
9. jika m dan M adalah nilai minimum dan maksimum fungsi f pada [a,b], maka :
m (b – a) ≤ ≤ M (b – a)
10. jika F (x) adalah anti turunan fungsi f (x) dx = F (b) – F (a)](https://image.slidesharecdn.com/keterkaitanantarafungsilimitkekontinuanturunandanintegral-111231052515-phpapp01/75/Keterkaitan-antara-fungsi-limit-kekontinuan-turunan-dan-integral-10-2048.jpg)
Uploaded byKurcaci Kecil
Keterkaitan antara fungsi, limit, kekontinuan, turunan, dan integral
Dokumen ini membahas hubungan antara fungsi, limit, kekontinuan, turunan, dan integral dalam matematika dasar untuk fisika. Terdapat penjelasan tentang definisi dan sifat berbagai jenis fungsi, serta penerapan konsep-konsep tersebut dalam penyelesaian soal limit, turunan, dan integral. Juga dijelaskan aplikasi turunan dalam bidang ekonomi dan fisika, serta pentingnya fungsi dalam kalkulus.
More Related Content
Similar to Keterkaitan antara fungsi, limit, kekontinuan, turunan, dan integral
Keterkaitan antara fungsi, limit, kekontinuan, turunan, dan integral
- 1. TUGAS KELOMPOK MATEMATIKA DASAR UNTUK FISIKA “KETERKAITAN ANTARA FUNGSI, LIMIT, KEKONTINUAN, TURUNAN, DAN INTEGRAL” DISUSUN OLEH : 1. DIAH SETYORINI {NIM : 4201411001} 2. TRI HANDAYANI {NIM : 4201411012} 3. RIZQI YULIARTI {NIM : 4201411016} 4. DEKA FERIANA {NIM : 4201411019} ROMBEL : 03 JURUSAN : FISIKA PRODI : PENDIDIKAN FISIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS NEGERI SEMARANG 2011
- 2. FUNGSI A. DEFINISI FUNGSI Dalam matematika, yang dimaksud dengan fungsi adalah aturan memetakan setiap objek x di suatu himpunan D (daerah asal) ke sebuah objek tunggal y di himpunan E (daerah hasil). Fungsi biasanya dilambangkan dengan huruf kecil seperti f atau g. Lambang f : D E berarti f adalah fungsi dari D ke E. Fungsi merupakan hal yang mendasar dalam kalkulus. Misalkan diketahui himpunan A dan B, dan R adalah suatu cara yang menghubungkan atau mengkaitkan elemen A dengan elemen B. Dikatakan terdapat suatu relasi R antara A dan dengan sifat : f mengkaitkan setiap elemen A dengan satu dan hanya satu elemen B. f disebut fungsi dari A ke B dan dapat ditulis : f :AB. Syarat fungsi adalah semua domain (daerah asal) mempunyai pasangan pada kodomain (daerah lawan). Fungsi : A B Domain Kodomain Bukan fungsi : A B
- 3. Domain Kodomain Dalam fungsi terdapat beberapa istilah, yakni : 1. Daerah Asal (domain) , yang dilambangkan dengan Df 2. Daerah Hasil (range) , yang dilambangkan dengan Rf 3. Daerah Lawan (kodomain) B. SIFAT-SIFAT FUNGSI 1. Fungsi Injektif (fungsi satu-satu) Fungsi f dikatakan satu-satu jika untuk setiap dua unsur beda di A mempunyai peta yang beda. Definisi ini dapat ditulis sebagai berikut : , A, ≠ ,f( f( ) A B f( ) f( ) Contoh : Diketahui f : R R , f (x) = Penyelesaian : Ambil sembarang , R, ≠ , jadi : ( - ) ≠ 0 dan ( + . + )≠0 Jelas f ( f( ) = = ( - )( + . + ) ≠ 0 Jadi f ( f( )≠0 Jadi , R, ≠ ,f( f( ) Jadi f suatu fungsi injektif 2. Fungsi Surjektif
- 4. Fungsi f dikatakanpada surjektif jika Rf = B. Definisi ini dapat ditulis sebagai berikut: B, y A B Contoh : Diketahui f : R R , f (x) = 2x 1 Penyelesaian : Ambil sembarang x R Maka x = 2 1, pilih y = R Jelas f (y) = 2 1=x Jadi R, y Jadi f merupakan suatu fungsi surjektif. 3. Fungsi Bijektif Fungsi f : I R dikatakan bijektif apabila fungsi f merupakan fungsi injektif dan sekaligus fungsi surjektif. A B
- 5. C. Beberapa JenisFungsi Riil 1. Fungsi polinom (suku banyak) Memiliki bentuk : f (x) = + + ……. + x+ ……. bilangan riil ; ≠ 0 , n bilangan bulat positif. Polinom di atas disebut berderajat n. Contoh : f (x) = + + 2x 8 adalah polinom berderajat 3. 2. Fungsi Aljabar Adalah suatu fungsi y = f (x) yang memenuhi persamaan berbentuk : + + ……. + x) y + (x) = 0 Dimana (x) suatu polinom dalam x. Contoh : f (x) = 2x 24 ataupun f (x) = merupakan fungsi aljabar rasional. Sedangkan f (x) = x + merupakan fungsi aljabar tidak rasional. 3. Fungsi Transenden Merupakan fungsi yang bukan fungsi aljabar. Beberapa fungsi transenden yang khusus : a. Fungsi eksponensial f (x) = ,a≠0,1 b. Fungsi logaritma f (x) = a log x , a ≠ 0 , 1 4. Fungsi Trigonometri Memiliki bentuk antara lain : sin x , cos x , tg x , ctg x , sec x , dan cosec x 5. Fungsi Identitas (Kesatuan) Suatu fungsil Riil yang berbentuk f (x) = x untuk x variabel y, disebut Fungsi Identitas, ditulis f = I. dapat ditulis dengan notasi : I (x) = x , x A 6. Fungsi Invers (Kebalikan) dinamakan fngsi invers dari f jika memenuhi f=f = I. D. Definisi operasi pada fungsi : (f + g)(x) = f (x) + g (x)
- 6. (f g)(x)= f (x) g (x) (f . g)(x) = f (x) . g (x) (f / g)(x) = f (x) / g (x)
- 7. LIMIT FUNGSI A. SIFAT-SIFATLIMIT : misalkan f dan g dua buah fungsi dan k R 1. =k 2. =c 3. =k 4. = + 5. = 6. = . 7. = 8. = ,n N B. SIFAT-SIFAT LIMIT FUNGSI TRIGONOMETRI 1. = sin c dan = cos x 2. =1 dan =1 3. =1 dan =1
- 8. KEKONTINUAN Fungsi f(x) dikatakan kontinu pada suatu titik x = a bila nilai limit f(x) pada x mendekati a sama dengan nilai fungsi di x = a atau f(a). f disebut kontinu jika bersambung (grafis) secara analisis : 1. Nilai fungsinya ada f (a) terdefinisi atau f (a) R 2. Nilai limitnya ada (limit kiri sama dengan limit kanan) = 3. Nilai fungsinya sama dengan nilai limitnya = f (a) Fungsi f(x) dikatakan kontinu pada interval buka ( a,b ) bila f(x) kontinu pada setiap titik di dalam interval tersebut. Sedangkan f(x) dikatakan kontinu pada interval tutup [ a,b ] bila : 1. f (x) kontinu pada (a,b) 2. f (x) kontinu kanan x = a, 3. f (x) kontinu kiri x = b ,
- 9. TURUNAN A. SIFAT-SIFAT TURUNAN 1. Turunan fungsi konstan, yaitu f (x) = a, a konstanta maka f (x) = 0 f (x) = = =0 2. Turunan fungsi pangkat positif dari x , yaitu f (x) = f (x) = , maka f ‘ (x) = n 3. Turunan f (x) = a dengan a konstanta dan n bilangan positif atau rasional f (x) =a , maka f ‘ (x) = a n 4. Turunan pangkat negative dari x, yaitu f (x) = f (x) = , maka f ‘ (x) = - atau f (x) = maka f ‘ (x) = -n 5. Turunan pada limit f ‘ (x) = 6. Pada operasi limit fungsi a. (f + g)’(x) = f (x) + g’(x) b. (f – g)’(x) = f (x) – g’(x) c. (cf)’(x) = cf(x), c konstanta d. (f.g)’(x) = f (x) g’(x) + g (x) f (x) e. (f / g)’(x) = , g (x) ≠ 0
- 10. INTEGRAL A. DEFINISI INTEGRAL Misalkan f (x) adalah suatu fungsi umum yang bersifat f ‘ (x) = f(x) atau f (x). dalam hal ini f(x) dinamakan senagai anti turunan atau himpunan pengintegralan dari fungsi f ‘ (x) = f (x). B. SIFAT-SIFAT INTEGRAL 1. = x +c = ax +c 2. dx 3. dx dx = + c dengan n ≠ -1 Sifat-sifat Integral Tertentu : 1. 2. 3. =b–a 4. = k (b – a) , k = konstanta 5. 6. 7. = ,a<b<c 8. a) jika f (x) ≥ 0 dalam interval a ≤ x ≤ b, maka b) jika f (x) ≤ 0 dalam interval a ≤ x ≤ b , maka 9. jika m dan M adalah nilai minimum dan maksimum fungsi f pada [a,b], maka : m (b – a) ≤ ≤ M (b – a) 10. jika F (x) adalah anti turunan fungsi f (x) dx = F (b) – F (a)
- 11. CONTOH FUNGSI YANG AKAN DICARI LIMIT, KEKONTINUAN, TURUNAN, DAN INTEGRAL, BESERTA GRAFIKNYA 1. Diketahui Tentukan : a. b. c. Apakah kontinu pada x=1 d. Integral fungsi tersebut e. Turunan fungsi tersebut f. Grafik Penyelesaian: a. Maka untuk b. Maka untuk c. Ya, fungsi tersebut kontinu pada x=1 karena limit fungsi kanan sama dengan limit fungsi kiri. d. Untuk Untuk ,x>1 e. Untuk
- 12. f ‘(x) = = = = = 2x + h = 2x + (0) = 2x Untuk f ‘ (x) = = = = = = 2x + (0) – 1 = 2x – 1 f. Grafik fungsi 12 10 8 6 Series1 4 2 0 -4 -2 0 2 4
- 13. 2. Diketahui : Tentukan: a. b. c. Apakah kontinu pada x=-1? d. Integral fungsi tersebut e. Turunan fungsi tersebut Penyelesaian: a. b. c. Ya, fungsi tersebut kontinu pada x=-1 karena limit fungsi kanan sama dengan limit fungsi kiri. d. Untuk Untuk e. f ‘ (x) = = = = = 2x + h = 2x + (0) = 2x
- 14. Untuk f ‘ (x) = = = = f. Grafik fungsi 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 Series1 3. Tentukan: a. b. c. Apakah kontinu pada x=-3? d. Integral fungsi tersebut e. Turunan fungsi tersebut Penyelesaian: a. b.
- 15. c. Ya, karenafungsi tersebut kontinu pada x=-3 karena limit fungsi kanan sama dengan limit fungsi kiri. d. Untuk e. untuk f ‘ (x) = = = = =2 Untuk f ‘ (x) = = = = =1 f. Grafik fungsi
- 16. 0 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 -2 -4 -6 Series1 -8 -10 -12 -14 4. Tentukan : a. b. c. Apakah kontinu pada x=5 d. Integral fungsi tersebut e. Turunan fungsi tersebut Penyelesaian: a. Maka untuk b. Maka untuk c. Ya, karena fungsi tersebut kontinu pada x=5karena limit fungsi kanan sama dengan limit fungsi kiri. d. Untuk Untuk
- 17. +C e. Untuk f ‘ (x) = – = = = = 2x + h = 2x + (0) = 2x Untuk f ‘ (x) = = = = =2 f. Grafik fungsi 70 60 50 40 30 Series1 20 10 0 0 2 4 6 8
- 18. 5. Diketahui Tentukan : a. b. c. Apakah kontinu pada x=-2 d. Integral fungsi tersebut e. Turunan fungsi tersebut Penyelesaian: a. Maka untuk b. Maka untuk c. Ya, karena fungsi tersebut kontinu pada x=-2karena limit fungsi kanan sama dengan limit fungsi kiri. d. Untuk +C Untuk +C e. Untuk f ‘ (x) = = = =
- 19. = = = 4x + 2(0) – 4 = 4x – 4 Untuk f ‘ (x) = = = = = = 6x + 3h = 6x + 3(0) = 6x f. Grafik fungsi 60 50 40 30 Series1 20 10 0 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2
- 20. CONTOH SOAL FUNGSI KETERKAITAN LIMIT, KEKONTINUAN, TURUNAN, DAN INTEGRAL 1. Diketahui Tentukan : a. b. c. Apakah kontinu pada x=-2 d. Integral fungsi tersebut e. Turunan fungsi tersebut Penyelesaian: a. Maka untuk b. Maka c. Tidak , fungsi tersebut tidak kontinu pada x=-2 karena limit fungsi kanan tidak sama dengan limit fungsi kiri. d. Untuk Untuk +C e. Untuk Untuk
- 21. 2. Tentukan : a. b. c. Apakah kontinu pada x=0 d. Integral fungsi tersebut e. Turunan fungsi tersebut Penyelesaian: a. Maka untuk b. Maka c. Tidak , fungsi tersebut tidak kontinu pada x=-2 karena limit fungsi kanan tidak sama dengan limit fungsi kiri. d. Untuk Untuk e. Untuk Untuk
- 22. 3. Tentukan: a. b. c. Apakah kontinu pada x=1 d. Integral fungsi tersebut e. Turunan fungsi tersebut Penyelesaian: a. Maka untuk b. Maka c. Tidak , fungsi tersebut tidak kontinu pada x=1 karena limit fungsi kanan tidak sama dengan limit fungsi kiri. d. Untuk Untuk +C e. Untuk Untuk
- 23. 4. Tentukan: a. b. c. Apakah kontinu pada x=3 d. Integral fungsi tersebut e. Turunan fungsi tersebut Penyelesaian: a. Maka b. Maka c. Ya , fungsi tersebut kontinu pada x=3 karena limit fungsi kanan sama dengan limit fungsi kiri. d. Untuk .(2x-6) Untuk e.
- 24. Untuk Untuk 5. Tentukan: a. b. c. Apakah kontinu pada x=4 d. Integral fungsi tersebut e. Turunan fungsi tersebut Penyelesaian: a. Maka b. Maka 27 c. Tidak, fungsi tersebut kontinu pada x=4 karena limit fungsi kanan tidak sama dengan limit fungsi kiri. d. Untuk
- 25. Untuk e. Untuk Untuk
- 26. PENGGUNAAN TURUNAN DANATAU INTEGRAL DALAM FISIKA ATAU BIDANG LAIN 1. Pada bidang ekonomi Dengan cara menurunkannya dari persamaan biaya total dapat ditentukan nilai biaya marginal. Bisa ditulis biaya marjinal = biaya total’. Para matematikawan mengenal biaya marjinal sebagai dc/dx, turunan C terhadap x. Dengan demikian dapat didefinisikan harga marjinal sebagai dp/dx, pendapatan marjinal sebagai dR/dX, dan keuntungan marjinal sebagai dp/dx. Perhitungan: Sebuah perusahaan mempunyai biaya 3200 + 3,25x – 0,0003x2 dengan jumlah persatuan x=1000. tentukan biaya rata-rata dan biaya marjinal? Penyelasaian biaya rata-rata = C(x)/x = 3200+3,25x-0,0003x2 / X = 3200+3,25 (1000)-0,0003(1000)2 / 1000 = 6150 / 1000 = 6,15 Maka biaya rata-rata persatuan yaitu 6,15 x 1000 = Rp.6150 biaya marjinal = dc/dx = 3,25-0,0006x = 3,25-0.0006 (1000) = 2,65 maka biaya marjinalnya, 2,65 x 1000 = Rp.2650 Pada x=1000 Dari hasil di atas, dapat dikatakan bahwa dibutuhkan Rp.6150 untuk memproduksi 1000 barang pertama dan membutuhkan Rp. 2,65 untuk membuat 1 barang setelah barang yang ke 1000, hanya dibutuhkan Rp. 2650 untuk membuat 1000 barang yang sama. 2. Pada bidang Fisika Turunan pertama dari x terhadap waktu memberikan kecepatan v: Dengan mendiferensialkan kecepatan terhadap waktu diperoleh percepatan benda: Diketahui: dalam meter. Berapa kecepatan benda pada saat t= 2 s ? Penyelesaian:
- 27. 3. Pada bidangMatematika Pada bidang Matematika Turunan digunakan untuk pencarian dalam limit, yang bentuk soal limitnya harus di faktorkan atau di kalikan terlebih dahulu dengan akar sekawan. Selain itu , Aplikasi turunan juga digunakan untuk menentukan persamaan garis singgung. Contoh penggunaan Turunan untuk menentukan Garis singgung : Tentukan persamaan garis singgung dari y = x3 - 2x2 - 5 pada titik (3,2). Jawab : Y=f(x)= x3-2x2-5 Y=f(x)=3x2-4x f ’(3) = 3(3)2 - 4(3) = 15 ; m = 15. Rumus pers. Garis singgung : y-yo = m (x-xo) , maka garis singgung fungsi diatas adalah : Y – 2 = 15 (x – 3) atau y = 15x – 43