![よくわかる複雑ネットワーク
四章 ランダムグラフ
• ランダム・グラフ … 各頂点の間に、ランダムに枝を置いてできる
• 次数分布
p(k) = L<" 𝐶N 𝑝N
(1 − 𝑝)L<"<N
※[np]で、二項分布のグラフは最大値を示す
(npが整数の場合は、np、np-‐1で最大値を取る)
• 平均次数
𝑘 = (n-‐1)p
k … 次数
n … 頂点数
P … 枝を張る確率
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LAB-ゼミ資料-1-20150413
- 1. 今までに読んだ書籍・論文 • 書籍 • よくわかる複雑ネットワーク (今野 紀雄・町田 拓也 著、 2008) • ネットワーク科学の道具箱 (林 幸雄 編、 2007) • 論文 • 弱い紐帯の概念を用いた情報検索システムに関する研究 (未来大卒論 珍田 計幸、 2008) • Jaccard係数を用いたリンクの選定に基づく Wikipediaのナビゲーション情報の抽出 (未来大修論 千田 俊輔、 2011) • 複雑ネットワークからのキーワード抽出 (未来大修論 三澤 英樹、 2012) 1/20
- 2. よくわかる複雑ネットワーク 1. つながりの世界 2. ネットワークの基礎 3. 規則的なネットワーク 4. ランダムグラフ 5. スモールワールド 6. スケールフリー・ネットワーク 7. 様々な複雑ネットワーク 全7章 2/20
- 3. よくわかる複雑ネットワーク 一章 つながりの世界 • 6次の隔たり • ランダムに選ばれた二人が案外少ない人数を介して結ばれること • ミルグラムのスモールワールド実験 • 確率、頻度、割合 • 0〜1の間の値、全て足すと1になる • 片対数グラフ、両対数グラフ • 片対数グラフ … 通常のグラフの縦軸or横軸を対数軸にしたもの • 両対数グラフ … 通常のグラフの立軸と横軸両方を対数軸にしたもの 3/20
- 4. よくわかる複雑ネットワーク 二章 ネットワークの基礎 • ネットワーク … “点” と ”線” で表す • 次数 … 点につながっている線の数 • 次数分布 … 各次数の頂点数の割合 • 平均次数 … 字数分布の平均値 1! " # + 2 ! " & + 3 ! " # + 4 ! " & = 𝟕 𝟑 字数:4 字数:2 V1 V6 V4 V5 V2 V3 次数 1 2 3 4 頂点の割合 1 3 1 6 1 3 1 6 字数分布の表 字数:3 字数:1 字数:3 字数:1 4/20
- 5. よくわかる複雑ネットワーク 二章 ネットワークの基礎 • 頂点間距離… 2頂点を行き来するための最小ステップ • V6 -‐> V4の頂点間距離 … l(V6, V4) = 2 • V1 -‐> V5の頂点間距離 … l(V1, V5) = 1 • 平均頂点間距離 … 頂点間距離の平均値 L = / 0(023) 5 S … 頂点間距離の合計 n … 頂点の数 n(n-‐1)/2 … 異なる2頂点の組み合わせ総数 V1 V6 V4 V5 V2 V3 5/20
- 6. よくわかる複雑ネットワーク 二章 ネットワークの基礎 • 平均頂点間距離の計算 (V1, V2)=1、(V1, V3)=1、(V1, V4)=2、(V1, V5)=1、(V1, V6)=1 (V2, V3)=2、(V2, V4)=3、(V2, V5)=1、(V2, V6)=2 (V3, V4)=1、(V3, V5)=1、(V3, V6)=2 (V4, V5)=2、(V4, V6)=3 (V5, V6)=2 計 S = 25 L = / 0(023) 5 = 67 8(823) 5 = 7 # V1 V6 V4 V5 V2 V3 6/20
- 7. よくわかる複雑ネットワーク 二章 ネットワークの基礎 • クラスター係数 … 自分と繋がっている点同士が繋がっているかどうかの指標 Ci = 頂点9:を頂点に持つ三角形の数 ;: ;: <" /6 (𝐾? ≥ 2) Ci … クラスター係数 Ki … 頂点Viの次数 • C1 = 6(△93959B, △939D9B) E E<" /6 = " # 、C2 = "(△93959B) 6 6<" /6 = 1 V1 V6 V4 V5 V2 V3 7/20
- 8. よくわかる複雑ネットワーク 二章 ネットワークの基礎 • ネットワークのクラスター係数 …頂点のクラスター係数の平均値 C = 頂点のクラスター係数の総和 頂点のクラスター係数の総数 C = 3 D F"F 3 D FG FG F 3 D FG & = " # V1 V6 V4 V5 V2 V3 8/20
- 9. よくわかる複雑ネットワーク 三章 規則的なネットワーク • 格子 一次元格子 二次元正方格子 三次元立方格子 二次元三角格子 次数分布 2 4 6 6 平均次数 2 4 6 6 平均頂点間距離 n 𝑛 𝑛 " # 𝑛 クラスター係数 0 0 0 0.4 図 9/20
- 10. よくわかる複雑ネットワーク 三章 規則的なネットワーク • 完全グラフ、円環、拡張版円環、ツリー 完全グラフ 円環 拡張版円環 ツリー 次数分布 n-‐1 2 2m d 平均次数 N-‐1 2 2m d 平均頂点間距離 1 𝑛 4 mに従う log 𝑛 クラスター係数 1 1 (n = 3 のとき) 0 (n ≥ 4 のとき) mに従う 0 図 10/20
- 11. よくわかる複雑ネットワーク 四章 ランダムグラフ • ランダム・グラフ … 各頂点の間に、ランダムに枝を置いてできる • 次数分布 p(k) = L<" 𝐶N 𝑝N (1 − 𝑝)L<"<N ※[np]で、二項分布のグラフは最大値を示す (npが整数の場合は、np、np-‐1で最大値を取る) • 平均次数 𝑘 = (n-‐1)p k … 次数 n … 頂点数 P … 枝を張る確率 11/20
- 12. よくわかる複雑ネットワーク 五章 スモールワールド • WSモデル … 規則的なネットワークの枝を繋ぎかえて構成される • 修正WSモデル … 規則的なネットワークに枝を加えて構成される WSモデル 拡張WSモデル 構成方法 もともある枝を繋ぎかえる 新たに枝を付け加える 枝の総数 変わらない 増加する pを増加させた際の振る舞い ランダムグラフに近づく 完全グラフに近づく 連結性 非連結になる場合がある 必ず連結になる ※ 円環・拡張版円環をベースに構成する … aを偶数として右隣a/2個、左隣a/2個の頂点と枝で繋がっている 12/20
- 13. よくわかる複雑ネットワーク 五章 スモールワールド • WSモデル作成の手順 1. 任意の枝を選び、どちらかの頂点の片方と枝を切り離す 2. 以下の禁則事項の元、切り離した枝を任意の頂点と繋ぎなおす • 自分自身には繋がない • 左右a/2個以内の頂点には繋がない • 左右a/2個以内の頂点を除いたものの内、既に繋がっている頂点には繋がない ※ WSモデルができないこともある • 頂点数3、a=2、p=1のケース … 三角形 -‐> 枝の繋ぎかえが全て禁則事項に当てはまる 13/20
- 14. よくわかる複雑ネットワーク 五章 スモールワールド • 次数分布 一点分布 … 次数が一種類しかないネットワークの字数分布 • 平均字数 𝑘 = 𝑆(ネットワーク次数の総和) 𝑛(頂点数) • 平均頂点間距離 L ∝ log 𝑛 • クラスター係数 C ∝ 1 p 0 ↔ 1 次数分布 一点分布 ⇔ ポアソン分布 スモールワールドとは 1. 平均頂点間距離 … 小 2. クラスター係数 … 大 14/20
- 15. よくわかる複雑ネットワーク 六章 スケールフリーネットワーク • スケールフリーネットワーク • 一部の頂点が膨大な枝を持つ一方、ほとんどの頂点がごく少数の枝しか 持っていないネットワーク ※字数分布がベキ乗に従う • BAモデル(Barabashi and Albert) • 「成長」と「優先的選択」によりネットワークが作成される … 新しい頂点が追加し、枝を張ることでネットワークが大きくなっていく 例)インターネットのハイパーリンク 15/20
- 16. よくわかる複雑ネットワーク 六章 スケールフリーネットワーク • 新規頂点と結合する既存頂点を選ぶ際に頂点𝑉?が選ばれる確率 ∏ 𝑘? = N: ∑ NY 0 YZ3 ※右図だと、頂点数n=6なので ∑ 𝑘[ =L [" 4 + 2 + 3 + 1 + 3 + 1 = 14 V1 V6 V4 V5 V2 V3 頂点 𝑽 𝟏 𝑽 𝟐 𝑽 𝟑 𝑽 𝟒 𝑽 𝟓 𝑽 𝟔 c 𝑘? 4 14 2 14 3 14 1 14 3 14 1 14 ハブ … 枝を接続される可能性が高い 𝑘? = 既存頂点𝑉?の次数 N = 既存頂点数 ∑ L [" = 既存頂点の次数の総和 16/20
- 17. よくわかる複雑ネットワーク 六章 スケールフリーネットワーク • 次数分布 P(k) ∝ 𝑘<d (𝛾 = ベキ指数) • 平均次数 𝑘 = 𝑚G 𝑚G − 1 + 2 𝑛 − 𝑚G 𝑚 𝑛 • 平均頂点間距離 L ∝ ghi L ghi(ghi L) • クラスター係数 C ∝ 𝑛< D j 17/20
- 18. よくわかる複雑ネットワーク 七章 様々な複雑ネットワーク • 閾値モデル • 各頂点に重みを与え、２頂点の重みの和がある値θより大きいとき枝を置く ※スターが出現する可能性がある • スター … すべての頂点とつながっている頂点 • スター以外の頂点はスターとしか繋がっていないネットワークの発生条件 1. スターの重みがθ以上 2. スター以外の重みがθに比べてはるかに小さい 18/20
- 19. よくわかる複雑ネットワーク 七章 様々な複雑ネットワーク • 頂点非活性化モデル • 活性化状態と非活性化状態の状態の頂点が存在するネットワーク • 頂点非活性モデルの作り方 1. 活性化状態の頂点を追加する 2. 追加した頂点と、活性化状態のすべての頂点を枝で繋ぐ 3. 活性化頂点のひとつを非活性化状態にする • 非活性化状態にするための選択確率 P(𝑘?) = 3 k: l m ∑ 3 kY l mmno:pq 19/20