![Contoh 2:
Ingkaran dari (p Λ q) → r adalah….
a. ~p V ~q V r b. (~p Λ ~q) V r
c. p Λ q Λ ~r d. ~p Λ ~q Λ r
e. (~p V q) Λ r
Jawab: ingat bahwa: ~(p→q) ≡ p Λ ~q
~[(p Λ q) → r] ≡ (p Λ q) Λ ~r
≡ p Λ q Λ ~r
Jadi, jawabannya adalah c
32](https://image.slidesharecdn.com/logika-mat-simpel-130127010107-phpapp02/85/Logika-mat-simpel-32-320.jpg)
Logika mat-simpel
- 1. 1
- 2. MATERI INTI : I.Proposisi (pernyataan), perangkai kalimat, ingkaran (negasi), operasi pada proposisi, dan tabel kebenaran; invers, konvers, kontraposisi; tautologi dan kontradiksi; Penarikan kesimpulan II. Metode deduksi : pembuktian langsung dan tak langsung, pembuktian dengan induksi matematik; kuantor universal dan eksistensial; dan pengantar logika aksiomatik. 2
- 3. MATERI I 3
- 4. Logika Matematika Logika merupakan alat untuk menarik kesimpulan yang sahih (sah) 4
- 5. Pernyataan/Proposisi Definisi : Suatu pernyataan (statement) adalah suatu kalimat deklaratif yang bernilai benar saja, atau salah saja, tetapi tidak sekaligus benar dan salah. 5
- 6. Pernyataan/Proposisi Kalimat yang mempunyai salah satu dari nilai benar atau salah disebut proposisi atau pernyataan. Pernyataan ditulis dengan huruf kecil p, q, r dan seterusnya 6
- 7. Contoh : 1. 4 kurang dari 5 2. Indonesia terdiri atas 33 propinsi 3. 2 adalah bilangan prima yang genap 4. 3 adalah bilangan genap dan tidak akan dibicarakan kalimat-kalimat seperti : 5. Berapa umurmu ? (Kalimat tanya) 6. Bersihkan tempat tidurmu ! (Kalimat perintah) 7. Sejuk benar udara di sini ! (Kalimat ungkapan perasaan) 8. Mudah-mudahan terkabul cita-citamu. (Kalimat pengharapan) 7
- 8. Dari contoh-contoh di atas, : kalimat 1, 2, dan 3, bernilai benar, : sedang kalimat 4 bernilai salah. : Kalimat 5, 6, 7, dan 8, tidak dapat ditentukan nilai benar atau salahnya. : Nilai benar artinya ada kesesuaian antara yang dinyatakan oleh kalimat itu dengan keadaan sesungguhnya (realitas yang dinyatakannya), yaitu benar dalam arti matematis. 8
- 9. Ingkaran Pernyataan Negasi atau ingkaran dari pernyataan p, ditulis ~p adalah pernyataan lain yang menyangkal pernyataan yang diberikan 9
- 10. Tabel Kebenaran Ingkaran p ~p B S S B Contoh: p : hari ini hujan ~p : hari ini tidak hujan atau tidak benar hari ini hujan 10
- 11. Pernyataan Majemuk adalah pernyataan baru yang dibentuk dari beberapa pernyataan tunggal (komponen) dengan menggunakan kata hubung logika Seperti: ‘dan’, ‘atau’, ‘jika…maka…’, atau ‘…jika dan hanya jika…’ 11
- 12. Nilai Kebenaran Pernyataan Majemuk tergantung: ▪ nilai kebenaran dari pernyataan tunggalnya (komponennya) ▪ kata hubung logika yang digunakan 12
- 13. Konjungsi Pernyataan majemuk yang dibentuk dari pernyataan-pernyataan p dan q dengan menggunakan kata hubung logika ‘dan’. Konjungsi “p dan q” dilambangkan “p Λ q” 13
- 14. Tabel Kebenaran Konjungsi p q pΛq B B B B S S S B S S S S ‘p Λ q’ bernilai benar hanya apabila p dan q sama-sama bernilai benar 14
- 15. Disjungsi Pernyataan majemuk yang dibentuk dari pernyataan-pernyataan p dan q dengan menggunakan kata hubung logika ‘atau’. Disjungsi “p atau q” dilambangkan “p V q” 15
- 16. Tabel Kebenaran Disjungsi p q pVq B B B B S B S B B S S S ‘p V q’ bernilai salah hanya apabila p dan q sama-sama bernilai salah 16
- 17. Implikasi Pernyataan majemuk yang disusun dari pernyataan-pernyataan p dan q dalam bentuk ‘jika p maka q’ Implikasi “Jika p maka q” dilambangkan “p → q” 17
- 18. Tabel Kebenaran Implikasi p q p→q B B B B S S S B B S S B ‘p → q’ bernilai salah apabila p bernilai benar dan q bernilai salah 18
- 19. Biimplikasi Pernyataan majemuk yang disusun dari pernyataan-pernyataan p dan q dengan kata hubung ‘jika dan hanya jika’ Biimplikasi “p jika dan hanya jika q” dilambangkan “p ↔ q” 19
- 20. Tabel Kebenaran Biimplikasi p q p↔q B B B B S S S B S S S B ‘p ↔ q’ bernilai benar apabila p dan q keduanya bernilai benar atau salah 20
- 21. Contoh 1 Kalimat (p → q) → r bernilai benar Jika (1) p benar, q salah, r salah (2) p salah, q benar, r salah (3) p salah, q salah, r benar (4) p salah, q salah, r salah 21
- 22. Jawab Pernyataan p q (p →q ) r (p → q) → r ke 1 B S S S B 2 S B B S S 3 S S B B B 4 S S B S S Jadi, pernyataan yang benar adalah pernyataan (1) dan (3) 22
- 23. Contoh 2 Diberikan empat pernyataan p, q, r, dan s. Jika pernyataan berikut benar p ↔ q, q → r, r → s dan s pernyataan yang salah, maka di antara pernyataan berikut yang salah adalah…. a. ~p b. ~r c. ~q d. p Λ r e. p V ~r 23
- 24. Jawab s pernyataan yang salah r → s benar; berarti r salah q → r benar; berarti q salah p ↔ q benar; berarti p salah Jadi, ~p benar; ~r benar; ~q benar p Λ r salah; → jawaban d p V ~r benar 24
- 25. NEGASI dari PERNYATAAN MAJEMUK 25
- 26. Ekivalensi Pernyataan Majemuk Dua pernyataan majemuk yang ekivalen adalah dua pernyataan majemuk yang mempunyai nilai kebenaran yang sama 26
- 27. Pernyataan Ekivalen 1. ~(p Λ q) ≡ ~p V ~q 2. ~(p V q) ≡ ~p Λ ~q 3. p Λ (q V r) ≡ (p Λ q) V (p Λ r) 4. p V (q Λ r) ≡ (p V q) Λ (p V r) 27
- 28. Pernyataan Ekivalen 5. p → q ≡ ~p V q 6. ~(p → q) ≡ p Λ ~q 7. p↔q ≡ (p → q) Λ (q → p) ≡ (~p V q) Λ (~q V p) 8. ~(p ↔ q) ≡ (p Λ ~q) V (q Λ ~p) 28
- 29. Contoh 1: Ingkaran yang benar dari pernyataan “Saya lulus Ujian Nasional dan saya senang” adalah…. 29
- 30. (1). Saya tidak lulus Ujian Nasional dan saya tidak senang (2). Tidak benar bahwa saya lulus Ujian Nasional dan saya senang (3). Saya lulus Ujian Nasional dan saya tidak senang (4) Saya tidak lulus Ujian Nasional atau saya tidak senang 30
- 31. Jawab: Ingkaran p Λ q adalah ~(p Λ q) ≡ ~p V ~q Jadi pernyataan yang benar adalah (2) Tidak benar saya lulus Ujian nasional dan saya senang (4) Saya tidak lulus Ujian Nasional atau saya tidak senang 31
- 32. Contoh 2: Ingkaran dari (p Λ q) → r adalah…. a. ~p V ~q V r b. (~p Λ ~q) V r c. p Λ q Λ ~r d. ~p Λ ~q Λ r e. (~p V q) Λ r Jawab: ingat bahwa: ~(p→q) ≡ p Λ ~q ~[(p Λ q) → r] ≡ (p Λ q) Λ ~r ≡ p Λ q Λ ~r Jadi, jawabannya adalah c 32
- 33. Contoh 3: Ingkaran pernyataan: “Jika guru tidak hadir maka semua murid senang” adalah…. a. Guru hadir dan semua murid tidak senang b. Guru hadir dan ada beberapa murid senang c. Guru hadir dan semua murid senang 33
- 34. d. Guru tidak hadir dan ada beberapa murid tidak senang e. Guru tidak hadir dan semua murid tidak senang Jawab: Ingat bahwa: ~(p → q) ≡ p Λ ~q Jadi ingkaran dari “Jika guru tidak hadir maka semua murid senang” adalah “guru tidak hadir dan ada beberapa murid tidak senang” → jawaban d 34
- 35. Konvers, Invers, dan Kontraposisi Jika diketahui implikasi p → q maka: Konversnya adalah q→p Inversnya adalah ~p → ~q Kontraposisinya adalah ~q → ~p Catatan: p → q ≡ ~q → ~p 35
- 36. Contoh 1: ~p → q mempunyai nilai kebenaran sama dengan…. (1). p V q (2). p Λ q (3). ~q → p (4). ~q Λ ~p Jawab: ingat bahwa: p → q ≡ ~p V ~q ≡ ~q → ~p ~p → q ≡ ~q → p… (3) ≡ p V q … (1) 36
- 37. Contoh 2: Pernyataan berikut yang ekivalen dengan: “Jika p benar maka q salah” adalah…. a. p benar atau q salah b. Jika q salah maka p benar c. Jika p salah maka q benar d. Jika q benar maka p salah e. Jika q benar maka p benar 37
- 38. Jawab: Implikasi p → q ekivalen dengan Kontraposisi ~q → ~p dan ~p V q Jadi “Jika p benar maka q salah” ekivalen dengan “Jika q benar maka p salah” atau “p salah atau q salah” 38
- 39. Penarikan Kesimpulan menentukan pernyataan nilai (konklusi) dari pernyataan- pernyataan (premis) melalui aturan tertentu 39
- 40. Suatu kesimpulan (konklusi) dianggap sah jika: ▪ implikasi dari konjungsi premisnya dengan konklusinya adalah tautologi (selalu benar untuk semua kondisi) ▪ Konjungsi semua premisnya benar maka konklusinya benar 40
- 41. Penarikan Kesimpulan yang sah Di dalam logika matematika ada beberapa penarikan kesimpulan yang sah, di antaranya adalah 41
- 42. 1. Modus Ponens: p → q (premis 1 = benar) p (premis 2 = benar) ∴ q (konklusi benar) Contoh: Jika hujan lebat maka terjadi banjir ∴ ini hujan lebat Hari Terjadi banjir 42
- 43. 2. Modus Tollens: p → q (premis 1 = benar) ~q (premis 2 = benar) ∴ ~p (konklusi benar) Contoh: Jika BBM naik maka ongkos bis naik ∴ Ongkos bis tidak naik BBM tidak naik 43
- 44. 3. Silogisme: p → q (premis 1 = benar) q → r (premis 2 = benar) ∴ p → r (konklusi benar) Contoh: Jika Budi rajin belajar maka lulus UN Jika lulus UN maka orangtua senang ∴Jika Budi rajin belajar maka orangtua senang 44
- 45. Soal 1: Diketahui pernyataan p dan q Argumenatsi: ~p → q ~r → ~q ∴ r→p disebut…. a. Implikasi b. Kontraposisi c. Modus ponens d. Modus tollens e. silogisme 45
- 46. Bahasan Argumentasi: ~p → q ~p → q ~r → ~q ≡ q → r (kontraposisi) ∴ ~r → p ∴~p → r ≡ ~r → p (kontraposisi) Jadi, disebut silogisme jawaban e 46
- 47. Soal 1: Diketahui pernyataan p dan q Argumenatsi: ~p → q ~r → ~q ∴ r→p disebut…. a. Implikasi b. Kontraposisi c. Modus ponens d. Modus tollens e. silogisme 47
- 48. Soal 2 Penarikan kesimpulan dari premis- premis: p V q ~q ∴ …. a. p b. ~p c. q d. ~(p V q) e. ~ q 48
- 49. Bahasan p V q ≡ ~p → q (ekivalensi) ~p → q ≡ ~q → p (kontraposisi) dengan demikian pVq ~q berarti: ~q → p ~q Modus ponens ∴p Jawabannya a 49
- 50. Soal 2 Penarikan kesimpulan dari premis- premis: p V q ~q ∴ …. a. p b. ~p c. q d. ~(p V q) e. ~ q 50
- 51. Soal 3 Penarikan kesimpulan dari 1. p V q 2. p → q 3. p → ~q ~p q → ~r qVr ∴q ∴~r → ~p ∴p → r yang sah adalah…. a. hanya 1 b. hanya 1 dan 2 c. hanya 3 d. hanya 1 dan 3 e. hanya 2 dan 3 51
- 52. Bahasan 1. p V q ≡ ~p → q (ekivalen) ~p ~p ∴q ∴q argumenatsi nomor 1 di atas sah karena merupakan modus ponens 52
- 53. Bahasan 2. p → q p→q q → ~r q→ ~r ∴~r → ~p ∴ p→ ~r p→ ~r ≡ r→ ~p (kontraposisi) argumenatsi nomor 2 di atas tidak sah karena bukan silogisme 53
- 54. Bahasan 3. p → ~q p → ~q qVr ≡ ~q → r (ekivalensi) ∴p → r ∴ p→r argumentasi nomor 3 di atas sah karena merupakan silogisme Jadi, jawabannya hanya 1 dan 3 → d 54
- 55. Soal 3 Penarikan kesimpulan dari 1. p V q 2. p → q 3. p → ~q ~p q → ~r qVr ∴q ∴~r → ~p ∴p → r yang sah adalah…. a. hanya 1 b. hanya 1 dan 2 c. hanya 3 d. hanya 1 dan 3 e. hanya 2 dan 3 55
- 56. SELAMAT BELAJAR 56