Nasifah LasMana, profile picture
Uploaded byNasifah LasMana
36,335 views

Makalah logika matematika

Makalah ini membahas tentang logika matematika dengan menjelaskan pengertian logika, pernyataan, kalimat terbuka, ingkaran, operasi-operasi dalam logika seperti konjungsi, disjungsi, implikasi, biimplikasi, serta tautologi, kontradiksi dan kontingen.

MAKALAH LOGIKA MATEMATIKA Makalah ini diajukan untuk Memenuhi Tugas Ujian Akhir Semester (UAS) Mata Kuliah: Bahasa Indonesia Dosen Pengampu: Indrya Mulyaningsih, M.Pd. Disusun Oleh : Nasifah NIM: 14121520520 Tarbiyah/Matematika-C/Semester II INSTITUT AGAMA ISLAM NEGERI (IAIN) SYEKH NURJATI CIREBON 2013
BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang Logika matematika merupakan pokok bahasan yang sangat penting karena berhubungan dengan kemampuan berfikir secara logis. Berfikir secara logis sangat diperlukan dalam setiap aspek kehidupan sehari-hari karena merupakan pendukung keberhasilan suatu tindakan, misalnya dalam pengambilan keputusan. Banyak hal yang perlu kita ketahu mengenai logika. Melalui logika kita dapat mengetahui kebenaran suatu pernyataan dari suatu kalimat dan mengetahui apakah pernyataan pertama sama maknanya dengan pernyataan kedua. Dengan logika, kita juga dapat mengetahui apakah suatu pernyataan bernilai benar atau salah. Hal terpenting yang akan kita dapatkan setelah mempelajari logika matematika adalah kemampuan atau keahlian mengambil kesimpulan dengan benar atau sah. B. Rumusan Masalah Adapun masalah yang akan dibahas dalam makalah ini adalah sebagai berikut: 1. Apa yang dimaksud dengan Logika? 2. Apa yang dimaksud dengan pernyataan, kalimat terbuka, dan ingkaran? 3. Operasi-operasi apa saja yang terdapat dalam logika matematika? 4. Apa yang dimaksud dengan tautologi, kontradiksi, dan kontingen? 5. Apa yang dimaksud dengan ekuivalensi, implikasi, konvers, invers, dan kontraposisi? 6. Apa yang dimaksud kalimat berkuantor? 7. Bagaimana cara menarik kesimpulan dan membuktikan kebenaran suatu pernyataan?
C. Tujuan Adapun tujuan dari makalah ini adalah sebagai berikut: 1. Mengetahui apa yang dimaksud dengan logika. 2. Mengetahui apa yang dimaksud dengan pernyataan, kalimat terbuka, dan ingkaran. 3. Mengetahui operasi-operasi yang terdapat dalam logika matematika. 4. Mengetahui apa yang dimaksud dengan tautologi, kontradiksi, dan kontingen 5. Mengetahui apa yang dimaksud dengan ekuivalensi, implikasi, konvers, invers, dan kontraposisi. 6. Mengetahui apa yang dimaksud kalimat berkuantor? 7. Mengetahui bagaimana cara menarik kesimpulan dan membuktikan kebenaran suatu pernyataan.
BAB II PEMBAHASAN A. Pengertian Logika Secara etimologis, istilah Logika berasal dari kata “logos” (Yunani) yang berarti kata, ucapan, fikiran secara utuh, atau bisa juga mengandung makna ilmu pengetahuan. Dalam arti luas Logika adalah sebuah metode dan prinsip-prinsip yang dapat memisahkan secara tegas antara penalaran yang benar dengan penalaran yang salah.1 Dalam mempelajari Logika kita akan berkenalan dengan istilah penalaran, yang diartikan sebagai penarikan kesimpulan dalam sebuah argumen. Penalaran yang sering pula diartiakan cara berfikir, merupakan penjelasan dalam upaya memperlihatkan hubungan antara dua hal atau lebih berdasarkan sifat-sifat atau hukum-hukum tertentu yang sudah diakui kebenarannya dengan langkah-langkah tertentu yang berakhir dengan sebuah kesimpulan.2 Dalam logika kita mempelajari dan meneliti apakah sebuah penalaran yang kita lakukan itu tepat atau tidak. Untuk dapat berfikir dengan tepat, logika menawarkan pada kita sejumlah aturan atau kaidah-kaidah yang harus diperhatikan agar kesimpulan yang kita peroleh hasilnya tepat. “Dalam menghadapi kehidupan sehari-hari kita dituntut untuk menggunakan akal fikiran dalam melakukan setiap kegiatan kita, harus penuh pemikrian dan pertimbangan. Oleh karena itu, kita harus mempunyai pola pikir yang tepat, akurat, rasional dan obyektif disamping dapat berpikir kritis. Pola berpikir seperti ini adalah pola berpikir atau penalaran yang terdapat dalam Logika. Oleh karena itu, Logika sangat penting dalam setiap bidang kehidupan manusia”. (Yaya S. Kusumah, 1986: 2) 1 Yaya S. Kusumah, Logika Matematika Elementer, (Bandung: Tarsito, 1986), h. 1. 2 Ibid.
B. Pernyataan, Kalimat Terbuka, dan Ingkaran Pengertian kalimat dalam kehidupan sehari-hari adalah kumpulan kata, frasa, dan lambang yang mempunyai arti. Dalam matematika ada dua jenis kalimat, yaitu kalimat terbuka dan kalimat tertutup (pernyataan). 1. Pernyataan Pernyataan adalah sebuah kalimat yang memiliki nilai logika (kebenaran) benar atau salah, tetapi tidak sekaligus benar dan salah. Dengan kata lain, pernyataan adalah sebuah kalimat yang sudah dapat ditentukan nilai kebenarannya, yaitu benar atau salah. Benar dan salah maksudnya sesuai dengan keadaan yang sebenarnya. Nama lain dari pernyataan adalah kalimat deklaratif atau proposisi.3 Berikut ini adalah contoh suatu pernyataan dan nilai kebenarannya: a. “Bangun datar persegi memiliki empat titik sudut”, pernyataan ini benar. b. “Nilai x yang memenuhi 2x = 10 adalah 6”, pernyataan ini salah. c. “3 adalah bilangan prima”, pernyataan ini benar. d. “7 kurang dari 6”, pernyataan ini salah. Perlu diketahui bahwa setiap pernyataan adalah kalimat, tetapi tidak setiap kalimat merupakan pernyataan. Kalimat-kalimat yang bukan pernyataan ini tidak atau belum dapat ditentukan nilai kebenarannya, seperti kalimat tanya, kalimat perintah, dan kalimat seru. 2. Kalimat Terbuka Kalimat terbuka adalah suatu kalimat yang belum dapat ditentukan nilai kebenarannya karena masih belum memuat variabel. Variabel atau peubah adalah lambang yang digunakan untuk mewakili anggota sembarang dari suatu semesta pembicaraan.4 3 Siswanto, Theory and Application of Mathematics, (Solo: Bilingual, 2009), h. 248. 4 Ibid.
Berikut ini cuontoh kalimat terbuka: a. 3x + 3 = 7 b. 2 log x = 1 c. x2 – 6x + 9 = 0 d. y – 3 < 4 Suatu kalimat terbuka dapat berubah menjadi pernyataan apabila variabelnya diganti suatu konstanta, yaitu lambang yang mewakili anggota dari suatu semesta pembicaraan. Konstanta pengganti variabel yang menyebabkan kalimat terbuka menjadi pernyataan yang bernilai benar disebut penyelesaian kalimat terbuka atau penyelesaian. Kumpulan semua penyelesaian disebut himpunan penyelesaian. Kalimat terbuka juga dapat diubah menjadi pernyataan dengan menggunakan kuantor. 3. Kata Hubung Logika dan Ingkaran Jika terdapat dua pernyataan atau lebih, kita dapat membentuk sebuah pernyataan baru dengan menggunakan kata hubung logika. Pernyataan-pernyataan yang dibentuk dengan menggunakan kata hubung logika dinamakan pernyataan majemuk atau pernyataan komposisi, sedangkan pernyataan-pernyataan yang membentuk pernyataan majemuk masing-masing disebut komponen pernyataan majemuk. Nilai kebenaran pernyataan majemuk ghanya ditentukan oleh nilai kebenaran komponen- komponen pembentuknya dan tidak diharuskan adanya hubungan antar komponen pembentuknya.5 Pernyataan-pernyataan majemuk diantaranya adalah sebagai berikut: a. Konjungsi, kata hunbungnya “dan” dilambangkan dengan “⋀”. b. Disjungsi, kata hunbungnya “atau” dilambangkan dengan “⋁”. c. Implikasi, kata hunbungnya “Jika ... maka ...” dilambangkan dengan “→”. d. Biimplikasi, kata hunbungnya “... jika dan hanya jika ...” dilambangkan dengan “↔”. 5 Ibid., h. 250.
Selain menggunakan kata hubung logika, suatu pernyataan baru juga dapat dibentuk dengan menggunakan ingkaran (negasi), yaitu pernyataan baru yang bernilai benar apabila pernyataan semula bernilai salah demikian pula sebaliknya. Cara membentuk ingkaran dari suatu pernyataan yaitu dengan menambahkan kata “tidak/bukan” atau “tidak benar bahwa” sesuai berdasarkan aturan tata bahasa yang benar. Jika suatu pernyataan ndinotasikan dengan “p” maka negasi dari pernbyataan p dinotasikan dengan “~p” dibaca negasi p. p ~p B S S B Keterangan: B = Benar S = Salah Berikut ini contoh dari ingkaran: a. p : 100 habis dibagi 5. ~p : Tidak benar bahwa 100 habis dibagi 5. ~p : 100 tidak habis dibagi 5. b. q : Semua ikan bernafas dengan insang. ~q : Tidak semua ikan bernafas dengan insang. ~q : Tidak benar bahwa semua ikan bernafas dengan insang. c. r : 3 adalah faktor dari 13. ~r : Tidak benar bahwa 3 adalah faktor dari 13. ~r : 3 bukan faktor dari 13. C. Operasi-operasi dalam Logika Matematika 1. Konjungsi Konjungsi adalah pernyataan yang dibentuk dari dua pernyataan p dan q yang dirangkai dengan menggunakan kata hubung “dan”.
Konjungsi pernyataan p dan pernyataan q dinotasikan sebagai berikut: p ⋀ q (dibaca: p dan q) Misalnya kita akan menyusun suatu konjungsi dari dua pernyataan berikut: p : Ada kendraan bermotor. q : Tersedia bahan bakar. Konjungsi dari dua pernyataan tersebut adalah sebagai berikut: p ⋀ q : Ada kendaraan bermotor dan tersedia bahan bakar. Karena konjungsi merupakan suatu pernyataan maka dapat ditentukan nilai kebenarannya, yaitu benar saja atau salah saja dan bukan keduanya. Nilai dan tabel kebenaran Konjungsi. p q p ⋀ q B B S S B S B S B S S S 2. Disjungsi Disjungsi adalah pernyataan yang dibentuk dari dua pernyataan p dan q yang dirangkai dengan menggunakan kata hubung “atau”. Disjungsi pernyataan p dan pernyataan q dinotasikan sebagai berikut: p ⋁ q (dibaca: p atau q) Misalnya kita akan menyusun suatu disjungsi dari dua pernyataan berikut: p : Ada media elektronik. q : Ada media cetak. Disjungsi dari dua pernyataan tersebut adalah sebagai berikut: p ⋁ q : Ada media elektronik atau media cetak.
Nilai dan tabel kebenaran Konjungsi. p q p ⋁ q B B S S B S B S B B B S 3. Implikasi Implikasi adalah pernyataan majemuk yang disusun dari dua buah pernyataan p dan q dalam bentuk “jika p maka q”. Implikasi pernyataan p dan pernyataan q dinotasikan sebagai berikut: p → q (dibaca: jika p maka q) Misalnya kita akan menyusun suatu disjungsi implikasi dari dua pernyataan berikut: p : 2m × 2n = 2m + n . q : 24 × 23 = 27 . Implikasi dari dua pernyataan tersebut adalah sebagai berikut: p → q : Jika 2m × 2n = 2m + n maka 24 × 23 = 27 . Dari pernyataan ini, bagian “jika 2m × 2n = 2m + n ” dinamakan alasan atau sebaba dan bagian “maka 24 × 23 = 27 ” dinamakan kesimpulan atau akibat. Nilai dan tabel kebenaran Implikasi. p q p → q B B S S B S B S B S B B
4. Biimplikasi Biimplikasi adalah pernyataan yang disusun dari dua buah pernyataan p dan q yang dirangkai dengan menggunakan kata hubung “jika dan hanya jika”. Biimplikasi pernyataan p dan pernyataan q dinotasikan sebagai berikut: p ↔ q (dibaca: p jika dan hanya jika q) Misalnya kita akan menyusun suatu biimplikasi dari dua pernyataan berikut: p : Dua garis saling berpotongan tegak lurus. q : Dua garis saling membentuk sudut 900 . Biimplikasi dari dua pernyataan tersebut adalah sebagai berikut: p ↔ q : Dua garis saling berpotongan tegak lurus jika dan hanya jika kedua garis saling membentuk sudut 900 . Nilai dan tabel kebenaran Biimplikasi. p q p ↔ q B B S S B S B S B S S B D. Tautologi, Kontradiksi, dan Kontingen 1. Tautologi Tautologi adalah sebuah pernyataan majemuk yang selalu benar untuk semua kemungkinan nilai kebenaran dari pernyataan-pernyataan komponennya.6 Untuk dapat membuktikan apakah suatu pernyataan merupakan tautologi, kita dapat menggunakan tabel kebenaran. 6 Sartono Wirodikromo, Matematika untuk SMA Kelas X, (Jakarta: Erlangga, 2004), h. 159.
Contoh tautologi: a. Buatlah sebuah tabel kebenaran pernyataan untuk membuktikan bahwa (p ⋀ q) → q merupakan tautologi. Penyelesaian: p q p ⋀ q (p ⋀ q) → q B B S S B S B S B S S S B B B B b. Buatlah sebuah tabel kebenaran pernyataan untuk membuktikan bahwa p ⋁ ~p merupakan tautologi. Penyelesaian: p q ~p p ⋁ ~p B B S S B S B S S S B B B B B B Berdasarkan pada kolom paling kanan kedua tabel di atas, tampak bahwa (p ⋀ q) → q dan p ⋁ ~p selalu bernilai benar untuk setiap nilai kebenaran dan komponennya. . Oleh karena itu, pernyataan (p ⋀ q) → q dan p ⋁ ~p adalah suatu tautologi. 2. Kontradiksi Kontradiksi adalah suatu pernyataan yang selalu bernilai salah untuk setiap nilai kebenaran dari komponen-komponennya. Seperti pada tautologi, untuk membuktikan apakah suatu pernyataan merupakan kontradiksi, kita dapat menggunakan tabel kebenaran. Contoh kontradiksi:
Tunjukan bahwa pernyataan majemuk q ⋀ (p ⋀ ~q) merupakan suatu kontradiksi. Penyelesaian: P q ~q p ⋀ ~q q ⋀ (p ⋀ ~q) B B S S B S B S S B S B S B S S S S S S Pada kolom yang paling kanan dari tabel di atas, tampak bahwa q ⋀ (p ⋀ ~q) selalu bernilai salah untuk setiap kebenaran dari komponennya. Oleh karena itu, pernyataan q ⋀ (p ⋀ ~q) adalah suatu kontradiksi. 3. Kontingen Kontingen adalah pernyataan yang nilai kebenarannya merupakan kumpulan dari nilai B dan S, di luar tautologi dan kontradiksi. Contoh kontingen: Tunjukan bahwa pernyataan p ⋀ [q ⋀ (p ⋁ q)] merupakan suatu kontradiksi. Penyelesaian: P q p ⋁ q q ⋀ (p ˅ q) p ⋀ [q ⋀ (p ⋁ q)] B B S S B S B S B B B S B S B S B S S S Pada kolom paling kakan tabel di atas, tampak bahwa nilai kebenaran p ⋀ [q ⋀ (p ⋁ q)] bernilai salah dan benar untuk setiap kebenaran dari komponennya. Oleh karena itu, p ⋀ [q ⋀ (p ⋁ q)] merupakan kontingen.
E. Ekuivalensi 1. Membuktikan Pernyataan Majemuk dengan Menggunakan Tabel Kebenaran Dua pernyataan dikatakan ekuivalen apabila kedua pernyataan tersebut mempunyai nilai kebenaran yang sama. Dua pernyatan p dan q yang ekuivalen dinotasikan dengan p ≡ q.7 Contoh: Dengan menggunakan tabel kebenaran, selidikilah apakah pernyataan-pernyataan berikut ekuivalen. a. ~ (p ⋁ q) dengan ~p ⋀ ~q b. p ⋀ (q → r) dengan (p ⋀ q) → (p ⋀ r) Penyelesaian: a. ~ (p ⋁ q) dengan ~p ⋀ ~q p q ~p ~q p ⋁ q ~ (p ⋁ q) ~p ⋀ ~q B B S S B S B S S S B B S B S B B B B S S S S B S S S B Dari tabel di atas, tampak bahwa nilai kebenaran ~ (p ⋁ q) sama dengan nilai kebenaran ~p ⋀ ~q. Jadi, dapat disimpulkan bahwa ~ (p ⋁ q) ≡ ~p ⋀ ~q. 7 Siswanto, op.cit., h. 282.
b. p ⋀ (q → r) dengan (p ⋀ q) → (p ⋀ r) P q r p⋀q p⋀r q→r p ⋀ (q→r) (p ⋀ q) → (p ⋀ r) B B B B S S S S B B S S B B S S B S B S B S B S B B S S S S S S B S B S S S S S B S B B B S B B B S B B S S S S B S B B B B B B Dari tabel di atas, tampak bahwa nilai kebenaran p ⋀ (q → r) tidak sama dengan nilai kebenaran (p ⋀ q) → (p ⋀ r). Jadi, dapat disimpulkan bahwa p ⋀ (q → r) tidak ekuivalen dengan (p ⋀ q) → (p ⋀ r). 2. Negasi dari Pernyataan Majemuk Negasi dari suatu pernyataan majemuk dapat dibentuk dari negasi pernyataan-pernyataan tunggal dengan menggunakan ukuivalensi, yaitu apabila permyataan-pernyataan majemuk itu mempunyai nilai kebenaran yang sama dengan pernyataan majemuk negasi dari komponen- komponennya.8 Dalam hal ini, terdapat ekuivalensi sebagai berikut: a. ~(p ⋀ q) ≡ ~p ⋁ ~q b. ~(p ⋁ q) ≡ ~p ⋀ ~q c. ~(p → q) ≡ p ⋀ ~q d. ~(p ↔ q) ≡ (p ⋀ ~q) ⋁ (q ⋀ ~p) 8 Ibid., h. 284.
Contoh: a. Buktikan bahwa ~(p ⋀ q) ≡ ~p ⋁ ~q. Bukti: p q ~p ~q p ⋀ q ~(p ⋀ q) ~p ⋁ ~q B B S S B S B S S S B B S B S B B S S S S B B B S B B B Terbukti bahwa ~(p ⋀ q) ≡ ~p ⋁ ~q. b. Tuliskan negasi dari pernyataan-pernyataan berikut: 1) Nia adalah anak yang pandai dan pendiam. 2) Jika Anik mendapat nilai bagus maka ia naik kelas. Penyelesaian: 1) Nia adalah anak yang tidak pandai dan dan pendiam. 2) Anik mendapat nilai bagus maka ia tidak naik kelas. 3. Membuktikan Pernyataan Majemuk tanpa Menggunakan Tabel Kebenaran Untuk membuktikan kebenaran suatu pernyataan majemuk dapat dilakukan dengan menggunakan tabel kebenaran. Akan tetapi, pembuktian dengan cara tersebut kurang efisien. Oleh karena itu, kita dapat membuktikan kebenaran suatu pernyataan majemuk dengan menggunakan sifat-sifat ekuivalensi, diantaranya sebagai berikut: a. * p ⋁ p ≡ p (p ⋁ q) ⋁ r ≡ p ⋁ (q ⋁ r) p ⋁ q ≡ q ⋁ p p ⋁ (q ⋀ r) ≡ (p ⋁ q) ⋀ (p ⋁ r) ~(p ⋁ q) ≡ ~p ⋀ ~q
* p ⋀ p ≡ p (p ⋀ q) ⋀ r ≡ p ⋀ (q ⋀ r) p ⋀ q ≡ q ⋀ p p ⋀ (q ⋁ r) ≡ (p ⋀ q) ⋁ (p ⋀ r) ~(p ⋀ q) ≡ ~p ⋁ ~q b. ~(~p) ≡ p c. ~(p → q) ≡ p ~q p → q ≡ ~p ⋁ q p → (q ⋀ r) ≡ (p → q) ⋀ ~(p → r) d. p ↔ q ≡ (p → q) ⋀ (q → p) F. Implikasi, Konvers, Invers, dan Kontraposisi Seperti yang telah kita ketahui, bahwa dua buah pernyataan atau lebih dapat dibentuk menjadi suatu kalimat majemuk. Pernyataan-pernyataan majemuk yang menggunakan kata hubung “ → “ adalah implikasi, konvers, invers, dan kontraposisi yang didefinisikan sebagai berikut. Jika p dan q adalah suatu pernyataan, maka pernyataan majemuk: 1. p → q disebut implikasi (diketahui) 2. q → p disebut konvers dari p → q 3. ~p → ~q disebut invers dari p → q 4. ~q → ~p disebut kontraposisi dari p → q Dengan menggunakan tabel kebenaran, kita dapat melihat nilai kebenaran dari masing-masing pernyataan baru tersebut. Tabel kebenarannya adalah sebagai berikut. Pernyataan Implikasi Konvers Invers Kontraposisi p q ~p ~q p → q q → p ~p → ~q ~q → ~p B B S S B S B S S S B B S B S B B S B B B B S B B B S B B S B B
Dengan memperhatikan nilai kebenaran pada tabel di atas, dapat disimpulkan sebagai berikut: 1. Implikasi ekuivalen dengan kontraposisinya. p → q ≡ ~q → ~p 2. Konvers suatu implikasi ekuivalen dengan inversnya. q → p ≡ ~p → ~q Contoh: Tentukan konvers, invers, dan kontraposisi dari implikasi “Jika PQRS adalah persegi, maka PQRS adalah persegi panjang”. Pentelesaian: Konvers : Jika PQRS adalah pesegi panjang, maka PQRS adalah persegi. Invers : Jika PQRS bukan persegi, maka PQRS bukan persegi panjang. Kontraposisi : Jika PQRS bukan pesegi panjang, maka PQRS bukan persegi. G. Kalimat Kuantor dan Negasinya 1. Kuantor Universal Misalkan p(x) adalah suatu kalimat terbuka, dengan x anggota himpunan semesta pembicaraan S. Pernyataan: (∀x ∈ S) p(x) atau (∀x) p(x) Dibaca “untuk setiap x, berlakulah p(x) disebut kalimat berkuantor universal (universal quatifier). Penggunaan kata “untuk setiap” pada kuantor universal senilai dengan kata “untuk semua”, “untuk tiap-tiap”, dan “untuk seluruh”. Contoh: a. Tuliskan kalimat untuk “Untuk setiap n anggota himpunan bilangna asli N, berlaku n anggota himpunan bilangna real R” dengan notasi matematika. Penyelesaian:
Kalimat tersebut adalah kalimat kuantor universal sehingga dengan notasi matematika dapat ditulis (∀n) n ∈ N → n ∈ . b. Jika semesta pembicaraannya bilangan real R, tentukan nilai kebenaran dari (∀x) (x + 3 < 6). Penyelesaian: (∀x) (x + 3 < 6) bernilai salah. Misalkan diambil salah satu nilai x = 4. Akibatnya, 4 + 3 < 6 (bernilai salah). Dengan demikian, tidak berlaku untuk setiap x ∈ R. 2. Kuantor Eksistensial Misalkan p(x) adalah suatu kalimat terbuka pada suatu himpunan semesta pembicaraan S. Pernyataan: (∃x ∈ S) p(x) atau (∃x) p(x) Dibaca “terdapat x sehingga p(x)” disebut kalimat kuantor eksistensial (existential quantifier). Kata “terdapat” senilai dengan kata “ada”, “beberapa”, “untuk suatu”, dan “untuk paling sedikit satu”. Contoh: Tentukan nilai kebenaran dari kalimat berkuantor eksistensial berikut jika x dan y adalah anggota himpunan bilangna real R. a. (∃x) (x2 – 6x + 8 = 0) b. (∃x) (x2 + 9 < 0) Penyelesaian: a. (∃x) (x2 – 6x + 8 = 0) bernilai benar. Misalkan diambil x = 2 atau x = 4. b. (∃x) (x2 + 9 < 0) bernilai salah. Untuk x ∈ R, x2 ≥ 0, sedangkan 9 > 0. Jadi. Tidak mungkin dua bilangan real positif jika dijumlahkan hasilnya bernilai negatif.
3. Ingkaran (Negasi) Kalimat Berkuantor Negasi kalimat berkuantor universal adalah kalimat berkuantor eksistensial, sedangkan negasi kalimat berkuantor eksistensial adalah kalimat berkuantor universal.9 Jika terdapat kalimat berkuantor universal (∀x) p(x) dan kalimat berkuantor eksistensial (∃x) p(x), negasi dari keduanya ditulis sebagai berikut: ~[(∀x) p(x)] ≡ (∃x) ~ p(x) ~[(∃x) p(x)] ≡ (∀x) ~p(x) Contoh: Tentukan negasi dari kalimat kuantor berikut jika x dan y adalah anggota himpunan bilangan real. a. (∀x) (x + 7 ≤ 9) b. (∃x) (x2 = x) Penyelesaian: a. ~[(∀x) (x + 7 ≤ 9)] ≡ (∃x) ~(x + 7 ≤ 9) ≡ (∃x) (x + 7 > 9) b. ~[(∃x) (x2 = x)] ≡ (∀x) ~(x2 = x) ≡ (∀x) (x2 ≠ x) H. Penarikan Kesimpulan Untuk membuktikan suatu sifat atau menyelidiki kebenaran dari suatu kesimpulan berdasarkan kebenaran yang sudah diketahui, dapat digunakan pola argumentasi berdasarkan prinsip-prinsip logika. Kesimpulan ditarik dari beberapa pernyataan yang diasumsikan benar terjadi. Asumsi-asumsi itu disebut juga premis. Suatu penarikan kesimpulan dikatakan sah atau valid apabila implikasi dari konjungsi premis-premis dengan konklusi merupakan tautologi. Sebaliknya, apabila premis-premis tidak memberikan informasi 9 Ibid., h. 294.
yang cukup untuk mendukung kesimpulan yang diambil maka dikatakan penarikan kesimpulan tidak valid.10 Prinsip-prinsi yang digunakan untuk menganbik kesimpulan, antara lain modus ponen, modus tollens, dan silogisme. 1. Modus Ponen Penarikan kesimpulan dengan menggunakan modus ponen didasarkan pada prinsip “Jika p → q benar maka q pasti benar”. Prinsip tersebut dapat dirumuskan sebagai berikut: Premis 1 : p → q Premis 2 : p Konklusi : ∴ q Tanda “∴” dibaca “maka” atau “jadi”. Prinsip di atas dibaca: Jika p → q benar dan p benar maka q benar. Sahnya modus ponen dapat dibuktikan dengan tabel kebenaran pernyataan majemuk “[(p → q) ⋀ p] → q”. P q p → q (p → q) ⋀ p (p → q) ⋀ p] → q B B S S B S B S B S B B B S S S B B B B Pada tabel tersebut tampak bahwa pada kolom kelima nilai kebenarannya adalah “benar” seluruhnya. Oleh karena itu, (p → q) ⋀ p] → q merupakan suatu tautulogi. 10 Ibid., h. 297.
Contoh: Premis 1 : Jika segitiga ABC sama sisi maka AB = AC = BC. Premis 2 : Segitiga ABC sama sisi. Konklusi : Jadi, AB = AC = BC. 2. Modus Tollens Penarikan kesimpulan pada modus Tollens didasarkan pada prinsip “Jika p → q benar dan q tidak benar maka p pasti tidak benar”. Prinsip tersebut dapat dirumuskan sebagai berikut: Premis 1 : p → q Premis 2 : ~q Konklusi : ∴ ~p Prinsip ini dibaca : Jika p → q benar dan ~q benar maka ~p benar. Kebenaran dari modus tollens dapat dibuktikan dengan menggunakan tabel kebenaran kontraposisi. Contoh: Premis 1 : Jika segitiga ABC siku-siku di titik B maka AC2 = AB2 + BC2 . Premis 2 : AC2 ≠ AB2 + BC2 . Konklusi : Jadi, segitiga ABC tidak siku-siku di titik B. 3. Silogisme Penarikan kesimpulan dengan silogisme berdasarkan prinsip “Jika p → q benar dan q → r benar maka p → r pasti benar”. Prinsip tersebut dapat dirumuskan sebagai berikut:
Premis 1 : p → q Premis 2 : q → r Konklusi : ∴ p → r Kebenaran dari silogisme dapat dilihat pada tabel kebenaran [(p → q) ⋀ (q → r)] → (p → r) adalah suatu tautologi. P q r p→q q→r p→r (p→q) ⋀ (q→r) [(p→q) ⋀ (q→r)] → (p→r) B B B B S S S S B B S S B B S S B S B S B S B S B B S S B B B B B S B B B S B B B S B S B B B B B S S S B S B B B B B B B B B B Contoh: Premis 1 : Jika guru Matematika tidak masuk sekolah maka murid- murid bercengkrama. Premis 2 : Jika murid-murid bercengkrama maka mereka bergembira. Konklusi : Jadi, jika guru Matematika tidak masuk sekolah maka mereka bergembira. I. Pembuktian Pembuktian suatu sifat dalan matematika menunjukan kebenaran sifat dalam matematika secara logika.
1. Pembuktian dengan Bukti Langsung Pembuktian dengan bukti langsung digunakan untuk membuktikan sifat dalam matematika dengan implikasi p → q. Pembuktian ini menggunakan nilai kebenaran pernyataan (implikasi), yaitu jika diketahui p bernilai benar (anteseden benar) dan implikasi bernilai benar, kemudian dengan langkah-langkah yang benar, pasti dihasilkan q yang bernilai benar (konsekuen bernilai benar).11 Contoh: Buktikan bahwa jika x + 2 = 5 maka x = 3. Bukti: Diketahui x + 2 = 5. Kemudian, akan dibuktikan bahwa x = 3. Karena x + 2 = 5 maka x + 2 – 2 = 5 – 2 atau x = 3. Jadi, terbukti bahwa jika x + 2 = 5 maka x = 3. 2. Pembuktian dengan Bukti Terbalik Pembuktian dengan bukti terbalik menggunakan prinsip modus tollens. Terdapat dua cara dalam pembuktian dengan bukti terbalik, yaitu kontraposisi dan kontradiksi. a. Kontraposisi Pembuktian dengan kontraposisi digunakan untuk membuktikan sifat matematika yang mempunyai implikasi p → q. Nilai kebenaran suatu implikasi sama dengan nilai kebenaran kontraposisinya. Oleh karena itu, pembuktian dengan kontraposisi dari sifat matematika dengan implikasi p → q dilakukan dengan menunjukan kebenaran sifat matematika ~q → ~p.12 Misalkan akan dibuktikan sifat matematika p →q. Pembuktian dilakukan dengan membuktikan ~q → ~p. Dalam hal ini, diketahui ~q bernilai benar dan implikasi bernilai benar, kemudian dengan langkah- langkah yang benar, pasti dihasilkan ~p yang benar. 11 Ibid., h. 304. 12 Ibid., h. 305.
Contoh: Buktikan bahwa jika x dan y bilangan ganjil maka x + y bilangna genap. Bukti: Kontraposisi dari implikasi “Jika x dan y bilangan ganjil maka x + y bilangna genap” adalah “Jika x + y bukan bilangan genap maka x dan y bukan bilangna genap”. Diketahui x + y bukan bilangan genap, berarti x + y bilangan ganjil. Oleh karena itu, x atau y merupakan bilangna ganjil berarti x atau y bukan bilangan genap. Jadi, terbukti bahwa jika x atau y bilangan ganjil maka x atau y bilangna genap. b. Kontradiksi Pembuktian dengan kontradiksi dapat digunakan untuk membuktikan sifat matematika yang merupakan suatu implikasi. Untuk membuktikan sifat matematika yang merupakan suatu implikasi p → q, diandaikan tidak q. Selanjutnya, jika dihasilkan kontradiksi (sesuatu yang salah misalkan tidak p karena yang diketahui adalah p), berarti pengandaian salah. Oleh karena itu, pengandaian harus diingkar. Jadi, diperoleh q. Sedangkan untuk membuktikan sifat matematika yang berupa sifat p, diandaikan tidak p. Selanjutnya, jika dihasilkan kontradiksi (sesuatu yang salah misalkan 1 bilangan genap), berarti pengandaian salah. Oleh karena itu, pengandaian harus diingkar.13 Contoh: Buktikan bahwa 2 + 4 = 6. Bukti: Andaikan 2 + 4 ≠ 6 maka 2 + 4 – 4 ≠ 6 – 4 atau 2 ≠ 2. Hal ini kontradiksi dengan ketentuan bahwa 2 = 2. Pengandaian 2 + 4 ≠ 6 harus diingkar sehingga 2 + 4 = 6. Jadi, terbukti 2 + 4 = 6. 13 Ibid., h. 306.
3. Pembuktian dengan Induksi Matematika Pembuktian dengan induksi matematika digunakan untuk membuktikan sifat matematika yang memuat bilangan asli. Misalkan akan dibuktikan bahwa untuk setiap n bilangan asli, berlaku P(n). Langkah- langkah yang dilakukan adalah sebagai berikut: a. Dibuktikan berlaku P(n) untuk n = 1. b. P(n) dianggap benar untuk n = k. Selanjutnya, dibuktikan bahwa P(n) benar untuk n = k + 1. c. Dari langkah a dan b, disimpulkan bahwa untuk setiap n bilangan asli berlaku P(n). Contoh: Buktikan bahwa untuk setiap n bilangan asli, 4n – 1 habis dibagi 3. Bukti: a. Untuk n = 1 maka 4n – 1 = 41 – 1 = 4 – 1 = 3 habis dibagi 3. b. Dianggap benar untuk n = k, berarti 4k – 1 habis dibagi 3. Selanjutnya, untuk n = k + 1 berlaku sebagai berikut: 4k + 1 – 1 = (4k × 4) – 1 = [4k × (3 + 1)] – 1 = [(4k × 3) + (4k × 1)] – 1 = (3 × 4k ) + (4k – 1) Karena 3 × 4k dan 4k – 1 habis dibagi 3 maka 4k + 1 – 1 =(3 × 4k ) + (4k – 1) habis dibagi 3. c. Dari langkah a dan b, disimpulkan bahwa untuk setiap n bilangan asli, berlaku 4n -1 habis dibagi 3.
BAB III KESIMPULAN Logika adalah sebuah metode dan prinsip-prinsip yang dapat memisahkan secara tegas antara penalaran yang benar dengan penalaran yang salah. Dalam mempelajari logika matematika pasti berhubungan dengan istilah pernyataan, kalimat majemuk dan ingkaran. Pernyataan-pernyataan majemuk diantaranya adalah sebagai berikut: 1. Konjungsi, kata hunbungnya “dan” dilambangkan dengan “⋀”. 2. Disjungsi, kata hunbungnya “atau” dilambangkan dengan “⋁”. 3. Implikasi, kata hunbungnya “Jika ... maka ...” dilambangkan dengan “→”. 4. Biimplikasi, kata hunbungnya “... jika dan hanya jika ...” dilambangkan dengan “↔”. Di dalam logika matematika terdapat beberapa jenis operasi yang digunakan, diantaranya yaitu operasi konjungsi, disjungsi, implikasi, dan biimplikasi. Ada tiga jenis cara penarikan kesimpulan dalam logika matematika, diantaranya adalah sebagai berikut: 1. Dengan Modus Ponen. 2. Dengan Modus Tollens. 3. Dengan Silogisme. Untuk membuktikan kebenaran dari suatu pernyataan dapat dilakukan dengan tiga cara yaitu: 1. Pembuktian dengan bukti langsung. 2. Pembuktian dengan bukti tidak langsung. 3. Pembuktian dengan induksi matematika.
DAFTAR PUSTAKA Kusumah, Yaya S. 1986. Logika Matematika Elementer. Bandung: Tarsito. Munir, Rinaldi. 2012. Matematika Diskrit. Bandung: Informatika. Ruseffendi. 1989. Dasar-dasar Matematika Modern dan Komputer. Bandung: Tarsito. Siswanto. 2009. Theory and Application of Mathematics. Solo: Bilingual. Wirodikromo, Sartono. 2001. Matematika untuk SMA kelas X. Jakarta: Erlangga.

More Related Content

PDF
Bab 01 logika mtk diskrit
byKarlFykr
 
PPTX
Filsafat ilmu - Definisi dan Penalaran
byRyan Ahd
 
DOCX
Materi Logika Matematika
bysiska sri asali
 
PPTX
operasi negasi, konjungsi, dan disjungsi
byDavi Conan
 
DOC
Bab 3 resolusi logika ta 2019
bySukma Puspitorini
 
PPTX
4 ekuivalen logis
byFarichah Riha
 
PPT
Silogisme kategoris (9)
byS Kunto Adi Wibowo
 
DOCX
Makalah logika
byErna Mariana
 
Bab 01 logika mtk diskrit
byKarlFykr
 
Filsafat ilmu - Definisi dan Penalaran
byRyan Ahd
 
Materi Logika Matematika
bysiska sri asali
 
operasi negasi, konjungsi, dan disjungsi
byDavi Conan
 
Bab 3 resolusi logika ta 2019
bySukma Puspitorini
 
4 ekuivalen logis
byFarichah Riha
 
Silogisme kategoris (9)
byS Kunto Adi Wibowo
 
Makalah logika
byErna Mariana
 

What's hot

PDF
Aturan Inferensi dan Metode Pembuktian
byFahrul Usman
 
PPTX
Tabel Kebenaran pernyataan, Tautologi, kontradiksi, dan kontingen
byarlanridfan farid
 
PPTX
Penarikan Kesimpulan
byTARSUDINN
 
DOCX
Proposisi Logika Matematika
byTaufik_Yui
 
PDF
Hasil Diskusi/ Tanya Jawab Problem Solving Learning
byAbdul Jamil
 
PPTX
Logika matematika pertemuan 2 (inferensi)
byMeycelino A. T
 
PDF
Analisis bab1 bab2
byCharro NieZz
 
PDF
Aljabar 3-struktur-aljabar
bymaman wijaya
 
PPTX
Determinan Matriks ( Aljabar Linear Elementer )
byKelinci Coklat
 
PPTX
Pembuktian dalil 9-18
byFitria Maghfiroh
 
PPTX
Tanya Jawab Materi Pengantar Filsafat Ilmu Dari Sudut Pandang Ontologi, Epist...
byYuliaKartika6
 
PDF
Proposisi Logika Informatika
byDeviGayatri
 
PDF
Modul 3 kongruensi
byAcika Karunila
 
PPTX
Matriks eselon baris dan eselon baris tereduksi
byElemantking Daeva
 
PPT
Bilangan kompleks lengkap
byagus_budiarto
 
PPT
Pertemuan 02 teori dasar himpunan
byFajar Istiqomah
 
DOC
Matematika-Persamaan dan pertidaksamaan
byKardilah Azijehmail
 
PDF
Peluang ppt
byRahmawati Lestari
 
DOCX
Analisis Real (Barisan Bilangan Real) Latihan bagian 2.2
byArvina Frida Karela
 
DOCX
Kelemahan dan kelebihan jurnal
byAgus Martha
 
Aturan Inferensi dan Metode Pembuktian
byFahrul Usman
 
Tabel Kebenaran pernyataan, Tautologi, kontradiksi, dan kontingen
byarlanridfan farid
 
Penarikan Kesimpulan
byTARSUDINN
 
Proposisi Logika Matematika
byTaufik_Yui
 
Hasil Diskusi/ Tanya Jawab Problem Solving Learning
byAbdul Jamil
 
Logika matematika pertemuan 2 (inferensi)
byMeycelino A. T
 
Analisis bab1 bab2
byCharro NieZz
 
Aljabar 3-struktur-aljabar
bymaman wijaya
 
Determinan Matriks ( Aljabar Linear Elementer )
byKelinci Coklat
 
Pembuktian dalil 9-18
byFitria Maghfiroh
 
Tanya Jawab Materi Pengantar Filsafat Ilmu Dari Sudut Pandang Ontologi, Epist...
byYuliaKartika6
 
Proposisi Logika Informatika
byDeviGayatri
 
Modul 3 kongruensi
byAcika Karunila
 
Matriks eselon baris dan eselon baris tereduksi
byElemantking Daeva
 
Bilangan kompleks lengkap
byagus_budiarto
 
Pertemuan 02 teori dasar himpunan
byFajar Istiqomah
 
Matematika-Persamaan dan pertidaksamaan
byKardilah Azijehmail
 
Peluang ppt
byRahmawati Lestari
 
Analisis Real (Barisan Bilangan Real) Latihan bagian 2.2
byArvina Frida Karela
 
Kelemahan dan kelebihan jurnal
byAgus Martha
 

Viewers also liked

PPTX
powerpoint logika matematika
bySuryo Wedo Susilo
 
DOC
BAB 2 : KALIMAT BERKUANTOR
byMustahal SSi
 
DOCX
Makalah logika matematika
byNasifah LasMana
 
DOCX
pengantar dasar matematika (logika matematika)
bydwi sekti
 
PDF
Materi Logika matematika kelas 10
byalvi90
 
RTF
Makalah logika
byNur Aqwamah
 
PPTX
Logika Matematika
byOktaveni Ekasari
 
PDF
Modul logika-matematika
byJannah Skylady
 
PPTX
Logika Matematika Materi SMP kelas VII
byrudatulaini
 
PDF
Makalah logika matematika filsafat sains
byrukmono budi utomo
 
PPTX
Pengantar logika proposisional
byDantik Puspita
 
DOCX
Pernyataan berkuantor
byAuliafitrirachman Anjella
 
DOCX
Makalah matematika peluang
byLilin Ariandi
 
DOCX
Makalah matematika
byIka Humaeroh
 
DOC
Soal soal-logika-matematika
byjudfyrokhman
 
PDF
Bab vi logika matematika
byhimawankvn
 
PDF
Karya Tulis lmiah
byNASuprawoto Sunardjo
 
DOCX
Makalah etika
byDiah Sari Purwanti
 
PPT
Turunan (diferensial)
byFatimahopet
 
PDF
04. melakukan perbaikan periferal
byEko Supriyadi
 
powerpoint logika matematika
bySuryo Wedo Susilo
 
BAB 2 : KALIMAT BERKUANTOR
byMustahal SSi
 
Makalah logika matematika
byNasifah LasMana
 
pengantar dasar matematika (logika matematika)
bydwi sekti
 
Materi Logika matematika kelas 10
byalvi90
 
Makalah logika
byNur Aqwamah
 
Logika Matematika
byOktaveni Ekasari
 
Modul logika-matematika
byJannah Skylady
 
Logika Matematika Materi SMP kelas VII
byrudatulaini
 
Makalah logika matematika filsafat sains
byrukmono budi utomo
 
Pengantar logika proposisional
byDantik Puspita
 
Pernyataan berkuantor
byAuliafitrirachman Anjella
 
Makalah matematika peluang
byLilin Ariandi
 
Makalah matematika
byIka Humaeroh
 
Soal soal-logika-matematika
byjudfyrokhman
 
Bab vi logika matematika
byhimawankvn
 
Karya Tulis lmiah
byNASuprawoto Sunardjo
 
Makalah etika
byDiah Sari Purwanti
 
Turunan (diferensial)
byFatimahopet
 
04. melakukan perbaikan periferal
byEko Supriyadi
 

Similar to Makalah logika matematika

DOCX
Logika matematika
byIsmi Kuswardhani
 
PPT
54d33fad8c853.ppt
byDeraDentara
 
DOCX
Logika matematika
bynurhikma12
 
DOC
Tugas uas bahasa indonesia
byNdank Suanda
 
DOC
Logika matematika1
byAdi We
 
DOCX
MATEMATIKA DASAR 1
bySafitrisymsr
 
DOCX
Tugas uas bahasa indonesia
byBudi Darmawan
 
DOCX
Bahasa indonesia
bywida_widaningsih
 
DOCX
Matematika
byratnadilamjd
 
DOCX
Matematika
byRetnoAsriani
 
DOCX
MATEMATIKA DASAR 1
bySafitrisymsr
 
DOCX
Materilogika 181021060717
byRianrinaldi130700
 
DOCX
Materilogika 181021060717
byRosmarosyam
 
DOCX
Materi logika
byMuhammad Irwan
 
PDF
Materilogika 181021060717
byRosmarosyam
 
DOCX
Materi logika
bysamsaharsam
 
DOCX
Materilogika 181021060717
byRosmarosyam
 
DOC
Logika matematika1
byDiandra Devikha
 
PPT
Logika
byfadhilmaulana
 
DOCX
Logika matematika
bynunungevilia
 
Logika matematika
byIsmi Kuswardhani
 
54d33fad8c853.ppt
byDeraDentara
 
Logika matematika
bynurhikma12
 
Tugas uas bahasa indonesia
byNdank Suanda
 
Logika matematika1
byAdi We
 
MATEMATIKA DASAR 1
bySafitrisymsr
 
Tugas uas bahasa indonesia
byBudi Darmawan
 
Bahasa indonesia
bywida_widaningsih
 
Matematika
byratnadilamjd
 
Matematika
byRetnoAsriani
 
MATEMATIKA DASAR 1
bySafitrisymsr
 
Materilogika 181021060717
byRianrinaldi130700
 
Materilogika 181021060717
byRosmarosyam
 
Materi logika
byMuhammad Irwan
 
Materilogika 181021060717
byRosmarosyam
 
Materi logika
bysamsaharsam
 
Materilogika 181021060717
byRosmarosyam
 
Logika matematika1
byDiandra Devikha
 
Logika
byfadhilmaulana
 
Logika matematika
bynunungevilia
 

Makalah logika matematika

  • 1.
    MAKALAH LOGIKA MATEMATIKA Makalah inidiajukan untuk Memenuhi Tugas Ujian Akhir Semester (UAS) Mata Kuliah: Bahasa Indonesia Dosen Pengampu: Indrya Mulyaningsih, M.Pd. Disusun Oleh : Nasifah NIM: 14121520520 Tarbiyah/Matematika-C/Semester II INSTITUT AGAMA ISLAM NEGERI (IAIN) SYEKH NURJATI CIREBON 2013
  • 2.
    BAB I PENDAHULUAN A. LatarBelakang Logika matematika merupakan pokok bahasan yang sangat penting karena berhubungan dengan kemampuan berfikir secara logis. Berfikir secara logis sangat diperlukan dalam setiap aspek kehidupan sehari-hari karena merupakan pendukung keberhasilan suatu tindakan, misalnya dalam pengambilan keputusan. Banyak hal yang perlu kita ketahu mengenai logika. Melalui logika kita dapat mengetahui kebenaran suatu pernyataan dari suatu kalimat dan mengetahui apakah pernyataan pertama sama maknanya dengan pernyataan kedua. Dengan logika, kita juga dapat mengetahui apakah suatu pernyataan bernilai benar atau salah. Hal terpenting yang akan kita dapatkan setelah mempelajari logika matematika adalah kemampuan atau keahlian mengambil kesimpulan dengan benar atau sah. B. Rumusan Masalah Adapun masalah yang akan dibahas dalam makalah ini adalah sebagai berikut: 1. Apa yang dimaksud dengan Logika? 2. Apa yang dimaksud dengan pernyataan, kalimat terbuka, dan ingkaran? 3. Operasi-operasi apa saja yang terdapat dalam logika matematika? 4. Apa yang dimaksud dengan tautologi, kontradiksi, dan kontingen? 5. Apa yang dimaksud dengan ekuivalensi, implikasi, konvers, invers, dan kontraposisi? 6. Apa yang dimaksud kalimat berkuantor? 7. Bagaimana cara menarik kesimpulan dan membuktikan kebenaran suatu pernyataan?
  • 3.
    C. Tujuan Adapun tujuandari makalah ini adalah sebagai berikut: 1. Mengetahui apa yang dimaksud dengan logika. 2. Mengetahui apa yang dimaksud dengan pernyataan, kalimat terbuka, dan ingkaran. 3. Mengetahui operasi-operasi yang terdapat dalam logika matematika. 4. Mengetahui apa yang dimaksud dengan tautologi, kontradiksi, dan kontingen 5. Mengetahui apa yang dimaksud dengan ekuivalensi, implikasi, konvers, invers, dan kontraposisi. 6. Mengetahui apa yang dimaksud kalimat berkuantor? 7. Mengetahui bagaimana cara menarik kesimpulan dan membuktikan kebenaran suatu pernyataan.
  • 4.
    BAB II PEMBAHASAN A. PengertianLogika Secara etimologis, istilah Logika berasal dari kata “logos” (Yunani) yang berarti kata, ucapan, fikiran secara utuh, atau bisa juga mengandung makna ilmu pengetahuan. Dalam arti luas Logika adalah sebuah metode dan prinsip-prinsip yang dapat memisahkan secara tegas antara penalaran yang benar dengan penalaran yang salah.1 Dalam mempelajari Logika kita akan berkenalan dengan istilah penalaran, yang diartikan sebagai penarikan kesimpulan dalam sebuah argumen. Penalaran yang sering pula diartiakan cara berfikir, merupakan penjelasan dalam upaya memperlihatkan hubungan antara dua hal atau lebih berdasarkan sifat-sifat atau hukum-hukum tertentu yang sudah diakui kebenarannya dengan langkah-langkah tertentu yang berakhir dengan sebuah kesimpulan.2 Dalam logika kita mempelajari dan meneliti apakah sebuah penalaran yang kita lakukan itu tepat atau tidak. Untuk dapat berfikir dengan tepat, logika menawarkan pada kita sejumlah aturan atau kaidah-kaidah yang harus diperhatikan agar kesimpulan yang kita peroleh hasilnya tepat. “Dalam menghadapi kehidupan sehari-hari kita dituntut untuk menggunakan akal fikiran dalam melakukan setiap kegiatan kita, harus penuh pemikrian dan pertimbangan. Oleh karena itu, kita harus mempunyai pola pikir yang tepat, akurat, rasional dan obyektif disamping dapat berpikir kritis. Pola berpikir seperti ini adalah pola berpikir atau penalaran yang terdapat dalam Logika. Oleh karena itu, Logika sangat penting dalam setiap bidang kehidupan manusia”. (Yaya S. Kusumah, 1986: 2) 1 Yaya S. Kusumah, Logika Matematika Elementer, (Bandung: Tarsito, 1986), h. 1. 2 Ibid.
  • 5.
    B. Pernyataan, KalimatTerbuka, dan Ingkaran Pengertian kalimat dalam kehidupan sehari-hari adalah kumpulan kata, frasa, dan lambang yang mempunyai arti. Dalam matematika ada dua jenis kalimat, yaitu kalimat terbuka dan kalimat tertutup (pernyataan). 1. Pernyataan Pernyataan adalah sebuah kalimat yang memiliki nilai logika (kebenaran) benar atau salah, tetapi tidak sekaligus benar dan salah. Dengan kata lain, pernyataan adalah sebuah kalimat yang sudah dapat ditentukan nilai kebenarannya, yaitu benar atau salah. Benar dan salah maksudnya sesuai dengan keadaan yang sebenarnya. Nama lain dari pernyataan adalah kalimat deklaratif atau proposisi.3 Berikut ini adalah contoh suatu pernyataan dan nilai kebenarannya: a. “Bangun datar persegi memiliki empat titik sudut”, pernyataan ini benar. b. “Nilai x yang memenuhi 2x = 10 adalah 6”, pernyataan ini salah. c. “3 adalah bilangan prima”, pernyataan ini benar. d. “7 kurang dari 6”, pernyataan ini salah. Perlu diketahui bahwa setiap pernyataan adalah kalimat, tetapi tidak setiap kalimat merupakan pernyataan. Kalimat-kalimat yang bukan pernyataan ini tidak atau belum dapat ditentukan nilai kebenarannya, seperti kalimat tanya, kalimat perintah, dan kalimat seru. 2. Kalimat Terbuka Kalimat terbuka adalah suatu kalimat yang belum dapat ditentukan nilai kebenarannya karena masih belum memuat variabel. Variabel atau peubah adalah lambang yang digunakan untuk mewakili anggota sembarang dari suatu semesta pembicaraan.4 3 Siswanto, Theory and Application of Mathematics, (Solo: Bilingual, 2009), h. 248. 4 Ibid.
  • 6.
    Berikut ini cuontohkalimat terbuka: a. 3x + 3 = 7 b. 2 log x = 1 c. x2 – 6x + 9 = 0 d. y – 3 < 4 Suatu kalimat terbuka dapat berubah menjadi pernyataan apabila variabelnya diganti suatu konstanta, yaitu lambang yang mewakili anggota dari suatu semesta pembicaraan. Konstanta pengganti variabel yang menyebabkan kalimat terbuka menjadi pernyataan yang bernilai benar disebut penyelesaian kalimat terbuka atau penyelesaian. Kumpulan semua penyelesaian disebut himpunan penyelesaian. Kalimat terbuka juga dapat diubah menjadi pernyataan dengan menggunakan kuantor. 3. Kata Hubung Logika dan Ingkaran Jika terdapat dua pernyataan atau lebih, kita dapat membentuk sebuah pernyataan baru dengan menggunakan kata hubung logika. Pernyataan-pernyataan yang dibentuk dengan menggunakan kata hubung logika dinamakan pernyataan majemuk atau pernyataan komposisi, sedangkan pernyataan-pernyataan yang membentuk pernyataan majemuk masing-masing disebut komponen pernyataan majemuk. Nilai kebenaran pernyataan majemuk ghanya ditentukan oleh nilai kebenaran komponen- komponen pembentuknya dan tidak diharuskan adanya hubungan antar komponen pembentuknya.5 Pernyataan-pernyataan majemuk diantaranya adalah sebagai berikut: a. Konjungsi, kata hunbungnya “dan” dilambangkan dengan “⋀”. b. Disjungsi, kata hunbungnya “atau” dilambangkan dengan “⋁”. c. Implikasi, kata hunbungnya “Jika ... maka ...” dilambangkan dengan “→”. d. Biimplikasi, kata hunbungnya “... jika dan hanya jika ...” dilambangkan dengan “↔”. 5 Ibid., h. 250.
  • 7.
    Selain menggunakan katahubung logika, suatu pernyataan baru juga dapat dibentuk dengan menggunakan ingkaran (negasi), yaitu pernyataan baru yang bernilai benar apabila pernyataan semula bernilai salah demikian pula sebaliknya. Cara membentuk ingkaran dari suatu pernyataan yaitu dengan menambahkan kata “tidak/bukan” atau “tidak benar bahwa” sesuai berdasarkan aturan tata bahasa yang benar. Jika suatu pernyataan ndinotasikan dengan “p” maka negasi dari pernbyataan p dinotasikan dengan “~p” dibaca negasi p. p ~p B S S B Keterangan: B = Benar S = Salah Berikut ini contoh dari ingkaran: a. p : 100 habis dibagi 5. ~p : Tidak benar bahwa 100 habis dibagi 5. ~p : 100 tidak habis dibagi 5. b. q : Semua ikan bernafas dengan insang. ~q : Tidak semua ikan bernafas dengan insang. ~q : Tidak benar bahwa semua ikan bernafas dengan insang. c. r : 3 adalah faktor dari 13. ~r : Tidak benar bahwa 3 adalah faktor dari 13. ~r : 3 bukan faktor dari 13. C. Operasi-operasi dalam Logika Matematika 1. Konjungsi Konjungsi adalah pernyataan yang dibentuk dari dua pernyataan p dan q yang dirangkai dengan menggunakan kata hubung “dan”.
  • 8.
    Konjungsi pernyataan pdan pernyataan q dinotasikan sebagai berikut: p ⋀ q (dibaca: p dan q) Misalnya kita akan menyusun suatu konjungsi dari dua pernyataan berikut: p : Ada kendraan bermotor. q : Tersedia bahan bakar. Konjungsi dari dua pernyataan tersebut adalah sebagai berikut: p ⋀ q : Ada kendaraan bermotor dan tersedia bahan bakar. Karena konjungsi merupakan suatu pernyataan maka dapat ditentukan nilai kebenarannya, yaitu benar saja atau salah saja dan bukan keduanya. Nilai dan tabel kebenaran Konjungsi. p q p ⋀ q B B S S B S B S B S S S 2. Disjungsi Disjungsi adalah pernyataan yang dibentuk dari dua pernyataan p dan q yang dirangkai dengan menggunakan kata hubung “atau”. Disjungsi pernyataan p dan pernyataan q dinotasikan sebagai berikut: p ⋁ q (dibaca: p atau q) Misalnya kita akan menyusun suatu disjungsi dari dua pernyataan berikut: p : Ada media elektronik. q : Ada media cetak. Disjungsi dari dua pernyataan tersebut adalah sebagai berikut: p ⋁ q : Ada media elektronik atau media cetak.
  • 9.
    Nilai dan tabelkebenaran Konjungsi. p q p ⋁ q B B S S B S B S B B B S 3. Implikasi Implikasi adalah pernyataan majemuk yang disusun dari dua buah pernyataan p dan q dalam bentuk “jika p maka q”. Implikasi pernyataan p dan pernyataan q dinotasikan sebagai berikut: p → q (dibaca: jika p maka q) Misalnya kita akan menyusun suatu disjungsi implikasi dari dua pernyataan berikut: p : 2m × 2n = 2m + n . q : 24 × 23 = 27 . Implikasi dari dua pernyataan tersebut adalah sebagai berikut: p → q : Jika 2m × 2n = 2m + n maka 24 × 23 = 27 . Dari pernyataan ini, bagian “jika 2m × 2n = 2m + n ” dinamakan alasan atau sebaba dan bagian “maka 24 × 23 = 27 ” dinamakan kesimpulan atau akibat. Nilai dan tabel kebenaran Implikasi. p q p → q B B S S B S B S B S B B
  • 10.
    4. Biimplikasi Biimplikasi adalahpernyataan yang disusun dari dua buah pernyataan p dan q yang dirangkai dengan menggunakan kata hubung “jika dan hanya jika”. Biimplikasi pernyataan p dan pernyataan q dinotasikan sebagai berikut: p ↔ q (dibaca: p jika dan hanya jika q) Misalnya kita akan menyusun suatu biimplikasi dari dua pernyataan berikut: p : Dua garis saling berpotongan tegak lurus. q : Dua garis saling membentuk sudut 900 . Biimplikasi dari dua pernyataan tersebut adalah sebagai berikut: p ↔ q : Dua garis saling berpotongan tegak lurus jika dan hanya jika kedua garis saling membentuk sudut 900 . Nilai dan tabel kebenaran Biimplikasi. p q p ↔ q B B S S B S B S B S S B D. Tautologi, Kontradiksi, dan Kontingen 1. Tautologi Tautologi adalah sebuah pernyataan majemuk yang selalu benar untuk semua kemungkinan nilai kebenaran dari pernyataan-pernyataan komponennya.6 Untuk dapat membuktikan apakah suatu pernyataan merupakan tautologi, kita dapat menggunakan tabel kebenaran. 6 Sartono Wirodikromo, Matematika untuk SMA Kelas X, (Jakarta: Erlangga, 2004), h. 159.
  • 11.
    Contoh tautologi: a. Buatlahsebuah tabel kebenaran pernyataan untuk membuktikan bahwa (p ⋀ q) → q merupakan tautologi. Penyelesaian: p q p ⋀ q (p ⋀ q) → q B B S S B S B S B S S S B B B B b. Buatlah sebuah tabel kebenaran pernyataan untuk membuktikan bahwa p ⋁ ~p merupakan tautologi. Penyelesaian: p q ~p p ⋁ ~p B B S S B S B S S S B B B B B B Berdasarkan pada kolom paling kanan kedua tabel di atas, tampak bahwa (p ⋀ q) → q dan p ⋁ ~p selalu bernilai benar untuk setiap nilai kebenaran dan komponennya. . Oleh karena itu, pernyataan (p ⋀ q) → q dan p ⋁ ~p adalah suatu tautologi. 2. Kontradiksi Kontradiksi adalah suatu pernyataan yang selalu bernilai salah untuk setiap nilai kebenaran dari komponen-komponennya. Seperti pada tautologi, untuk membuktikan apakah suatu pernyataan merupakan kontradiksi, kita dapat menggunakan tabel kebenaran. Contoh kontradiksi:
  • 12.
    Tunjukan bahwa pernyataanmajemuk q ⋀ (p ⋀ ~q) merupakan suatu kontradiksi. Penyelesaian: P q ~q p ⋀ ~q q ⋀ (p ⋀ ~q) B B S S B S B S S B S B S B S S S S S S Pada kolom yang paling kanan dari tabel di atas, tampak bahwa q ⋀ (p ⋀ ~q) selalu bernilai salah untuk setiap kebenaran dari komponennya. Oleh karena itu, pernyataan q ⋀ (p ⋀ ~q) adalah suatu kontradiksi. 3. Kontingen Kontingen adalah pernyataan yang nilai kebenarannya merupakan kumpulan dari nilai B dan S, di luar tautologi dan kontradiksi. Contoh kontingen: Tunjukan bahwa pernyataan p ⋀ [q ⋀ (p ⋁ q)] merupakan suatu kontradiksi. Penyelesaian: P q p ⋁ q q ⋀ (p ˅ q) p ⋀ [q ⋀ (p ⋁ q)] B B S S B S B S B B B S B S B S B S S S Pada kolom paling kakan tabel di atas, tampak bahwa nilai kebenaran p ⋀ [q ⋀ (p ⋁ q)] bernilai salah dan benar untuk setiap kebenaran dari komponennya. Oleh karena itu, p ⋀ [q ⋀ (p ⋁ q)] merupakan kontingen.
  • 13.
    E. Ekuivalensi 1. MembuktikanPernyataan Majemuk dengan Menggunakan Tabel Kebenaran Dua pernyataan dikatakan ekuivalen apabila kedua pernyataan tersebut mempunyai nilai kebenaran yang sama. Dua pernyatan p dan q yang ekuivalen dinotasikan dengan p ≡ q.7 Contoh: Dengan menggunakan tabel kebenaran, selidikilah apakah pernyataan-pernyataan berikut ekuivalen. a. ~ (p ⋁ q) dengan ~p ⋀ ~q b. p ⋀ (q → r) dengan (p ⋀ q) → (p ⋀ r) Penyelesaian: a. ~ (p ⋁ q) dengan ~p ⋀ ~q p q ~p ~q p ⋁ q ~ (p ⋁ q) ~p ⋀ ~q B B S S B S B S S S B B S B S B B B B S S S S B S S S B Dari tabel di atas, tampak bahwa nilai kebenaran ~ (p ⋁ q) sama dengan nilai kebenaran ~p ⋀ ~q. Jadi, dapat disimpulkan bahwa ~ (p ⋁ q) ≡ ~p ⋀ ~q. 7 Siswanto, op.cit., h. 282.
  • 14.
    b. p ⋀(q → r) dengan (p ⋀ q) → (p ⋀ r) P q r p⋀q p⋀r q→r p ⋀ (q→r) (p ⋀ q) → (p ⋀ r) B B B B S S S S B B S S B B S S B S B S B S B S B B S S S S S S B S B S S S S S B S B B B S B B B S B B S S S S B S B B B B B B Dari tabel di atas, tampak bahwa nilai kebenaran p ⋀ (q → r) tidak sama dengan nilai kebenaran (p ⋀ q) → (p ⋀ r). Jadi, dapat disimpulkan bahwa p ⋀ (q → r) tidak ekuivalen dengan (p ⋀ q) → (p ⋀ r). 2. Negasi dari Pernyataan Majemuk Negasi dari suatu pernyataan majemuk dapat dibentuk dari negasi pernyataan-pernyataan tunggal dengan menggunakan ukuivalensi, yaitu apabila permyataan-pernyataan majemuk itu mempunyai nilai kebenaran yang sama dengan pernyataan majemuk negasi dari komponen- komponennya.8 Dalam hal ini, terdapat ekuivalensi sebagai berikut: a. ~(p ⋀ q) ≡ ~p ⋁ ~q b. ~(p ⋁ q) ≡ ~p ⋀ ~q c. ~(p → q) ≡ p ⋀ ~q d. ~(p ↔ q) ≡ (p ⋀ ~q) ⋁ (q ⋀ ~p) 8 Ibid., h. 284.
  • 15.
    Contoh: a. Buktikan bahwa~(p ⋀ q) ≡ ~p ⋁ ~q. Bukti: p q ~p ~q p ⋀ q ~(p ⋀ q) ~p ⋁ ~q B B S S B S B S S S B B S B S B B S S S S B B B S B B B Terbukti bahwa ~(p ⋀ q) ≡ ~p ⋁ ~q. b. Tuliskan negasi dari pernyataan-pernyataan berikut: 1) Nia adalah anak yang pandai dan pendiam. 2) Jika Anik mendapat nilai bagus maka ia naik kelas. Penyelesaian: 1) Nia adalah anak yang tidak pandai dan dan pendiam. 2) Anik mendapat nilai bagus maka ia tidak naik kelas. 3. Membuktikan Pernyataan Majemuk tanpa Menggunakan Tabel Kebenaran Untuk membuktikan kebenaran suatu pernyataan majemuk dapat dilakukan dengan menggunakan tabel kebenaran. Akan tetapi, pembuktian dengan cara tersebut kurang efisien. Oleh karena itu, kita dapat membuktikan kebenaran suatu pernyataan majemuk dengan menggunakan sifat-sifat ekuivalensi, diantaranya sebagai berikut: a. * p ⋁ p ≡ p (p ⋁ q) ⋁ r ≡ p ⋁ (q ⋁ r) p ⋁ q ≡ q ⋁ p p ⋁ (q ⋀ r) ≡ (p ⋁ q) ⋀ (p ⋁ r) ~(p ⋁ q) ≡ ~p ⋀ ~q
  • 16.
    * p ⋀p ≡ p (p ⋀ q) ⋀ r ≡ p ⋀ (q ⋀ r) p ⋀ q ≡ q ⋀ p p ⋀ (q ⋁ r) ≡ (p ⋀ q) ⋁ (p ⋀ r) ~(p ⋀ q) ≡ ~p ⋁ ~q b. ~(~p) ≡ p c. ~(p → q) ≡ p ~q p → q ≡ ~p ⋁ q p → (q ⋀ r) ≡ (p → q) ⋀ ~(p → r) d. p ↔ q ≡ (p → q) ⋀ (q → p) F. Implikasi, Konvers, Invers, dan Kontraposisi Seperti yang telah kita ketahui, bahwa dua buah pernyataan atau lebih dapat dibentuk menjadi suatu kalimat majemuk. Pernyataan-pernyataan majemuk yang menggunakan kata hubung “ → “ adalah implikasi, konvers, invers, dan kontraposisi yang didefinisikan sebagai berikut. Jika p dan q adalah suatu pernyataan, maka pernyataan majemuk: 1. p → q disebut implikasi (diketahui) 2. q → p disebut konvers dari p → q 3. ~p → ~q disebut invers dari p → q 4. ~q → ~p disebut kontraposisi dari p → q Dengan menggunakan tabel kebenaran, kita dapat melihat nilai kebenaran dari masing-masing pernyataan baru tersebut. Tabel kebenarannya adalah sebagai berikut. Pernyataan Implikasi Konvers Invers Kontraposisi p q ~p ~q p → q q → p ~p → ~q ~q → ~p B B S S B S B S S S B B S B S B B S B B B B S B B B S B B S B B
  • 17.
    Dengan memperhatikan nilaikebenaran pada tabel di atas, dapat disimpulkan sebagai berikut: 1. Implikasi ekuivalen dengan kontraposisinya. p → q ≡ ~q → ~p 2. Konvers suatu implikasi ekuivalen dengan inversnya. q → p ≡ ~p → ~q Contoh: Tentukan konvers, invers, dan kontraposisi dari implikasi “Jika PQRS adalah persegi, maka PQRS adalah persegi panjang”. Pentelesaian: Konvers : Jika PQRS adalah pesegi panjang, maka PQRS adalah persegi. Invers : Jika PQRS bukan persegi, maka PQRS bukan persegi panjang. Kontraposisi : Jika PQRS bukan pesegi panjang, maka PQRS bukan persegi. G. Kalimat Kuantor dan Negasinya 1. Kuantor Universal Misalkan p(x) adalah suatu kalimat terbuka, dengan x anggota himpunan semesta pembicaraan S. Pernyataan: (∀x ∈ S) p(x) atau (∀x) p(x) Dibaca “untuk setiap x, berlakulah p(x) disebut kalimat berkuantor universal (universal quatifier). Penggunaan kata “untuk setiap” pada kuantor universal senilai dengan kata “untuk semua”, “untuk tiap-tiap”, dan “untuk seluruh”. Contoh: a. Tuliskan kalimat untuk “Untuk setiap n anggota himpunan bilangna asli N, berlaku n anggota himpunan bilangna real R” dengan notasi matematika. Penyelesaian:
  • 18.
    Kalimat tersebut adalahkalimat kuantor universal sehingga dengan notasi matematika dapat ditulis (∀n) n ∈ N → n ∈ . b. Jika semesta pembicaraannya bilangan real R, tentukan nilai kebenaran dari (∀x) (x + 3 < 6). Penyelesaian: (∀x) (x + 3 < 6) bernilai salah. Misalkan diambil salah satu nilai x = 4. Akibatnya, 4 + 3 < 6 (bernilai salah). Dengan demikian, tidak berlaku untuk setiap x ∈ R. 2. Kuantor Eksistensial Misalkan p(x) adalah suatu kalimat terbuka pada suatu himpunan semesta pembicaraan S. Pernyataan: (∃x ∈ S) p(x) atau (∃x) p(x) Dibaca “terdapat x sehingga p(x)” disebut kalimat kuantor eksistensial (existential quantifier). Kata “terdapat” senilai dengan kata “ada”, “beberapa”, “untuk suatu”, dan “untuk paling sedikit satu”. Contoh: Tentukan nilai kebenaran dari kalimat berkuantor eksistensial berikut jika x dan y adalah anggota himpunan bilangna real R. a. (∃x) (x2 – 6x + 8 = 0) b. (∃x) (x2 + 9 < 0) Penyelesaian: a. (∃x) (x2 – 6x + 8 = 0) bernilai benar. Misalkan diambil x = 2 atau x = 4. b. (∃x) (x2 + 9 < 0) bernilai salah. Untuk x ∈ R, x2 ≥ 0, sedangkan 9 > 0. Jadi. Tidak mungkin dua bilangan real positif jika dijumlahkan hasilnya bernilai negatif.
  • 19.
    3. Ingkaran (Negasi)Kalimat Berkuantor Negasi kalimat berkuantor universal adalah kalimat berkuantor eksistensial, sedangkan negasi kalimat berkuantor eksistensial adalah kalimat berkuantor universal.9 Jika terdapat kalimat berkuantor universal (∀x) p(x) dan kalimat berkuantor eksistensial (∃x) p(x), negasi dari keduanya ditulis sebagai berikut: ~[(∀x) p(x)] ≡ (∃x) ~ p(x) ~[(∃x) p(x)] ≡ (∀x) ~p(x) Contoh: Tentukan negasi dari kalimat kuantor berikut jika x dan y adalah anggota himpunan bilangan real. a. (∀x) (x + 7 ≤ 9) b. (∃x) (x2 = x) Penyelesaian: a. ~[(∀x) (x + 7 ≤ 9)] ≡ (∃x) ~(x + 7 ≤ 9) ≡ (∃x) (x + 7 > 9) b. ~[(∃x) (x2 = x)] ≡ (∀x) ~(x2 = x) ≡ (∀x) (x2 ≠ x) H. Penarikan Kesimpulan Untuk membuktikan suatu sifat atau menyelidiki kebenaran dari suatu kesimpulan berdasarkan kebenaran yang sudah diketahui, dapat digunakan pola argumentasi berdasarkan prinsip-prinsip logika. Kesimpulan ditarik dari beberapa pernyataan yang diasumsikan benar terjadi. Asumsi-asumsi itu disebut juga premis. Suatu penarikan kesimpulan dikatakan sah atau valid apabila implikasi dari konjungsi premis-premis dengan konklusi merupakan tautologi. Sebaliknya, apabila premis-premis tidak memberikan informasi 9 Ibid., h. 294.
  • 20.
    yang cukup untukmendukung kesimpulan yang diambil maka dikatakan penarikan kesimpulan tidak valid.10 Prinsip-prinsi yang digunakan untuk menganbik kesimpulan, antara lain modus ponen, modus tollens, dan silogisme. 1. Modus Ponen Penarikan kesimpulan dengan menggunakan modus ponen didasarkan pada prinsip “Jika p → q benar maka q pasti benar”. Prinsip tersebut dapat dirumuskan sebagai berikut: Premis 1 : p → q Premis 2 : p Konklusi : ∴ q Tanda “∴” dibaca “maka” atau “jadi”. Prinsip di atas dibaca: Jika p → q benar dan p benar maka q benar. Sahnya modus ponen dapat dibuktikan dengan tabel kebenaran pernyataan majemuk “[(p → q) ⋀ p] → q”. P q p → q (p → q) ⋀ p (p → q) ⋀ p] → q B B S S B S B S B S B B B S S S B B B B Pada tabel tersebut tampak bahwa pada kolom kelima nilai kebenarannya adalah “benar” seluruhnya. Oleh karena itu, (p → q) ⋀ p] → q merupakan suatu tautulogi. 10 Ibid., h. 297.
  • 21.
    Contoh: Premis 1 :Jika segitiga ABC sama sisi maka AB = AC = BC. Premis 2 : Segitiga ABC sama sisi. Konklusi : Jadi, AB = AC = BC. 2. Modus Tollens Penarikan kesimpulan pada modus Tollens didasarkan pada prinsip “Jika p → q benar dan q tidak benar maka p pasti tidak benar”. Prinsip tersebut dapat dirumuskan sebagai berikut: Premis 1 : p → q Premis 2 : ~q Konklusi : ∴ ~p Prinsip ini dibaca : Jika p → q benar dan ~q benar maka ~p benar. Kebenaran dari modus tollens dapat dibuktikan dengan menggunakan tabel kebenaran kontraposisi. Contoh: Premis 1 : Jika segitiga ABC siku-siku di titik B maka AC2 = AB2 + BC2 . Premis 2 : AC2 ≠ AB2 + BC2 . Konklusi : Jadi, segitiga ABC tidak siku-siku di titik B. 3. Silogisme Penarikan kesimpulan dengan silogisme berdasarkan prinsip “Jika p → q benar dan q → r benar maka p → r pasti benar”. Prinsip tersebut dapat dirumuskan sebagai berikut:
  • 22.
    Premis 1 :p → q Premis 2 : q → r Konklusi : ∴ p → r Kebenaran dari silogisme dapat dilihat pada tabel kebenaran [(p → q) ⋀ (q → r)] → (p → r) adalah suatu tautologi. P q r p→q q→r p→r (p→q) ⋀ (q→r) [(p→q) ⋀ (q→r)] → (p→r) B B B B S S S S B B S S B B S S B S B S B S B S B B S S B B B B B S B B B S B B B S B S B B B B B S S S B S B B B B B B B B B B Contoh: Premis 1 : Jika guru Matematika tidak masuk sekolah maka murid- murid bercengkrama. Premis 2 : Jika murid-murid bercengkrama maka mereka bergembira. Konklusi : Jadi, jika guru Matematika tidak masuk sekolah maka mereka bergembira. I. Pembuktian Pembuktian suatu sifat dalan matematika menunjukan kebenaran sifat dalam matematika secara logika.
  • 23.
    1. Pembuktian denganBukti Langsung Pembuktian dengan bukti langsung digunakan untuk membuktikan sifat dalam matematika dengan implikasi p → q. Pembuktian ini menggunakan nilai kebenaran pernyataan (implikasi), yaitu jika diketahui p bernilai benar (anteseden benar) dan implikasi bernilai benar, kemudian dengan langkah-langkah yang benar, pasti dihasilkan q yang bernilai benar (konsekuen bernilai benar).11 Contoh: Buktikan bahwa jika x + 2 = 5 maka x = 3. Bukti: Diketahui x + 2 = 5. Kemudian, akan dibuktikan bahwa x = 3. Karena x + 2 = 5 maka x + 2 – 2 = 5 – 2 atau x = 3. Jadi, terbukti bahwa jika x + 2 = 5 maka x = 3. 2. Pembuktian dengan Bukti Terbalik Pembuktian dengan bukti terbalik menggunakan prinsip modus tollens. Terdapat dua cara dalam pembuktian dengan bukti terbalik, yaitu kontraposisi dan kontradiksi. a. Kontraposisi Pembuktian dengan kontraposisi digunakan untuk membuktikan sifat matematika yang mempunyai implikasi p → q. Nilai kebenaran suatu implikasi sama dengan nilai kebenaran kontraposisinya. Oleh karena itu, pembuktian dengan kontraposisi dari sifat matematika dengan implikasi p → q dilakukan dengan menunjukan kebenaran sifat matematika ~q → ~p.12 Misalkan akan dibuktikan sifat matematika p →q. Pembuktian dilakukan dengan membuktikan ~q → ~p. Dalam hal ini, diketahui ~q bernilai benar dan implikasi bernilai benar, kemudian dengan langkah- langkah yang benar, pasti dihasilkan ~p yang benar. 11 Ibid., h. 304. 12 Ibid., h. 305.
  • 24.
    Contoh: Buktikan bahwa jikax dan y bilangan ganjil maka x + y bilangna genap. Bukti: Kontraposisi dari implikasi “Jika x dan y bilangan ganjil maka x + y bilangna genap” adalah “Jika x + y bukan bilangan genap maka x dan y bukan bilangna genap”. Diketahui x + y bukan bilangan genap, berarti x + y bilangan ganjil. Oleh karena itu, x atau y merupakan bilangna ganjil berarti x atau y bukan bilangan genap. Jadi, terbukti bahwa jika x atau y bilangan ganjil maka x atau y bilangna genap. b. Kontradiksi Pembuktian dengan kontradiksi dapat digunakan untuk membuktikan sifat matematika yang merupakan suatu implikasi. Untuk membuktikan sifat matematika yang merupakan suatu implikasi p → q, diandaikan tidak q. Selanjutnya, jika dihasilkan kontradiksi (sesuatu yang salah misalkan tidak p karena yang diketahui adalah p), berarti pengandaian salah. Oleh karena itu, pengandaian harus diingkar. Jadi, diperoleh q. Sedangkan untuk membuktikan sifat matematika yang berupa sifat p, diandaikan tidak p. Selanjutnya, jika dihasilkan kontradiksi (sesuatu yang salah misalkan 1 bilangan genap), berarti pengandaian salah. Oleh karena itu, pengandaian harus diingkar.13 Contoh: Buktikan bahwa 2 + 4 = 6. Bukti: Andaikan 2 + 4 ≠ 6 maka 2 + 4 – 4 ≠ 6 – 4 atau 2 ≠ 2. Hal ini kontradiksi dengan ketentuan bahwa 2 = 2. Pengandaian 2 + 4 ≠ 6 harus diingkar sehingga 2 + 4 = 6. Jadi, terbukti 2 + 4 = 6. 13 Ibid., h. 306.
  • 25.
    3. Pembuktian denganInduksi Matematika Pembuktian dengan induksi matematika digunakan untuk membuktikan sifat matematika yang memuat bilangan asli. Misalkan akan dibuktikan bahwa untuk setiap n bilangan asli, berlaku P(n). Langkah- langkah yang dilakukan adalah sebagai berikut: a. Dibuktikan berlaku P(n) untuk n = 1. b. P(n) dianggap benar untuk n = k. Selanjutnya, dibuktikan bahwa P(n) benar untuk n = k + 1. c. Dari langkah a dan b, disimpulkan bahwa untuk setiap n bilangan asli berlaku P(n). Contoh: Buktikan bahwa untuk setiap n bilangan asli, 4n – 1 habis dibagi 3. Bukti: a. Untuk n = 1 maka 4n – 1 = 41 – 1 = 4 – 1 = 3 habis dibagi 3. b. Dianggap benar untuk n = k, berarti 4k – 1 habis dibagi 3. Selanjutnya, untuk n = k + 1 berlaku sebagai berikut: 4k + 1 – 1 = (4k × 4) – 1 = [4k × (3 + 1)] – 1 = [(4k × 3) + (4k × 1)] – 1 = (3 × 4k ) + (4k – 1) Karena 3 × 4k dan 4k – 1 habis dibagi 3 maka 4k + 1 – 1 =(3 × 4k ) + (4k – 1) habis dibagi 3. c. Dari langkah a dan b, disimpulkan bahwa untuk setiap n bilangan asli, berlaku 4n -1 habis dibagi 3.
  • 26.
    BAB III KESIMPULAN Logika adalahsebuah metode dan prinsip-prinsip yang dapat memisahkan secara tegas antara penalaran yang benar dengan penalaran yang salah. Dalam mempelajari logika matematika pasti berhubungan dengan istilah pernyataan, kalimat majemuk dan ingkaran. Pernyataan-pernyataan majemuk diantaranya adalah sebagai berikut: 1. Konjungsi, kata hunbungnya “dan” dilambangkan dengan “⋀”. 2. Disjungsi, kata hunbungnya “atau” dilambangkan dengan “⋁”. 3. Implikasi, kata hunbungnya “Jika ... maka ...” dilambangkan dengan “→”. 4. Biimplikasi, kata hunbungnya “... jika dan hanya jika ...” dilambangkan dengan “↔”. Di dalam logika matematika terdapat beberapa jenis operasi yang digunakan, diantaranya yaitu operasi konjungsi, disjungsi, implikasi, dan biimplikasi. Ada tiga jenis cara penarikan kesimpulan dalam logika matematika, diantaranya adalah sebagai berikut: 1. Dengan Modus Ponen. 2. Dengan Modus Tollens. 3. Dengan Silogisme. Untuk membuktikan kebenaran dari suatu pernyataan dapat dilakukan dengan tiga cara yaitu: 1. Pembuktian dengan bukti langsung. 2. Pembuktian dengan bukti tidak langsung. 3. Pembuktian dengan induksi matematika.
  • 27.
    DAFTAR PUSTAKA Kusumah, YayaS. 1986. Logika Matematika Elementer. Bandung: Tarsito. Munir, Rinaldi. 2012. Matematika Diskrit. Bandung: Informatika. Ruseffendi. 1989. Dasar-dasar Matematika Modern dan Komputer. Bandung: Tarsito. Siswanto. 2009. Theory and Application of Mathematics. Solo: Bilingual. Wirodikromo, Sartono. 2001. Matematika untuk SMA kelas X. Jakarta: Erlangga.