Matematika Diskrit - 03 himpunan - 02

Matematika Diskrit - 03 himpunan - 02

• 1.
  Himpunan Bekerjasama dengan Rinaldi Munir 1
• 2.
  Himpunan kosong (nullset) 2 Himpunan dengan kardinal = 0 disebut himpunan kosong (null set). Notasi :  atau {} Contoh 7. (i) E = { x | x < x }, maka n(E) = 0 (ii) P = { orang Indonesia yang pernah ke bulan }, maka n(P) = 0 (iii) A = {x | x adalah akar persamaan kuadrat x2 + 1 = 0 }, n(A) = 0 himpunan {{ }} dapat juga ditulis sebagai {} himpunan {{ }, {{ }}} dapat juga ditulis sebagai {, {}} {} bukan himpunan kosong karena ia memuat satu elemen yaitu himpunan kosong.
• 3.
  Himpunan Bagian (Subset) 3 Himpunan A dikatakan himpunan bagian dari himpunan B jika dan hanya jika setiap elemen A merupakan elemen dari B. Dalam hal ini, B dikatakan superset dari A. Notasi: A  B Diagram Venn: UAB
• 4.
  Contoh 4 (i){ 1, 2, 3}  {1, 2, 3, 4, 5} (ii) {1, 2, 3}  {1, 2, 3} (iii) N  Z  R  C (iv) Jika A = { (x, y) | x + y < 4, x , y  0 } dan B = { (x, y) | 2x + y < 4, x  0 dan y  0 }, maka B  A. TEOREMA 1. Untuk sembarang himpunan A berlaku hal-hal sebagai berikut: (a) A adalah himpunan bagian dari A itu sendiri (yaitu, A  A). (b) Himpunan kosong merupakan himpunan bagian dari A (   A). (c) Jika A  B dan B  C, maka A  C
• 5.
  5  A dan A  A, maka  dan A disebut himpunan bagian tak sebenarnya (improper subset) dari himpunan A. Contoh: A = {1, 2, 3}, maka {1, 2, 3} dan  adalah improper subset dari A.
• 6.
  6  A B berbeda dengan A  B (i) A  B : A adalah himpunan bagian dari B tetapi A  B. A adalah himpunan bagian sebenarnya (proper subset) dari B. Contoh: {1} dan {2, 3} adalah proper subset dari {1, 2, 3} (ii) A  B : digunakan untuk menyatakan bahwa A adalah himpunan bagian (subset) dari B yang memungkinkan A = B.
• 7.
  •Latihan [LIP00] MisalkanA = {1, 2, 3} dan B = {1, 2, 3, 4, 5}. Tentukan semua kemungkinan himpunan C sedemikian sehingga A  C dan C  B, yaitu A adalah proper subset dari C dan C adalah proper subset dari B. 7
• 8.
  Jawaban: C harusmengandung semua elemen A = {1, 2, 3} dan sekurang-kurangnya satu elemen dari B. Dengan demikian, C = {1, 2, 3, 4} atau C = {1, 2, 3, 5}. C tidak boleh memuat 4 dan 5 sekaligus karena C adalah proper subset dari B. 8
• 9.
  Himpunan yang Sama 9 A = B jika dan hanya jika setiap elemen A merupakan elemen B dan sebaliknya setiap elemen B merupakan elemen A. A = B jika A adalah himpunan bagian dari B dan B adalah himpunan bagian dari A. Jika tidak demikian, maka A  B. Notasi : A = B  A  B dan B  A
• 10.
  10 Contoh 9.(i) Jika A = { 0, 1 } dan B = { x | x (x – 1) = 0 }, maka A = B (ii) Jika A = { 3, 5, 8, 5 } dan B = {5, 3, 8 }, maka A = B (iii) Jika A = { 3, 5, 8, 5 } dan B = {3, 8}, maka A  B Untuk tiga buah himpunan, A, B, dan C berlaku aksioma berikut: (a) A = A, B = B, dan C = C (b) jika A = B, maka B = A (c) jika A = B dan B = C, maka A = C
• 11.
  Himpunan yang Ekivalen 11 Himpunan A dikatakan ekivalen dengan himpunan B jika dan hanya jika kardinal dari kedua himpunan tersebut sama. Notasi : A ~ B  A = B Contoh 10. Misalkan A = { 1, 3, 5, 7 } dan B = { a, b, c, d }, maka A ~ B sebab A = B = 4
• 12.
  Himpunan Saling Lepas 12 Dua himpunan A dan B dikatakan saling lepas (disjoint) jika keduanya tidak memiliki elemen yang sama. Notasi : A // B Diagram Venn: UAB Contoh 11. Jika A = { x | x  P, x < 8 } dan B = { 10, 20, 30, ... }, maka A // B.
• 13.
  Himpunan Kuasa 13 Himpunan kuasa (power set) dari himpunan A adalah suatu himpunan yang elemennya merupakan semua himpunan bagian dari A, termasuk himpunan kosong dan himpunan A sendiri. Notasi : P(A) atau 2A Jika A = m, maka P(A) = 2m. Contoh 12. Jika A = { 1, 2 }, maka P(A) = { , { 1 }, { 2 }, { 1, 2 }} Contoh 13. Himpunan kuasa dari himpunan kosong adalah P() = {}, dan himpunan kuasa dari himpunan {} adalah P({}) = {, {}}.