Modul Matematika SMP KK C

KELOMPOK KOMPETENSI C
MODEL PEMBELAJARAN
MATEMATIKA, STATISTIKA DAN
PELUANG

Kata Sambutan
Peran guru profesional dalam proses pembelajaran sangat penting sebagai
kunci keberhasilan belajar siswa. Guru profesional adalah guru yang
kompeten membangun proses pembelajaran yang baik sehingga dapat
menghasilkan pendidikan yang berkualitas. Hal tersebut menjadikan guru
sebagai komponen yang menjadi fokus perhatian pemerintah pusat maupun
pemerintah daerah dalam peningkatan mutu pendidikan terutama
menyangkut kompetensi guru.
Pengembangan profesionalitas guru melalui program Guru Pembelajar
merupakan upaya peningkatan kompetensi untuk semua guru. Sejalan
dengan hal tersebut, pemetaan kompetensi guru telah dilakukan melalui uji
kompetensi guru (UKG) untuk kompetensi pedagogik profesional pada akhir
tahun 2015. Hasil UKG menunjukkan peta kekuatan dan kelemahan
kompetensi guru dalam penguasaan pengetahuan. Peta kompetensi guru
tersebut dikelompokkan menjadi 10 (sepuluh) kelompok kompetensi. Tindak
lanjut pelaksanaan UKG diwujudkan dalam bentuk pelatihan guru paska UKG
melalui program Guru Pembelajar. Tujuannya untuk meningkatkan
kompetensi guru sebagai agen perubahan dan sumber belajar utama bagi
peserta didik. Program Guru Pembelajar dilaksanakan melalui pola tatap
muka, daring penuh (online), dan daring kombinasi (blended) tatap muka
dengan online.
Pusat Pengembangan dan Pemberdayaan Pendidik dan Tenaga Kependidikan
(PPPPTK), Lembaga Pengembangan dan Pemberdayaan Pendidik dan Tenaga
Kependidikan Kelautan Perikanan Teknologi Informasi dan Komunikasi
(LP3TK KPTK) dan Lembaga Pengembangan dan Pemberdayaan Kepala
Sekolah (LP2KS) merupakan Unit Pelaksanana Teknis di lingkungan
Direktorat Jenderal Guru dan Tenaga Kependidikan yang bertanggung jawab
dalam mengembangkan perangkat dan melaksanakan peningkatan

kompetensi guru sesuai bidangnya. Adapun perangkat pembelajaran yang
dikembangkan tersebut adalah modul untuk program Guru Pembelajar tatap
muka dan Guru Pembelajar online untuk semua mata pelajaran dan
kelompok kompetensi. Dengan modul ini diharapkan program Guru
Pembelajar memberikan sumbangan yang sangat besar dalam peningkatan
kualitas kompetensi guru.
Mari kita sukseskan program Guru Pembelajar ini untuk mewujudkan Guru
Mulia Karena Karya.
Jakarta, Maret 2016

GURU PEMBELAJAR
MODUL MATEMATIKA SMP
PEDAGOGIK
MODEL PEMBELAJARAN MATEMATIKA
DIREKTORAT JENDERAL GURU DAN TENAGA KEPENDIDIKAN
KEMENTERIAN PENDIDIKAN DAN KEBUDAYAAN
2016

Penulis:
1. Dr. Sumardyono, M.Pd., 081328516171, email: smrdyn2007@gmail.com
2. Prof. Dr. H. Nanang Priatna, M.Pd., 08122356350, email:
nanang_priatna@yahoo.com
3. Yogi Anggraena, M.Si., 082345678219, email: yogi_anggraena@yahoo.com
Penelaah:
1. Dr. Anton Noornia, 08161605353, email: antonnoornia@yahoo.com
2. Marfuah, S.Si., M.T., 085875774483, email: marfuah@p4tkmatematika.org
Ilustrator:
Mutiatul Hasanah
Copyright © 2016
Direktorat Jenderal Guru dan Tenaga Kependidikan
Hak Cipta Dilindungi Undang-Undang
Dilarang mengcopy sebagian atau keseluruhan isi buku ini untuk kepentingan
komersial tanpa izin tertulis dari Kementerian Pendidikan Kebudayaan.

v
Kata Pengantar
Peningkatan kualitas pendidikan saat ini menjadi prioritas, baik oleh
pemerintah pusat maupun daerah. Salah satu komponen yang menjadi fokus
perhatian adalah peningkatan kompetensi guru. Peran guru dalam
pembelajaran di kelas merupakan kunci keberhasilan untuk mendukung
keberhasilan belajar siswa. Guru yang profesional dituntut mampu
membangun proses pembelajaran yang baik sehingga dapat menghasilkan
output dan outcome pendidikan yang berkualitas.
Dalam rangka memetakan kompetensi guru, telah dilaksanakan Uji
Kompetensi Guru (UKG) Tahun 2015. UKG tersebut dilaksanakan bagi semua
guru, baik yang sudah bersertifikat maupun belum bersertifikat untuk
memperoleh gambaran objektif kompetensi guru, baik profesional maupun
pedagogik. Hasil UKG kemudian ditindaklanjuti melalui Program Guru
Pembelajar sehingga diharapkan kompetensi guru yang masih belum optimal
dapat ditingkatkan.
PPPPTK Matematika sebagai Unit Pelaksana Teknis Kementerian Pendidikan
dan Kebudayaan di bawah pembinaan Direktorat Jenderal Guru dan Tenaga
Kependidikan mendapat tugas untuk menyusun modul guna mendukung
pelaksanaan Guru Pembelajar. Modul ini diharapkan dapat menjadi sumber
belajar bagi guru dalam meningkatkan kompetensinya sehingga mampu
mengambil tanggung jawab profesi dengan sebaik-baiknya.
Yogyakarta, Maret 2016
Kepala PPPPTK Matematika,
Dr. Dra. Daswatia Astuty, M.Pd.
NIP. 196002241985032001

vii
Daftar Isi
Kata Pengantar................................................................................................................................................v
Daftar Isi..........................................................................................................................................................vii
Daftar Gambar................................................................................................................................................ xi
Pendahuluan.....................................................................................................................................................1
A. Latar Belakang.............................................................................................................1
B. Tujuan ..........................................................................................................................1
C. Peta Kompetensi..........................................................................................................1
D. Ruang Lingkup.............................................................................................................2
E. Cara penggunaan modul .............................................................................................3
Kegiatan Pembelajaran 1............................................................................................................................5
Pendekatan, Strategi, Metode, Teknik, Taktik, Dan Model Pembelajaran ..........................5
A. Tujuan ..........................................................................................................................5
B. Indikator Pencapaian Kompetensi .............................................................................5
C. Uraian Materi...............................................................................................................5
1. Pendekatan pembelajaran......................................................................................5
2. Strategi pembelajaran ............................................................................................6
3. Metode pembelajaran.............................................................................................7
4. Teknik dalam pembelajaran...................................................................................8
5. Taktik Pembelajaran...............................................................................................8
6. Model Pembelajaran...............................................................................................9
D. Aktivitas Pembelajaran .............................................................................................10
E. Latihan/Kasus/Tugas................................................................................................11
F. Rangkuman................................................................................................................11
G. Umpan Balik dan Tindak Lanjut ...............................................................................11
Kegiatan Pembelajaran 2.........................................................................................................................13
Prinsip Pembelajaran................................................................................................................................13
A. Tujuan ........................................................................................................................13
B. Indikator Pencapaian Kompetensi ...........................................................................13
C. Uraian Materi.............................................................................................................13
1. Prinsip Umum Pembelajaran...............................................................................13

Daftar Isi
viii
2. Prinsip Pembelajaran Matematika...................................................................... 14
D. Aktivitas Pembelajaran ............................................................................................ 14
E. Latihan/Kasus/Tugas............................................................................................... 15
F. Rangkuman ............................................................................................................... 15
G. Umpan Balik dan Tindak Lanjut .............................................................................. 15
Model Pembelajaran Berbasis Penemuan.......................................................................................17
A. Tujuan ....................................................................................................................... 17
B. Indikator Pencapaian Kompetensi .......................................................................... 17
C. Uraian Materi............................................................................................................ 17
1. Pengertian ............................................................................................................ 17
2. Fase-fase Model Pembelajaran Penemuan......................................................... 18
3. Integrasi Pendekatan Saintifik dengan Model Pembelajaran Penemuan......... 18
4. Contoh Penerapan Model Pembelajaran Penemuan.......................................... 19
F. Rangkuman ............................................................................................................... 24
Model Pembelajaran Berbasis Masalah............................................................................................25
A. Tujuan ....................................................................................................................... 25
C. Uraian Materi............................................................................................................ 25
1. Pengertian Pembelajaran berbasis Masalah ...................................................... 25
2. Prinsip Proses Pembelajaran Model PBL ........................................................... 26
3. Fase-fase Model Pembelajaran Berbasis Masalah ............................................. 27
4. Integrasi Pendekatan Saintifik dengan Model Pembelajaran Berbasis Masalah
27
5. Contoh Penerapan Model Pembelajaran PBL..................................................... 28
D. Aktivitas Pembelajaran............................................................................................. 29
E. Latihan....................................................................................................................... 29
F. Rangkuman ............................................................................................................... 29

ix
Model Pembelajaran Berbasis Proyek ..............................................................................................31
A. Tujuan ........................................................................................................................31
C. Uraian Materi.............................................................................................................31
1. Pengertian Pembelajaran Berbasis Proyek.........................................................31
2. Fakta Empirik Keberhasilan.................................................................................32
3. Fase-fase Model Pembelajaran Berbasi Proyek..................................................34
4. Penilaian Model Pembelajaran Berbasis Proyek ................................................35
5. Integrasi Pendekatan Saintifik dengan Model Pembelajaran Berbasis Proyek 35
6. Contoh Model Pembelajaran Berbasis Proyek....................................................36
E. Latihan .......................................................................................................................38
F. Rangkuman................................................................................................................38
Model Pembelajaran Dengan Pendekatan Kooperatif (Cooperative Learning).............39
A. Tujuan ........................................................................................................................39
C. Uraian Materi.............................................................................................................39
1. Pengertian Pembelajaran dengan Pendekatan Kooperatif ................................39
2. Tahapan Model Pembelajaran Kooperatif...........................................................40
3. Beberapa tipe Model Pembelajaran Kooperatif..................................................40
4. Integrasi Pendekatan Saintifik dengan Model Pembelajaran Kooperatif..........43
5. Tahapan pembelajaran dengan Model Berbasis Kooperatif ..............................44
E. Latihan/Kasus/Tugas................................................................................................47
F. Rangkuman................................................................................................................47
Model Pembelajaran Dengan Pendekatan Differentiated Instruction................................49

Daftar Isi
x
A. Tujuan ....................................................................................................................... 49
C. Uraian Materi............................................................................................................ 49
1. Pengertian Differentiated Instruction. ............................................................... 49
2. Prinsip Pembelajaran Berdiferensiasi................................................................ 50
3. Perbedaan DI dengan Pembelajaran Tradisional .............................................. 51
4. Mengapa DI?......................................................................................................... 52
5. Metode Differensiasi dalam Pembelajaran Berdiferensiasi .............................. 52
E. Latihan/ Kasus /Tugas............................................................................................. 57
F. Rangkuman ............................................................................................................... 57
Model Pembelajaran Dengan Pendekatan Open-Ended............................................................59
A. Tujuan ....................................................................................................................... 59
C. Uraian Materi............................................................................................................ 59
1. Pendekatan Open-Ended dalam Pembelajaran Matematika.............................. 59
2. Konstruksi Soal Open-ended dan Penilaian Pembelajarannya.......................... 60
3. Contoh Pendekatan Open-Ended dalam Pembelajaran Matematika................. 61
4. Keunggulan dan Kelemahan Pendekatan Open-Ended dalam Pembelajaran
Matematika ............................................................................................................... 62
F. Rangkuman ............................................................................................................... 63
Evaluasi............................................................................................................................................................67
Penutup............................................................................................................................................................71
Daftar Pustaka ..............................................................................................................................................73

xi
Daftar Gambar
Gambar 1 .Diagram hubungan pendekatan, strategi, metode dan teknik
pembelajaran....................................................................................................................8
Gambar 2. Diagram model pembelajaran ......................................................................9
Gambar 3.Contoh perpindahan kelompok dalam Model Tipe Jigsaw ........................41
Gambar 4. Diagram situasi Pendekatan Pembelajaran Open-Ended (Nohda, 2000) 60

1
Pendahuluan
A. Latar Belakang
Proses pembelajaran dapat diibaratkan sebagai sebuah masyarakat yang kecil, yang
menghimpun siswa dengan segala perbedaaanya, materi pelajaran dengan segala
tingkat kesulitannya, dan guru dengan segala kemampuan dan keterbatasannya.
Untuk meminimalisir kesalahan dan kekeliruan dalam implementasi pembelajaran,
agar tujuan pembelajaran dapat tercapai, maka diperlukan pengetahuan dan
pemahaman yang cukup mengenai segala aktivitas yang terlibat dalam proses
tersebut. Beberapa aktivitas terkait dengan pendekatan, strategi, model, metode,
dan teknik pembelajaran.
Dalam proses pembelajaran agar siswa memahami setiap penjelasan yang diberikan
maka seorang guru harus dapat menentukan strategi dan model pembelajaran yang
akan digunakan. Strategi pembelajaran dan model berhubungan dengan cara–cara
yang dipilih guru untuk menyampaikan materi yang akan membantu siswa dalam
menerima materi pembelajaran.
B. Tujuan
Tujuan belajar yang ingin dicapai adalah agar guru memiliki pemahaman mengenai
konsep dasar dan terapan dasar terkait pendekatan, strategi, model, metode, dan
teknik pembelajaran, juga agar guru memiliki pemahaman mengenai konsep dan
terapan prinsip-prinsip pembelajaran secara umum, dan secara khusus yang terkait
dengan Kurikulum 2013.
C. Peta Kompetensi
Kompetensi yang terkait dengan modul ini adalah kompetensi pedagogik, dengan
peta kompetensinya sebagai berikut.
STANDAR KOMPETENSI GURU
KOMPETENSI INTI
GURU
KOMPETENSI GURU
MATA
PELAJARAN/KELAS/KE
AHLIAN/BK
Indikator Esensial/
Indikator Pencapaian Kompetensi
(IPK)
2. Menguasai teori
belajar dan prinsip-
prinsip
2.1 Memahami berbagai
teori belajar dan prinsip-
prinsip pembelajaran
2.1.1 Menganalisis teori belajar yang
sesuai dengan karakteristik siswa
SMP/MTs

Pendahuluan
2
pembelajaran
yang mendidik.
yang
mendidik terkait dengan
mata pelajaran yang
diampu.
2.1.2 Menganalisis prinsip-prinsip
pembelajaran yang sesuai dengan
karakteristik siswaSMP/MTs
2.1.3 Menentukan prinsip-prinsip
pembelajaran yang sesuai dengan
karakteristik mapel matematika
SMP/MTs
2.1.4 Menjelaskan, pengertian, macam
dan aplikasi teori belajar yang sesuai
dengan
karakteristik mapel matematika
2.1.5 Mengidentifikasi kegiatan
pembelajaran matematika SMP/MTs
yang sesuai dengan
teori belajar tertentu
2.1.6 Menganalisis contoh penerapan
prinsip-prinsip pembelajaran yang
mendidik dalam pembelajaran
matematika
2. Menguasai teori
belajar dan prinsip-
prinsip
pembelajaran
yang mendidik.
2.2 Menerapkan berbagai
pendekatan, strategi,
metode, dan teknik
bermain sambil belajar
yang bersifat holistik,
otentik, dan bemakna,
yang terkait dengan
berbagai bidang
pengembangan di
SMP/MTs.
2.2.1. Membedakan pengertian
pendekatan, strategi, metode dan
teknik pembelajaran
2.2.2. Mengidentifikasi pendekatan
pembelajaran yang mendidik secara
kreatif dalam mapel matematika
SMP/MTs
2.2.3. Mendeskripsikan pendekatan
dan strategi pembelajaran dalam
mapel matematika SMP/MTs
2.2.4. Mendeskripsikan metode dan
teknik pembelajaran yang mendidik
secara kreatif dalam mapel
matematika SMP/MTs
2.2.5. Merancang kegiatan
pembelajaran sesuai karakteristik
mapel matematika
SMP/MTs
D. Ruang Lingkup
Ruang lingkup materi dalam modul ini meliputi:
1. Pengertian pendekatan, strategi, metode, teknik, taktik, dan model
pembelajaran.
2. Prinsip pembelajaran.
3. Model pembelajaran berbasis Discovery Learning.
4. Model pembelajaran berbasis Problem Based Learning.
5. Model pembelajaran berbasis Project Based Learning.

Modul Matematika SMP
3
6. Pendekatan Open-Ended.
7. Pendekatan Cooperative learning.
8. Pendekatan Differentiated Instruction.
E. Cara Penggunaan Modul
1. Bacalah modul ini secara runtut, dimulai dari Bab Pendahuluan, agar dapat
lebih mudah dan lancar dalam mempelajari kompetensi dan materi dalam
modul ini.
2. Lakukan aktivitas belajar yang terdapat pada modul. Dalam melakukan
aktivitas belajar tersebut, sesekali dapat melihat kembali materi di dalam
modul.
3. Materi di dalam modul lebih bersifat ringkas dan padat, sehingga
dimungkinkan untuk menelusuri literatur lain yang dapat menunjang
penguasaan kompetensi.
4. Setelah melakukan aktivitas belajar, barulah berusaha sekuat pikiran, untuk
menyelesaikan latihan dan/atau tugas yang ada. Jangan tergoda untuk
melihat kunci dan petunjuk jawaban. Kemandirian dalam mempelajari
modul akan menentukan seberapa jauh penguasaan kompetensi.
5. Setelah mendapatkan jawaban atau menyelesaikan tugas, bandingkan
dengan kunci atau petunjuk jawaban.
6. Lakukan refleksi berdasarkan proses belajar yang telah dilakukan dan
penyelesaian latihan/tugas. Bagian rangkuman dapat dijadikan modal
dalam melakukan refleksi. Hasil refleksi yang dapat terjadi antara lain
ditemukan beberapa bagian yang harus direviu dan dipelajari kembali, ada
bagian yang perlu dipertajam atau dikoreksi, dan lain lain.

5
Kegiatan Pembelajaran 1
Pendekatan, Strategi, Metode, Teknik, Taktik, Dan Model
Pembelajaran
A. Tujuan
Guru memiliki pemahaman mengenai pendekatan, strategi, metode, teknik, taktik,
dan model pembelajaran, serta perbedaannya.
B. Indikator Pencapaian Kompetensi
Setelah mempelajari kegiatan pembelajaran ini, Guru dapat:
 menjelaskan pengertian pendekatan, strategi, metode, teknik, taktik, dan model
pembelajaran,
 mendeskripsikan pendekatan, strategi, metode, teknik, taktik, dan model
pembelajaran,
 memberi contoh pendekatan, strategi, metode, teknik, taktik, dan model
pembelajaran.
C. Uraian Materi
1. Pendekatan pembelajaran
a. Pengertian Pendekatan Pembelajaran
Dalam Permendikbud No.103 Tahun 2014, disebutkan bahwa pendekatan
pembelajaran merupakan cara pandang pendidik yang digunakan untuk
menciptakan lingkungan pembelajaran yang memungkinkan terjadinya proses
pembelajaran dan tercapainya kompetensi yang ditentukan. Hal ini sejalan dengan
pendapat T. Raka Joni (dalam Abimanyu, 2008) yang menyatakan bahwa
pendekatan sebagai cara umum dalam memandang permasalahan atau objek kajian,
sehingga berdampak ibarat seseorang menggunakan kacamata dengan warna
tertentu di dalam memandang alam.
Secara umum, pembelajaran terdapat dua jenis pendekatan, yaitu: (1) pendekatan
pembelajaran yang berpusat pada siswa (student centered approach) dan (2)
pendekatan pembelajaran yang berpusat pada guru (teacher centered approach).

6
b. Pendekatan Kontekstual
Pendekatan kontekstual (CTL, Contextual Teaching and Learning) merupakan
konsep belajar yang dapat membantu guru mengaitkan antara materi yang
diajarkannya dengan situasi dunia nyata siswa dan mendorong siswa membuat
hubungan antara pengetahuan yang dimilikinya dengan penerapannya dalam
kehidupan mereka sebagai anggota keluarga dan masyarakat (Nurhadi, 2002).
Prinsip dalam CTL yaitu: (1) konstruktivisme, (2) penemuan (inquiry), (3) bertanya
(questioning), (4) masyarakat belajar (learning community), (5) pemodelan
(modelling), (6) refleksi, dan (7) penilaian autentik.
c. Pendekatan Saintifik
Dalam Kurikulum 2013, juga dikenal istilah pendekatan saintifik. Pendekatan
saintifik adalah suatu pendekatan pembelajaran yang mengikuti kegiatan ilmiah,
dengan alur urutan kegiatan atau pengalaman belajar sebagai berikut: mengamati,
menanya, mengumpulkan informasi/mencoba, menalar/mengasosiasi, dan
mengomunikasikan (Permendikbud No.103 Tahun 2014, pasal 2, ayat 8).
Pada awal pembelajaran, guru memfasilitasi dengan aktivitas di mana siswa untuk
pertama kali belajar dengan mengamati, dengan menggunakan inderanya dan juga
pikirannya. Bentuk aktivitas dapat berupa problem/masalah, alat peraga, kasus,
contoh dan bukan contoh, dan lain sebagainya. Selanjutnya, siswa akan bertanya-
tanya (baik mandiri maupun dibimbing oleh guru), mengenai apa yang belum
dipahami, apa yang perlu dicari, bagaimana cara mencarinya, alternatif apa yang
dapat dilakukan, bagaimana melakukannya, dsb. Siswa menerapkan alternatif cara
pemecahan dengan sambil mengumpulkan informasi yang ditemui sebanyak-
banyaknya dan seselektif mungkin. Setelah mengumpulkan informasi dengan
menerapkan strategi pemecahan atau percobaan, siswa menalar (mencari
kesimpulan) atau mengasosiasikan hasil-hasil hingga membentuk satu atau
beberapa kesimpulan. Siswa juga difasilitasi untuk mengkomunikasikan hasilnya
dengan berdiskusi atau dilaporkan, baik dengan siswa lainnya maupun dengan guru.
2. Strategi pembelajaran
Berdasarkan pendekatan pembelajaran yang telah ditetapkan selanjutnya
diturunkan ke dalam strategi pembelajaran. Contohnya, pendekatan pembelajaran

7
yang berpusat pada siswa dapat menurunkan strategi pembelajaran discovery dan
inkuiri serta strategi pembelajaran kooperatif. Strategi pembelajaran merupakan
langkah-langkah sistematik dan sistemik yang digunakan pendidik untuk
menciptakan lingkungan pembelajaran yang memungkinkan terjadinya proses
pembelajaran dan tercapainya kompetensi yang ditentukan (Permendikbud No.103
Tahun 2014).
Secara umum strategi pembelajaran dapat dibedakan ke dalam beberapa klasifikasi:
a. Expository versus discovery
Expository merupakan strategi pembelajaran yang menitikberatkan dalam
penyampaikan bahan materi secara sistematis dan lengkap, dimana posisi siswa
sebagai penerima. Sementara discovery dimaksudkan sebagai strategi yang
menempatkan siswa lebih aktif dengan kegiatan menemukan dimana materi
disampaikan tidak dalam bentuk final.
b. Group versus Individual
Strategi group mementingkan peran siswa dalam kegiatan kelompok untuk
bekerjasama dan terlibat dalam aktivitas kelompok. Sementara strategi individual
dimaksudkan lebih menitikberatkan pada peran individu secara mandiri dalam
mencapai kemajuan belajarnya.
3. Metode pembelajaran
Metode merupakan langkah operasional atau implementatif dari strategi
pembelajaran yang dipilih dalam mencapai tujuan belajar. Ketepatan penggunaan
suatu metode akan menunjukkan berfungsinya suatu strategi pembelajaran. Strategi
pembelajaran masih bersifat konseptual dan untuk mengimplementasikannya
digunakan berbagai metode pembelajaran tertentu. Dengan kata lain, strategi
merupakan “a plan of operation achieving something” sedangkan metode adalah “a
way in achieving something” (Wina Sanjaya, 2010).
Berdasarkan Permendikbud No.103 Tahun 2014, metode pembelajaran merupakan
cara atau teknik yang digunakan oleh pendidik untuk menangani suatu kegiatan
pembelajaran yang mencakup antara lain ceramah, tanya-jawab, diskusi. Ini senada
dengan pendapat Hasibuddin dan Moedijono (2002: 3) bahwa metode pembelajaran
adalah alat yang dapat merupakan bagian dari perangkat alat dan cara dalam
pelaksanaan suatu strategi pembelajaran. Beberapa metode pembelajaran antara

8
lain: ceramah, diskusi, demonstrasi, laboratorium, tanya jawab, latihan (drill),
pemecahan masalah, dan proyek.
4. Teknik dalam pembelajaran
Metode pembelajaran selanjutnya dapat dijabarkan ke dalam teknik pembelajaran.
Teknik pembelajaran menurut T. Raka Joni (dalam Abimanyu, 2008) menunjuk
kepada ragam khas penerapan sesuatu metode dengan latar tertentu, seperti
kemampuan dan kebiasaan guru, ketersediaan peralatan, kesiapan siswa dan
sebagainya. Sementara Sanjaya (2010) mengartikan teknik pembelajaran sebagai
cara yang dilakukan seseorang dalam mengimplementasikan suatu metode secara
spesifik. Hubungan pendekatan, strategi, metode, dan teknik pembelajaran dapat
diilustrasikan dalam diagram di bawah ini.
Gambar 1 .Diagram hubungan pendekatan, strategi, metode dan teknik pembelajaran
5. Taktik Pembelajaran
Taktik pembelajaran merupakan gaya seseorang dalam melaksanakan metode atau
teknik pembelajaran tertentu yang sifatnya individual (Sanjaya, 2010). Misalkan,
terdapat dua orang sama-sama menggunakan metode ceramah, tetapi mungkin akan
sangat berbeda dalam taktik yang digunakannya. Misalnya dalam penyajiannya,
yang satu cenderung banyak berkeliling kelas dan diselingi dengan humor,
sementara yang satunya lagi dominan di depan kelas menggunakan presentasi
berbantuan komputer dan kurang memiliki sense of humor.

9
6. Model Pembelajaran
Di dalam Permendikbud No.103 Tahun 2014 tentang Pembelajaran pada Pendidikan
Dasar dan Pendidikan Menengah, Pasal 2 dinyatakan bahwa: model pembelajaran
merupakan kerangka konseptual dan operasional pembelajaran yang memiliki
nama, ciri, urutan logis, pengaturan, dan budaya. Di lain pihak, model pembelajaran
adalah kerangka konseptual yang menggambarkan prosedur sistematis dalam
mengorganisasikan pengalaman belajar peserta didik untuk mencapai tujuan belajar
tertentu dan berfungsi sebagai pedoman dalam merencanakan dan melaksanakan
aktivitas belajar mengajar (Syaiful Sagala, 2005).
Jika pendekatan, strategi, metode, dan teknik pembelajaran bahkan termasuk juga
taktik pembelajaran, kesemuanya terangkai menjadi satu kesatuan yang utuh maka
terbentuklah apa yang disebut dengan model pembelajaran.
Gambar 2. Diagram model pembelajaran
Para ahli menyusun model pembelajaran berdasarkan pada prinsip-prinsip
pendidikan, teori psikologis, sosiologis, psikiatri, analisis sistem, atau teori lain
(Joyce dan Weil, 1980).
Menurut Joyce dan Weil, suatu model memiliki bagian-bagian sebagai berikut:
a. Urutan langkah-langkah pembelajaran (syntax)
Suatu model pembelajaran memuat sintaks atau urutan atau tahap-tahap kegiatan
belajar yang diistilahkan dengan fase, yang menggambarkan bagaimana praktik
model tersebut, misalnya bagaimana memulai dan mengakhiri pelajaran.

10
b. Adanya prinsip-prinsip reaksi
Prinsip reaksi menjelaskan bagaimana guru menghargai dan/atau menilai peserta
didik serta bagaimana menanggapi apa yang dilakukan oleh peserta didik dalam
proses pembelajaran.
c. Sistem sosial
Sistem sosial menggambarkan bentuk kerjasama guru dan siswa dalam
pembelajaran atau peran guru dan siswa dan hubungannya satu sama lain serta
jenis-jenis aturan yang harus diterapkan/dilaksanakan.
d. Sistem pendukung
Sistem pendukung menunjuk pada kondisi yang diperlukan untuk mendukung
keterlaksanaan model pembelajaran, termasuk sarana dan prasarana, misalnya alat
dan bahan, lingkungan belajar, kesiapan guru dan siswa.
Dalam rangka implementasi pendekatan saintifik dalam Kurikulum 2013, ada tiga
kelompok model pembelajaran yang disarankan, yaitu model-model berbasis
pemecahan masalah, berbasis penemuan, dan berbasis proyek.
D. Aktivitas Pembelajaran
1. Bagilah ke dalam beberapa kelompok dengan 3 hingga 5 orang anggota.
2. Bagilah di setiap kelompok, pembagian tugas satu anggota untuk mempelajari
satu dari 3 topik berikut: (untuk lebih dari 3 anggota, maka tetapkan 2
anggotanya dengan satu topik yang sama)
a. Pendekatan dan strategi pembelajaran
b. Metode, teknik, taktik pembelajaran
c. Komponen model pembelajaran
3. Setiap anggota diberi waktu untuk mempelajari topiknya dari uraian materi
selama lebih kurang 5-8 menit.
4. Sesuai arahan fasilitator, semua anggota dengan topik yang sama berkumpul
membentuk kelompok topik yang sama. Dalam kelompok tersebut, buatlah
sebuah resume atau hal-hal penting terkait topik tersebut. Jika perlu tetapkan
seorang koordinator agar diskusi berjalan efektif. Hasil diskusi menjadi
kesepakatan bersama. Waktu diskusi lebih kurang 10 menit.

11
5. Setiap anggota melaporkan pada kelompoknya, hasil diskusi saat di kelompok
topik. Diskusi bisa berlanjut di kelompoknya masing-masing untuk
mempertajam dan memperbaiki hasil diskusi di kelompok topik. Buatlah
resume terkait seluruh topik yang telah didiskusikan.
E. Latihan/Kasus/Tugas
1. Jelaskan dengan singkat pengertian pendekatan, strategi, metode, teknik, taktik,
dan model pembelajaran.
2. Jelaskan pula hubungan antar istilah-istilah pembelajaran di atas!
3. Berikan masing-masing 2 contoh untuk pendekatan, strategi, metode, teknik,
dan model pembelajaran!
F. Rangkuman
Dalam proses pembelajaran, beberapa istilah berikut saling terkait dan yang awal
meliputi dan menurunkan yang berikutnya: pendekatan, strategi, metode, dan
teknik pembelajaran. Selain itu, terdapat taktik pembelajaran yang lebih bersifat
unik untuk setiap guru. Kesemuanya terjalin dalam sebuah model pembelajaran.
G. Umpan Balik dan Tindak Lanjut
Jika Anda dapat memahami sebagian besar materi dan dapat menjawab sebagian
besar latihan/tugas, maka Anda dapat dianggap menguasai kompetensi yang
diharapkan. Namun jika tidak atau Anda merasa masih belum optimal, silakan
dipelajari kembali dan berdiskusi dengan teman sejawat untuk memantapkan
pemahaman dan memperoleh kompetensi yang diharapkan.

13
Prinsip Pembelajaran
A. Tujuan
Guru memiliki pemahaman mengenai prinsip-prinsip pembelajaran yang optimal
dan mendidik, dan khususnya pada pembelajaran matematika.
Guru dapat:
 Menjelaskan prinsip-prinsip umum pembelajaran.
 Menjelaskan prinisp-prinsip pembelajaran matematika.
C. Uraian Materi
1. Prinsip Umum Pembelajaran
Berdasarkan Permendikbud No. 103 Tahun 2004 tentang Pembelajaran pada
Pendidikan Dasar dan Pendidikan Menengah, pada Pasal 2 Ayat 1 disebutkan bahwa
pembelajaran dilaksanakan berbasis aktivitas dengan karakteristik:
a. interaktif dan inspiratif;
b. menyenangkan, menantang, dan memotivasi peserta didik untuk
berpartisipasi aktif;
c. kontekstual dan kolaboratif;
d. memberikan ruang yang cukup bagi prakarsa, kreativitas, dan kemandirian
peserta didik; dan
e. sesuai dengan bakat, minat, kemampuan, dan perkembangan fisik serta
psikologis peserta didik.
Selanjutnya menegaskan prinsip-prinsip pembelajaran yang dinyatakan dalam
Permendikbud No.65 Tahun 2013 tentang standar proses pendidikan dasar dan
menengah, maka di dalam Lampiran Permendikbud No.103 tersebut di atas,
dinyatakan pada Bagian III (Pembelajaran), subbagian C (Prinsip), bahwa untuk

14
mencapai kualitas yang telah dirancang dalam dokumen kurikulum, kegiatan
pembelajaran perlu menggunakan beberapa prinsip (terdapat 14 prinsip).
2. Prinsip Pembelajaran Matematika
Berdasarkan berbagai pandangan ahli dan sumber literatur antara lain Miller
(2015), ada beberapa prinsip pembelajaran matematika sehingga pembelajaran
matematika berlangsung secara bermakna dan efektif.
a. Jadikan siswa mengerti bukan sekedar tahu dan terampil.
b. Jadikan tujuan esensial belajar matematika sebagai kendali guru dalam
pembelajaran matematika.
c. Pastikan siswa belajar tidak hanya mengerjakan soal, tetapi juga “bekerja”
dengan matematika.
d. Agar pembelajaran matematika lebih efektif, pembelajaran harus berdasar pada
kemampuan awal siswa (bukan rencana pembelajaran di kelas) dan memastikan
siswa tetap fokus dan mendalami ide pokok atau konsep kunci dari pelajaran.
e. Gunakan sumber belajar, lingkungan belajar, dan sarana belajar yang
memperkaya dan mendukung proses pembelajaran matematika.
f. Jadikan penilaian yang kontinu untuk mengevaluasi proses pembelajaran dan
meningkatkan kemampuan siswa dalam belajar matematika.
g. Terapkan strategi pembelajaran yang menekan/menghilangkan kesalahan
persepsi dan mitos yang keliru mengenai belajar matematika.
h. Jadilah model bagi siswa.
1. Setelah membaca uraian materi, diskusikan dengan kelompok Anda (4 hingga 6
anggota) mengenai beberapa prinsip umum pembelajaran dan prinsip
2. Lakukan refleksi terhadap proses pembelajaran yang selama ini Anda fasilitasi.
Urutkan prinsip pembelajaran matematika dari yang paling sering Anda lakukan
hingga yang belum atau paling jarang Anda lakukan. Rencanakan apa yang
mungkin Anda lakukan ke depan untuk mempertahankan dan/atau
meningkatkannya.

15
No. Prinsip pembelajaran
matematika
Rencana tindakan
1
2
1. Sebutkan dan jelaskan beberapa prinsip pembelajaran sesuai Permendikbud
No.103 Tahun 2015!
2. Sebutkan prinsip-prinsip pembelajaran matematika bermakna dan efektif!
3. Jelaskan prinsip pembelajaran mana yang relevan dengan pembelajaran PAKEM
(partisipatif, aktif, kreatif, efektif, dan menyenangkan)!
F. Rangkuman
Prinsip pembelajaran meliputi strategi umum pembelajaran agar proses
pembelajaran dapat berjalan efektif, bermakna bagi siswa dan mencapai tujuan yang
ditetapkan. Prinsip pembelajaran (termasuk pembelajaran matematika) harus
diperhatikan guru karena merupakan sendi-sendi utama dalam proses
pembelajaran, baik dalam aspek konten, siswa, guru, maupun interaksi dalam
pembelajaran, khususnya bagaimana membuat siswa belajar.
diharapkan.Namun jika tidak atau Anda merasa masih belum optimal, silakan

17
Model Pembelajaran Berbasis Penemuan
(Discovery Based Learning)
A. Tujuan
Setelah mempelajari kegiatan pembelajaran ini diharapkan guru:
1. memahami dan menjelaskan pengertian model pembelajaran penemuan,
2. memahami fase-fase model pembelajaran penemuan,
3. mampu mengimplementasikan model pembelajaran penemuan ini dalam
Indikator pencapaian kompetensi guru setelah mempelajari kegiatan pembelajaran
ini adalah guru mampu:
1. menjelaskan pengertian model pembelajaran berbasis penemuan,
2. memahami langkah-langkah model pembelajaran berbasis penemuan,
3. menerapkan model pembelajaran berbasis penemuan dalam pembelajaran
dengan materi yang sesuai.
C. Uraian Materi
1. Pengertian
Discovery Based Learning atau Discovery Learning lebih menekankan pada
ditemukannya konsep atau prinsip yang sebelumnya tidak diketahui, masalah yang
diperhadapkan kepada siswa semacam masalah yang direkayasa oleh guru. Khusus
inkuiri, masalah yang dikaji bukan hasil rekayasa sehingga harus melalui proses
penelitian. Pada Discovery Learning, materi yang akan disampaikan tidak dalam
bentuk final akan tetapi siswa didorong untuk mengidentifikasi apa yang ingin
diketahui, dilanjutkan dengan mencari informasi sendiri kemudian mengorganisasi
atau membentuk apa yang mereka ketahui dan pahami dalam suatu bentuk akhir.

18
2. Fase-fase Model Pembelajaran Penemuan
Fase-fase penerapan model pembelajaran penemuan adalah sebagai berikut.
Fase Aktivitas Keterangan
1 Stimulation (pemberian
stimulus)
Guru memberikan sesuatu rangsangan kepada
siswa yang menimbulkan kebingungannya dan
timbul keinginan untuk menyelidiki sendiri. Bentuk
rangsangan dapat berupa pertanyaan, gambar,
benda, cerita, fenomena, dan aktivitas belajar
lainnya yang mengarah pada persiapan
menemukan suatu konsep.
2 Problem statement
(pernyataan/
identifikasi masalah)
Guru mengajak siswa untuk mengidentifikasi
masalah yang relevan dengan bahan disajikan
untuk stimulus. Dari masalah tersebut, dirumuskan
jawaban sebagai dugaan sementara (hipotesis).
3 Data collection
(pengumpulan data)
Siswa mengumpulkan informasi yang relevan
untuk membuktikan kebenaran hipotesis atau
menemukan suatu konsep. Data dapat diperoleh
melalui membaca literatur, mengamati objek,
wawancara dengan nara sumber, melakukan uji
coba sendiri dan sebagainya.
4 Data processing
(pengolahan data)
Siswa mengolah data yang telah dikumpulkan.
Pengolahan data dalam rangka mengarahkan
kepada konsep yang akan dicapai.
5 Verification
(memverifikasi)
Siswa melakukan pemeriksaan kebenaran
hipotesis terkait dengan hasil pengolahan data
processing.
6 Generalization
(penarikan kesimpulan/
generalisasi)
Siswa diajak untuk melakukan generalisasi konsep
yang sudah dibuktikan untuk kondisi umum.
3. Integrasi Pendekatan Saintifik dengan Model Pembelajaran Penemuan
Model pembelajaran penemuan adalah salah satu model yang menunjang
pendekatan saintifik. Berikut ini cara alternatif untuk mengintegrasikan pendekatan
saintifik ke dalam model pembelajaran penemuan.
Model Pembelajarn
Penemuan
Pendekatan
Saintifik
Keterangan
Fase 1: Stimulation
(pemberian rangsangan)
 Mengamati
 Menanya
Siswa mengamati masalah yang
disajikan oleh guru sebagai
rangsangan pembelajaran di awal.
Siswa diajak untuk merumuskan
informasi yang diberikan pada
masalah tersebut, dan
merencanakan cara untuk
memecahkannya. Masalah yang
disajikan Masalah yang diberikan
sebaiknya membuat siswa tertarik
untuk memecahkannya melalu
Fase 2: Problem
statement
(pernyataan/identifikasi
masalah)

19
Model Pembelajarn
Penemuan
Pendekatan
Saintifik
Keterangan
model pembelajaran penemuan.
Fase 3: Data collection
(pengumpulan data)
 Mengumpulkan
informasi
Siswa mengumpulkan informasi
untuk menemukan konsep guna
memecahkan masalah yang sudah
teridentifikasi.
Fase 4: Data processing
(pengolahan data)
 Mengasosiasi Siswa mengolah data hingga
didapatkan suatu kesimpulan. Siswa
juga mengecek temua mereka untuk
kondisi lain yang serupa. Hasil
pengolahan data tersebut digunakan
sebagai pemecah masalah yang
disajikan di awal pembelajaran.
Fase 5: Verification
(memverifikasi)
Fase 6: Generalization
(penarikan
kesimpulan/generalisasi)
 Mengkomunika
sikan
Siswa mempresentasikan hasil
temuan dan pemecahan masalah di
dalam kelas. Siswa atau kelompok
lain menanggapi presentasi tersebut
dengan pengarahan guru.
4. Contoh Penerapan Model Pembelajaran Penemuan
Berikut contoh aktivitas pembelajaran dalam menerapkan model pembelajaran
penemuan (discovery learning).
Indikator: Menemukan rumus menentukan panjang busur lingkaran
Fase 1 : Pemberian rangsangan
1. Guru menyajikan permasalahan kepada siswa dan meminta siswa untuk
mencoba menyelesaikannya. Contoh: Guru meminta siswa menentukan
hubungan antara panjang busur lingkaran dengan ukuran
sudut pusat . Contoh permasalahan:
a. Diketahui suatu busur lingkaran dengan sudut pusat .
Jika jari-jari lingkaran satuan panjang, bisakah kalian
menentukan panjang busur tersebut?
b. Diketahui suatu juring lingkaran dengan sudut pusat .
Jika jari-jari lingkaran satuan panjang, bisakah kalian
menentukan luas juring tersebut?
Fase 2 : Mengidentifikasi masalah
2. Guru meminta siswa mengamati dan memahami masalah
yang disajikan. Salah satu caranya adalah guru
mengarahkan siswa agar mengumpulkan informasi penting terkait dari masalah
A
B
O
A
B
O

20
tersebut. Contoh informasi penting yang didapatkan dari pengamatan masalah
sebagai berikut.
Diketahui: Sudut pusat = , Jari-jari =
Ditanyakan: a. Panjang busur
b. Luas juring
3. Guru meminta siswa untuk memberikan dugaan jawaban sementara (hipotesis)
dengan cara mengaitkan informasi yang sudah dikumpulkan.
Contoh hipotesis:
a. Semakin besar sudut pusat, semakin besar pula busur yang dihadap.
b. Semakin besar sudut pusat, semakin besar pula juring yang dihadap.
c. Panjang busur berbanding lurus dengan ukuran sudut pusat.
d. Luas juring berbanding lurus dengan ukuran sudut pusat.
Fase 3 : Pengumpulan data
4. Guru meminta siswa merencanakan langkah-langkah yang akan digunakan dan
apa saja yang perlu mereka ketahui untuk menyelesaikan masalah. Contoh
perencanaan yang bisa dibuat adalah dengan mengaitkan beberapa sudut pusat
tertentu dengan panjang busur dan luas juring yang mudah diamati.
5. Guru meminta siswa untuk mengumpulkan informasi pendukung terkait dengan
permasalahan. Sesuai dengan permasalahan yang disajikan di awal, informasi
terkait yaitu: busur, juring, sudut pusat, keliling lingkaran, dan luas lingkaran.
Selama proses pengumpulan data, guru mengarahkan siswa atau kelompok
siswa agar informasi yang didapatkan sesuai dengan tujuan pembelajaran yang
ingin dicapai. Teknik pengumpulan data sebaiknya dengan sebuah Lembar Kerja
Siswa (LKS). Berikut ini contoh isi LKS yang bisa memfasilitasi siswa dalam
mengumpulkan data.
Perhatikan gambar-gambar busur lingkaran berikut!
Garis yang berwarna tebal adalah gambar busur lingkaran yang bersesuaian
dengan sudut pusat masing-masing. Perhatikan hubungan ukuran sudut pusat
dengan panjang busur pada masing-masing busur.

21
Hubungan antara sudut pusat dengan busur lingkaran
Gambar busur
Rasio sudut pusat α
terhadap
Rasio panjang busur
terhadap keliling lingkaran
Perhatikan gambar-gambar juring lingkaran berikut!
Berikut ini daerah gelap adalah gambar juring lingkaran yang bersesuaian dengan
sudut pusatnya masing-masing. Perhatikan hubungan antara ukuran sudut pusat
dengan juring pasangan masing-masing.

22
Hubungan antara sudut pusat dengan juring lingkaran
Gambar Juring
terhadap
Rasio luas juring
terhadap luas lingkaran
Fase 4 : Pengolahan data
6. Guru meminta siswa untuk mengolah data yang didapat dalam bentuk tabel.
Ringkasan hubungan antara sudut pusat dengan panjang busur dan luas juring
terhadap
Rasio Panjang busur
terhadap keliling
lingkaran
Rasio Luas juring
terhadap Luas lingkaran

23
Fase 5 : Memverifikasi
7. Guru meminta siswa untuk mengecek hasil temuan mereka pada situasi yang
berbeda. Misal dengan ukuran sudut berbeda.
Fase 6 : Menggeneralisasi
8. Guru meminta siswa melakukan pengamatan tentang hal-hal penting dan yang
dibutuhkan untuk menyelesaikan masalah. Dari kegiatan mengamati gambar-
gambar tentang busur dan juring diperoleh ringkasan informasi.
9. Guru mengarahkan siswa untuk menarik kesimpulan dengan cara menganalisis
data yang telah terkumpul. Salah satu caranya dalah dengan mengarahkan
dengan pertanyaan atau perintah panduan.
a. Amati dan bandingkan kolom 1 dan 2 pada Tabel
ringkasan data. Perhatikan keteraturan hubungan
antara sudut pusat dengan panjang busur. Buatlah
simpulan tentang rumus menentukan panjang busur AB
yang diketahui jari-jarinya dan sudut pusatnya .
b. Amati dan bandingkan kolom 1 dan 3 pada tabel.
Perhatikan keteraturan hubungan antara sudut pusat
dengan luas juring. Buatlah simpulan rumus luas juring
AOB yang diketahui jari-jari dan sudut pusat .
10. Guru meminta siswa untuk menarik kesimpulan berdasarkan analisisnya.
Contoh kesimpulan yang diharapkan sebagai berikut.
dan
Dengan = ukuran sudut pusat, = jari-jari.
Aktivitas pembelajaran dengan cara melakukan simulasi pembelajaran dengan
menggunakan model yang berbasis penemuan.

24
1. Bentuklah kelompok dengan 3 hingga 5 anggota.
2. Pilih sebuah topik materi pembelajaran yang sesuai untuk diterapkan dengan
model pembelajaran penemuan.
3. Susun kegiatan sesuai dengan tahap-tahap model pembelajaran berbasis
penemuan. Gunakan format tabel untuk laporannya.
4. Salah satu anggota melakukan simulasi pembelajaran sesuai dengan tahap-
tahap yang telah disusun.
5. Peserta lain dan instruktur melakukan penilaian dan komentar konstruktif
terhadap simulasi yang dilakukan.
1. Jelaskan karakteristik topik pembelajaran yang tepat untuk dibelajarkan
menggunakan model pembelajaran penemuan.
2. Buatlah satu contoh penerapan pembelajaran dengan model pembelajaran
penemuan pada matematika SMP.
F. Rangkuman
Discovery Learning menekankan pada ditemukannya konsep atau prinsip yang
sebelumnya tidak diketahui, masalah yang dihadapkan kepada siswa direkayasa
oleh guru. Tahapan model pembelajaran yang berbasis penemuan, umumnya
meliputi: pemberian stimulus, pernyataan/identifikasi masalah, pengumpulan data,
pengolahan data, memverifikasi, dan penarikan kesimpulan/ generalisasi.
pemahaman dan memperoleh kompetensi yang diharapkan. Setelah Anda telah
dapat menguasai kompetensi pada kegiatan pembelajaran ini, maka silakan
berlanjut pada kegiatan pembelajaran selanjutnya.

25
Model Pembelajaran Berbasis Masalah
(Problem Based Learning)
A. Tujuan
Setelah mempelajari kegiatan pembelajaran ini diharapkan guru:
1. memahami dan menjelaskan pengertian model pembelajaran berbasis masalah,
2. memahami fase-fase model pembelajaran berbasis masalah,
3. mampu mengimplementasikan model pembelajaran berbasis masalah/Problem
Based Learning (PBL) dalam pembelajaran matematika.
Indikator pencapaian kompetensi guru setelah mempelajari modul ini sebagai
berikut.
1. Menjelaskan pengertian model pembelajaran PBL
2. Memahami langkah-langkah model pembelajaran PBL
3. Menerapkan model pembelajaran PBL dalam pembelajaran matematika SMP
dengan materi yang sesuai
C. Uraian Materi
1. Pengertian Pembelajaran berbasis Masalah
Problem Based Learning (PBL) adalah model pembelajaran yang dirancang agar
siswa mendapat pengetahuan penting, yang membuat mereka mahir dalam
memecahkan masalah, dan memiliki model belajar sendiri serta memiliki kecakapan
berpartisipasi dalam tim. Menurut Prince dan Felder (2006), masalah yang
diberikan dalam model pembelajaran berbasis masalah sebaiknya memenuhi
kriteria: kompleks (complex), struktur tidak jelas (ill structured), terbuka (open
ended problem), otentik (authentic).

26
Peran guru, siswa dan masalah dalam pembelajaran berbasis masalah dapat
digambarkan sebagai berikut.
Guru sebagai Pelatih
Siswa sebagai
Problem Solver
Masalah sebagai Awal
Tantangan dan
Motivasi
o Asking about thinking (bertanya
tentang pemikiran).
o Memonitor pembelajaran.
o Probbing ( menantang siswa
untuk berpikir ).
o Menjaga agar siswa terlibat.
o Mengatur dinamika kelompok.
o Menjaga berlangsungnya proses.
o Peserta yang
aktif.
o Terlibat
langsung dalam
pembelajaran.
o Membangun
pembelajaran.
o Menarik untuk
dipecahkan.
o Menyediakan
kebutuhan yang ada
hubungannya
dengan pelajaran
yang dipelajari.
2. Prinsip Proses Pembelajaran Model PBL
Prinsip-prinsip PBL yang harus diperhatikan meliputi hal-hal berikut.
a. Konsep Dasar (Basic Concept). Pada pembelajaran ini guru dapat memberikan
konsep dasar, petunjuk, atau referensi yang diperlukan dalam pembelajaran.
b. Pendefinisian Masalah (Defining the Problem). Dalam fase ini guru
menyampaikan permasalahan dan dalam kelompoknya siswa melakukan
berbagai kegiatan. Pertama, brainstorming yaitu setiap anggota mengungkapkan
pendapat, ide, dan tanggapan terhadap masalah secara bebas, sehingga
dimungkinkan muncul berbagai macam alternatif pendapat. Kedua, melakukan
seleksi untuk memilih pendapat yang lebih fokus/terarah pada penyelesaian
masalah. Ketiga melakukan pembagian tugas dalam kelompok untuk mencari
referensi dalam memecahkan permasalahan.
c. Pembelajaran Mandiri (Self Learning). Masing-masing siswa mencari berbagai
sumber yang dapat memperjelas masalah misalnya dari buku atau artikel di
perpustakaan, internet, atau guru/nara sumber yang relevan untuk
memecahkan masalah.
d. Pertukaran Pengetahuan (Exchange knowledge). Setelah mendapatkan sumber
untuk keperluan pendalaman materi secara mandiri, pada pertemuan
berikutnya siswa berdiskusi dalam kelompoknya untuk mengklarifikasi
capaiannya dan merumuskan solusi dari permasalahan.

27
3. Fase-fase Model Pembelajaran Berbasis Masalah
Berikut ini fase-fase yang dilalui dalam pelaksanaan model pembelajaran berbasis
masalah.
1 Mengorientasikan
siswa kepada masalah
Guru memberikan masalah yang menarik untuk
dipecahkan siswa. Masalah yang diberikan sesuai
dengan tingkat kemampuan siswa. Menurut Prince
dan Felder (2006) Masalah yang diberikan sebaiknya
masalah kompleks (complex), struktur tidak jelas (ill
structured), terbuka (open ended problem), otentik
(authentic).
2 Mengorganisasikan
siswa
Guru mengorganisasikan siswa ke dalam kelompok-
kelompok. Mengarahkan siswa untuk
mengidentifikasikan masalah dan
mengorganisasikan tugas belajar yang berhubungan
dengan pemecahan masalah tersebut.
3 Membimbing
penyelidikan individu
dan kelompok
Mendorong siswa untuk mengumpulkan informasi
yang sesuai, melaksanakan eksperimen untuk
mendapatkan penjelasan dan pemecahan masalah.
4 Mengembangkan dan
menyajikan hasil karya
Mengarahkan siswa dalam menyiapkan laporan
pemecahan masalah, serta berbagi tugas dengan
teman. Siswa diberi kesempatan untuk
mempresentasikan temuannya, serta kelompok lain
menanggapi.
5 Menganalisa dan
mengevaluasi proses
pemecahan masalah
Mengevaluasi pemacahan masalah atau hasil belajar
yang telah dipelajari. Memberikan arahan jika
temuan siswa belum sesuai dengan tujuan
pembelajaran.
4. Integrasi Pendekatan Saintifik dengan Model Pembelajaran Berbasis
Masalah
Berikut ini cara alternatif untuk mengintegrasikan pendekatan saintifik ke dalam
model pembelajaran berbasis masalah.
Model Pembelajaran
Berbasis Masalah
Pendekatan
Saintifik
Keterangan
Fase 1:
Mengorientasikan
siswa kepada masalah
 Mengamati
 Menanya
Siswa melakukan pengamatan terhadap
masalah yang disajikan oleh guru di awal
pembelajaran. Siswa mengidentifikasi
informasi dan pertanyaan penting pada
masalah yang disajikan. Siswa bisa
menanya kepada guru jika masalah yang
disajikan dirasa kurang jelas.
Fase 2:
Mengorganisasikan
siswa
Fase 3:
Membimbing
 Mengumpulka
n informasi
Siswa melakukan penyelidikan dengan
cara mengumpulkan informasi terkait

28
penyelidikan individu
dan kelompok
pemecahan maslah.
Fase 4:
Mengembangkan dan
menyajikan hasil
karya
 Mengasosiasi
 Mengkomunik
asikan
Siswa mengolah data yang sudah
terkumpul, menarik suatu kesimpulan
pemecahan masalah kemudian
menyajikannya dalam suatu laporan.
Fase 5:
Menganalisa dan
mengevaluasi proses
pemecahan masalah
 Mengkomunik
asikan
Siswa mengevaluasi kesalahan atau
kekurangan dalam pemecahan masalah
atau dalam proses mendapatkan
pemecahan masalah.
5. Contoh Penerapan Model Pembelajaran PBL
Contoh aktivitas pembelajaran dalam menerapkan model pembelajaran berbasis
masalah (problem-based learning) dalam pembelajaran matematika SMP adalah
sebagai berikut:
Fase 1: Mengorientasikan Siswa pada Masalah
1. Guru menyajikan masalah kemudian meminta siswa untuk mencermati masalah
tersebut. Berikut contoh masalah yang disajikan.
Permasalahan:
Sebuah usaha konveksi memiliki tiga jenis mesin jahit merk ‘Buterfly’, merk
‘Singer’ dan merk ‘Loly’. Mesin Butterfly mampu menjahit 50 potong baju per
jam. Mesin Singer menjahit 75 potong baju per jam. Mesin Loly menjahit 100
potong baju per jam. Satu potong baju harga produksinya Rp 55.000,-. Biaya
listrik mesin Butterfly Rp 20.000 per jam, biaya listrik Singer Rp 25.000 per jam,
dan biaya listrik Loly Rp 30.000 per jam. Modal yang tersedia Rp 99.000.000,-
a. Dengan modal itu pengusaha hanya ingin mengoperasikan 2 merek mesin,
pasangan mesin mana yang paling efisien.
b. Bagaimana jika menggunakan 3 merk mesin sekaligus, apakah lebih efisien
dari jika hanya menggunakan dua merk mesin
Fase 2: Mengorganisasikan Siswa untuk Belajar
2. Guru membagi siswa ke dalam kelompok untuk memecahkan masalah dengan
cara berdikusi dalam kelompok.
Fase 3: Membantu Penyelidikan Mandiri dan Kelompok
3. Guru mengamati cara siswa selama proses menentukan pemecahan masalah
yang diajukan. Guru memberikan arahan secukupnya jika siswa mengalami
kesuliatan dalam menentukan pemecahan masalah.
Fase 4: Mengembangkan dan Menyajikan Hasil Karya

29
4. Guru meminta siswa untuk menyajikan laporan hasil pemecahan masalah yang
diajukan dan mempresentasikan di dalam kelas.
Fase 5: Analisis dan Evaluasi Proses Pemecahan Masalah
5. Guru mengajak siswa untuk mengevaluasi proses pemecahan masalah yang
diajukan. Setiap pemecahan masalah siswa sangat memungkinkan berbeda.
D. Aktivitas Pembelajaran.
menggunakan model yang berbasis masalah.
2. Pilih sebuah topik materi pembelajaran yang sesuai untuk diterapkan
dengan model pembelajaran berbasis masalah.
masalah. Gunakan format tabel untuk laporannya.
5. Peserta lain dan fasilitator melakukan penilaian dan komentar konstruktif
E. Latihan
1. Sebutkan 4 ciri masalah pada model pembelajaran PBL.
2. Buatlah contoh masalah lain yang tepat untuk diterapkan menggunakan model
pembelajaran berbasis masalah. Jelaskan mengapa masalah tersebut cocok
untuk model pembelajaran berbasis masalah.
F. Rangkuman
Problem Based Learning adalah model pembelajaran yang dirancang agar siswa
mendapat pengetahuan penting, yang membuat mereka mahir dalam memecahkan
masalah. Masalah yang diberikan sebaiknya memenuhi kriteria: kompleks
(complex), struktur tidak jelas (ill structured), terbuka (open ended problem), otentik
(authentic). Tahapan umumnya melalui: mengorientasikan siswa kepada masalah,
mengorganisasikan siswa, membimbing penyelidikan individu dan kelompok,
mengembangkan dan menyajikan pemecahan masalah, dan menganalisa dan
mengevaluasi proses pemecahan masalah.

30

31
Model Pembelajaran Berbasis Proyek
(Project Based Learning)
A. Tujuan
Setelah mempelajari modul ini diharapkan:
1. Guru dapat memahami dan menjelaskan pengertian model pembelajaran
Berbasis Proyek atau Project Based Learning (PjBL)
2. Guru dapat memahami tahapan model PjBL
3. Guru dapat mengimplementasikan model PjBL dalam pembelajaran matematika.
Setelah mempelajari modul ini, diharapkan guru mampu:
1. menjelaskan pengertian model PjBL,
2. memahami langkah-langkah model PjBL,
3. menerapkan model PjBL dalam pembelajaran dengan materi yang sesuai.
C. Uraian Materi
1. Pengertian Pembelajaran Berbasis Proyek
Pembelajaran Berbasis Proyek atau Project Based Learning (PBL) adalah model
pembelajaran yang melibatkan siswa dalam suatu kegiatan (proyek) yang
menghasilkan suatu produk. Keterlibatan siswa mulai dari merencanakan, membuat
rancangan, melaksanakan, dan melaporkan hasil kegiatan berupa produk dan
laporan pelaksanaanya. Model pembelajaran ini menekankan pada proses
pembelajaran jangka panjang, siswa terlibat secara langsung dengan berbagai isu
dan persoalan kehidupan sehari-hari, belajar bagaimana memahami dan
menyelesaikan persoalan nyata, dan bersifat interdisipliner.

32
Pembelajaran Berbasis Proyek memiliki karakteristik berikut ini.
a. Siswa membuat keputusan tentang sebuah kerangka kerja;
b. Adanya permasalahan atau tantangan yang diajukan kepada siswa;
c. Siswa mendesain proses untuk menentukan solusi atas permasalahan atau
tantangan yang diajukan;
d. Siswa secara kolaboratif bertanggungjawab untuk mengakses dan mengelola
informasi untuk memecahkan permasalahan;
e. Proses evaluasi dijalankan secara kontinu;
f. Siswa secara berkala melakukan refleksi atas aktivitas yang sudah dijalankan;
g. Produk akhir aktivitas belajar akan dievaluasi secara kualitatif; dan
h. Situasi pembelajaran sangat toleran terhadap kesalahan dan perubahan.
Peran guru dalam PjBL sebaiknya sebagai fasilitator, pelatih, penasehat dan
perantara untuk mendapatkan hasil yang optimal sesuai dengan daya imajinasi,
kreasi dan inovasi dari siswa.
Beberapa hambatan dalam implementasi PjBL antara lain banyak guru merasa
nyaman dengan kelas tradisional, di mana guru memegang peran utama di kelas,
terutama bagi guru yang kurang atau tidak menguasai teknologi. Untuk itu
disarankan menggunakan team teaching dalam proses pembelajaran.
2. Fakta Empirik Keberhasilan
Kelebihan dan kekurangan pada penerapan Pembelajaran Berbasis Proyek dapat
dijelaskan sebagai berikut.
a. Keuntungan Pembelajaran Berbasis Proyek
1) Meningkatkan motivasi belajar siswa untuk belajar, mendorong kemampuan
mereka untuk melakukan pekerjaan penting, dan mereka perlu untuk dihargai.
2) Meningkatkan kemampuan pemecahan masalah.
3) Membuat siswa menjadi lebih aktif dan berhasil memecahkan problem-
problem yang kompleks.
4) Meningkatkan kolaborasi.

33
5) Mendorong siswa untuk mengembangkan dan mempraktikkan keterampilan
komunikasi.
6) Meningkatkan keterampilan siswa dalam mengelola sumber.
7) Memberikan pengalaman kepada siswa pembelajaran dan praktik dalam
mengorganisasi proyek, dan membuat alokasi waktu dan sumber-sumber lain
seperti perlengkapan untuk menyelesaikan tugas.
8) Menyediakan pengalaman belajar yang melibatkan siswa secara kompleks dan
dirancang untuk berkembang sesuai dunia nyata.
9) Melibatkan siswa belajar mengambil informasi dan menunjukkan pengetahuan
yang dimiliki, kemudian diimplementasikan pada dunia nyata.
10) Membuat suasana belajar menjadi menyenangkan, sehingga siswa maupun
pendidik menikmati proses pembelajaran.
b. Kelemahan Pembelajaran Berbasis Proyek
1) Siswa yang memiliki kelemahan dalam penelitian atau percobaan dan
pengumpulan informasi akan mengalami kesulitan.
2) Kemungkinan adanya siswa yang kurang aktif dalam kerja kelompok.
3) Ketika topik yang diberikan kepada masing-masing kelompok berbeda,
dikhawatirkan siswa tidak bisa memahami topik secara keseluruhan.
Untuk mengatasi kelemahan PjBL, guru harus dapat memfasilitasi siswa
menghadapi masalah, membatasi waktu siswa dalam menyelesaikan proyek,
meminimalis dan menyediakan peralatan yang sederhana dari lingkungan sekitar,
memilih lokasi penelitian yang mudah dijangkau sehingga tidak membutuhkan
banyak waktu dan biaya, menciptakan suasana pembelajaran yang menyenangkan
sehingga instruktur dan siswa merasa nyaman dalam proses pembelajaran.

34
3. Fase-fase Model Pembelajaran Berbasi Proyek
Berikut ini fase-fase yang dilalui dalam pelaksanaan model pembelajaran berbasis
proyek.
1 Start With the
Essential Question
(Memulai dengan
Pertanyaan
Mendasar)
Pertanyaan yang dapat memberi penugasan siswa dalam
melakukan suatu aktivitas/proyek. Mengambil topik
yang sesuai dengan realitas dunia nyata dan dimulai
dengan sebuah investigasi mendalam. Guru berusaha
agar topik yang diangkat relevan untuk para siswa.
2 Design a Plan for the
Project (Mendesain
Perencanaan Proyek)
Perencanaan dilakukan secara kolaboratif antara siswa
dan guru. Dengan demikian siswa diharapkan akan
merasa memiliki atas proyek tersebut. Perencanaan
berisi tentang kegiatan, alat, dan bahan yang berguna
untuk penyelesaian proyek.
3 Create a Schedule
(Menyusun Jadwal)
Siswa dengan guru secara kolaboratif menyusun jadwal
aktivitas dalam menyelesaikan proyek. Aktivitas pada
tahap ini antara lain: (1) membuat timeline untuk
menyelesaikan proyek, (2) membuat deadline
penyelesaian proyek, (3) membawa siswa agar
merencanakan cara yang baru, (4) membimbing siswa
ketika mereka membuat cara yang tidak berhubungan
dengan proyek, dan (5) meminta siswa untuk membuat
penjelasan (alasan) tentang pemilihan suatu cara
4 Monitor the Students
and the Progress of the
Project (Memonitor
siswa dan kemajuan
proyek)
Guru bertanggungjawab untuk melakukan monitor
terhadap aktivitas siswa selama menyelesaikan proyek.
Guru berperan menjadi mentor bagi aktivitas siswa. Agar
mempermudah proses monitoring, dibuat sebuah rubrik
yang dapat merekam keseluruhan aktivitas yang penting
5 Assess the Outcome
(Menguji Hasil)
Penilaian dilakukan untuk mengukur ketercapaian
kompetensi, berperan dalam mengevaluasi kemajuan
masing-masing siswa/kelompok siswa, memberi umpan
balik tentang tingkat pemahaman yang sudah dicapai
siswa/kelompok, membantu guru dalam menyusun
strategi pembelajaran berikutnya.
6 Evaluate the
Experience
(Mengevaluasi
Pengalaman)
Pada akhir proses pembelajaran, siswa dan guru
melakukan refleksi terhadap aktivitas dan hasil proyek
yang sudah dilakukan. Proses refleksi dilakukan baik
secara individu maupun kelompok. Pada tahap ini siswa
diminta untuk mengungkapkan perasaan dan
pengalamannya selama menyelesaikan proyek. Guru dan
siswa mengembangkan diskusi dalam rangka
memperbaiki kinerja selama proses pembelajaran,
sehingga pada akhirnya ditemukan suatu temuan untuk
menjawab permasalahan yang diajukan pada tahap
pertama pembelajaran.
Keterangan: Pada setiap fase aktivitas di tersebut, guru dapat melakukan
penilaian terhadap kemajuan proyek yang dilakukan oleh siswa atau kelompok
siswa.

35
4. Penilaian Model Pembelajaran Berbasis Proyek
Penilaian pembelajaran dengan model PjBL harus diakukan secara menyeluruh
terhadap sikap, pengetahuan dan keterampilan yang diperoleh siswa dalam
melaksanakan pembelajaran berbasis proyek. Penilaian Pembelajaran PjBL dapat
menggunakan teknik penilaian proyek atau penilaian produk.
Pada penilaian proyek setidaknya ada 3 hal yang perlu dipertimbangkan yaitu:
a. Kemampuan pengelolaan. Kemampuan siswa dalam memilih topik, mencari
informasi dan mengelola waktu pengumpulan data serta penulisan laporan.
b. Relevansi. Kesesuaian dengan mata pelajaran, dengan mempertimbangkan tahap
pengetahuan, pemahaman dan keterampilan dalam pembelajaran.
c. Keaslian Proyek yang dilakukan siswa harus merupakan hasil karyanya, dengan
mempertimbangkan kontribusi guru berupa petunjuk dan dukungan terhadap
proyek siswa.
5. Integrasi Pendekatan Saintifik dengan Model Pembelajaran Berbasis
Proyek
Berikut ini cara alternatif untuk mengintgrasikan pendekatan saintifik dengan
model pembelajaran berbasis proyek.
Model Pembelajarn
Berbasis Proyek
Pendekatan
Saintifik
Keterangan
Fase 1: Start With the
Essential Question (Memulai
dengan Pertanyaan
Mendasar)
 Mengamati
 Menanya
Siswa mengamati masalah
yang disampaikan oleh guru.
Siswa mengidentifikasi
informasi yang diberikan dari
pernyataan atau masalah yang
diberikan.
Fase 2: Design a Plan for the
Project (Mendesain
Perencanaan Proyek)
 Mengumpulkan
informasi
 Mengumpulkan
informasi
 Mengumpulkan
informasi
 Mengasosiasi
 Mengkomunikasi
kan
Siswa membuat desain proyek
untuk memecahkan masalah
yang sudah diidentifikasi.
Kemudian siswa mengerjakan
pryek atau mengumpulkan
informasi sesuai dengan
desain yang direncanakan.
Siswa mengkomunikasikan
progres proyek kepada
gurunya.
Fase 3: Create a Schedule
(Menyusun Jadwal)
Fase 4: Monitor the Students
and the Progress of the
Project (Memonitor siswa
dan kemajuan proyek)
Fase 5: Assess the Outcome
(Menguji Hasil)
 Mengkomunikasi
kan
Siswa mengkomunikasikan
hasil proyeknya. Di dalam
kelas secara bergantian. Siswa
juga mengevaluasi
kekurangan selama
melakukan proyek.
Fase 6: Evaluate the
Experience (Mengevaluasi
Pengalaman)

36
6. Contoh Model Pembelajaran Berbasis Proyek
Contoh aktivitas pembelajaran dalam menerapkan Model Pembelajaran Berbasis
Proyek dalam pembelajaran matematika SMP adalah sebagai berikut:
Fase 1: Memulai dengan Pertanyaan Mendasar
a. Guru menyampaikan suatu permasalahan mendasar yang mengawali siswa
dalam mengerjakan proyek. Masalah yang diberikan dalam pembelajaran bisa
lebih dari 1, menyesuaikan kepentingan pembelajaran. Berikut ini contoh
permasalahan yang bisa diajukan.
Contoh Masalah:
Setiap tahun ajaran baru, siswa SMP ABC biasanya membeli seragam baru
Koperasi Sekolah bermaksud menyediakan menyediakan kebutuhan seragam
sekolah untuk siswa Sekolah ABC. Koperasi tersebut ingin mengadakan barang
berupa: (1) Sepatu, (2) Baju, dan (3) Topi.
Tugas kalian:
1) Lakukan proyek untuk menentukan banyaknya sepatu, baju, dan topi dengan
ukuran dan jumlah yang tepat untuk semua siswa.
2) Buatlah instrumen untuk mengumpulkan data yang diharapkan.
3) Susunlah rencana pengerjaan proyek, pembagian tugas dalam kelompok,
dan jadwal pelaksaan proyek.
4) Sajikan hasil proyek kalian semenarik mungkin maksimal 3 minggu dari
pemberian proyek.
Fase 2: Mendesain Perencanaan Proyek
b. Guru membagi siswa menjadi beberapa kelompok untuk mengerjakan proyek.
Pembagian kelompok sesuai dengan kesepakatan antara guru dengan siswa.
c. Guru mengarahkan siswa untuk membuat instrumen pengumpulan data yang
diinginkan, menyusun tugas yang akan dilakukan, dan membagi tugas dalam
kelompok.
Fase 3: Menyusun Jadwal
d. Guru mengarahkan siswa untuk menyusun jadwal pelaksanaan proyek dalam
masing-masing kelompok. Penyusunan jadwal meliputi, perencanaan,
pelaksanaan, dan pelaporan.

37
Fase 4: Memonitor siswa dan kemajuan proyek
e. Guru memonitor progres pengerjaan proyek dan memberikan pengarahan
secukupnya untuk memperlancar pengerjaan proyek.
f. Guru mengingatkan batas waktu pelaporan hasil proyek.
Fase 5: Menguji Hasil
g. Guru meminta siswa untuk mempresentasikan hasil pengerjaan proyeknya di
dalam kelas.
h. Guru memandu diskusi agar mengarah pada jawaban dari permasalahan yang
disampaikan di awal.
Fase 6: Mengevaluasi Pengalaman
i. Guru mengajak siswa untuk mengevaluasi pelaksanaan proyek masing-masing
kelompok. Evaluasi yang dilakukan antara lain:
a) Kesesuaian hasil proyek dengan permasalahan awal yang diberikan.
b) Ketepatan waktu pengerjaan dan penyusunan laporan hasil proyek.
c) Kendala yang dihadapi selama melaksanakan proyek.
menggunakan model yang berbasis proyek.
dengan model pembelajaran berbasis proyek.
proyek. Gunakan format tabel untuk laporannya.

38
E. Latihan
Kerjakan soal-soal berikut dengan teliti.
1. Pada fase 1 model PjBL adalah “Start With the Essential Question”. Berikan 1
contoh pertanyaan seperti apa yang tepat untuk diterapkan menggunakan
model pembelajaran berbasis proyek. Jelaskan.
2. Buatlah 1 contoh lain, pembelajaran dengan model pembelajaran berbasis
masalah pada matematika SMP/MTs.
F. Rangkuman
Pembelajaran PjBL dirancang untuk: (1) membiasakan siswa untuk menemukan
sendiri, melakukan penelitian/pengkajian, menerapkan keterampilan dalam
merencanakan, berfikir kritis, dan penyelesaian masalah dalam menuntaskan suatu
kegiatan/projek, (2) mendorong siswa untuk menerapkan pengetahuan,
keterampilan, dan sikap tertentu ke dalam berbagai konteks dalam menuntaskan
kegiatan/projek yang dikerjakan. (3) memberikan peluang kepada siswa untuk
belajar menerapkan interpersonal skills dan berkolaborasi dalam suatu tim. Tahapan
model PjBL sebagai berikut: memulai dengan pertanyaan mendasar, mendesain
perencanaan proyek, menyusun jadwal, memonitor siswa dan kemajuan proyek,
menguji hasil, dan mengevaluasi pengalaman.
Evaluasi kembali pemahaman Anda mengenai modul ini, apabila Anda sudah
menguasai 80% dari materi ini, maka Anda dinyatakan lulus dan apabila kurang
dari 80% maka Anda diminta memahami isi modul kembali dan menjawab latihan
lagi. Refleksikan dari jawaban Anda tersebut dengan menuliskan masukan untuk
penyempurnaan modul ini. Tugas Anda selanjutnya adalah mengembangkan
pengetahuan, keterampilan dan sikap Anda dalam tugas sebagai guru matematika.

39
Model Pembelajaran Dengan Pendekatan Kooperatif
(Cooperative Learning)
A. Tujuan
1. Guru-guru dapat memahami dan menjelaskan pengertian model pembelajaran
kooperatif
2. Guru-guru dapat memahami fase-fase model pembelajaran kooperatif
3. Guru-guru dapat mengimplementasikan model pembelajaran kooperatif ini
dalam pembelajaran matematika.
Modul ini berisi model pembelajaran kooperatif bagi guru Matematika SMP. Setelah
mempelajari modul ini, diharapkan guru mampu:
1. Menjelaskan pengertian model pembelajaran kooperatif
2. Memahami langkah-langkah model pembelajaran kooperatif
3. Menerapkan model pembelajaran kooperatif dalam pembelajaran dengan
materi yang sesuai.
C. Uraian Materi
1. Pengertian Pembelajaran dengan Pendekatan Kooperatif
Model pembelajaran kooperatif mengutamakan kerja sama dalam menyelesaikan
permasalahan untuk menerapkan pengetahuan dan keterampilan dalam rangka
mencapai tujuan pembelajaran. Dalam prosesnya, siswa didorong untuk bekerja
sama pada suatu tugas bersama dan mereka harus mengkoordinasikan usahanya
untuk menyelesaikan tugas yang diberikan guru.
Menurut Nur (2000), ciri-ciri Model Pembelajaran Kooperatif sebagai berikut.
a. Siswa dalam kelompok secara kooperatif menyelesaikan materi belajar
sesuai kompetensi dasar yang akan dicapai.

40
b. Kelompok siswa dibentuk dengan kemampuan yang berbeda. Jika mungkin
anggota kelompok berasal dari ras, budaya, suku yang berbeda serta
memperhatikan kesetaraan jender.
c. Penghargaan lebih pada kelompok dari pada masing-masing individu.
2. Tahapan Model Pembelajaran Kooperatif
Berikut ini tahap-tahap penerapan model pembelajaran kooperatif secara umum.
Tahap Aktivitas Keterangan
1 Menyampaikan
tujuan dan
memotivasi siswa
Guru menyampaikan tujuan pembelajaran,
memotivasi siswa. Bila perlu mengajak siswa untuk
mengingat kembali materi sebelumnya yang terkait
dengan pembelajaran.
2 Menyajikan informasi Informasi dapat berupa materi pembuka
pembelajaran, kegiatan yang akan dilakukan, media
yang akan digunakan, atau masalah yang akan
dipecahkan setelah memahami materi.
3 Mengorganisasikan
siswa ke dalam
kelompok belajar
Guru mengatur pengelompokan siswa. Setiap
kelompok sebaiknya terdiri atas siswa dengan
kemampuan yang merata.
4 Membimbing
kelompok belajar
Guru mengamati masing-masing kelompok,
memotivasi siswa ketika kerja dalam kelompok, dan
memberikan bantuan secukupnya jika dirasa perlu.
5 Evaluasi Guru mengevaluasi hasil belajar siswa tentang
materi yang telah dipelajari.
6 Memberi
penghargaan
Guru memberikan penghargaan kepada siswa atau
kelompok.
3. Beberapa tipe Model Pembelajaran Kooperatif
Berikut ini beberapa tipe pembelajaran kooperatif yang dikemukakan oleh ahli
antara lain Slavin (1985), Lazarowitz (1988), atau Sharan (1990) sebagai berikut.
a. Pembelajaran Kooperatif Tipe Jigsaw
Pembelajaran kooperatif tipe jigsaw ini pertama kali dikembangkan oleh Aronson,
dkk. Langkah-langkah dalam penerapan jigsaw adalah sebagai berikut.

41
1) Guru membagi kelas menjadi beberapa “ kelompok asal”, dengan setiap
kelompok terdiri dari 4 s.d 6 siswa dengan kemampuan yang berbeda serta jika
mungkin berasal dari ras, budaya, suku yang berbeda serta kesetaraan jender.
Jumlah anggota dalam kelompok asal sesuai jumlah bagian materi pelajaran yang
akan dipelajari. Tiap siswa diberi tugas mempelajari salah satu bagian materi
tersebut. Semua siswa dengan materi pembelajaran yang sama belajar bersama
dalam kelompok yang disebut “kelompok ahli” (Counterpart Group/CG). Dalam
kelompok ahli, siswa mendiskusikan bagian materi tersebut, serta menyusun
rencana bagaimana menyampaikan kepada temannya jika kembali ke kelompok
asal. Misal terdapat 30 siswa. Para siswa tersebut dibagi menjadi 6 kelompok asal
masing-masing terdiri atas 5 siswa. Berikut contoh diagram pengelolaan model
pembelajaran kooperatif tipe jigsaw.
Gambar 3.Contoh perpindahan kelompok dalam Model Tipe Jigsaw
2) Setelah berdiskusi dalam kelompok ahli maupun kelompok asal, selanjutnya
dilakukan presentasi tiap kelompok atau dilakukan pengundian salah satu
kelompok untuk menyajikan hasil diskusi yang telah dilakukan agar guru dapat
menyamakan persepsi pada materi pembelajaran yang telah didiskusikan.
3) Guru memberikan kuis untuk siswa secara individual.
4) Guru memberikan penghargaan pada kelompok melalui skor berdasarkan nilai
peningkatan hasil belajar individual dari skor dasar ke skor kuis berikutnya.
Beberapa hal yang perlu diperhatikan dalam penerapan Model Pembelajaran
Kooperatif Tipe Jigsaw antara lain:
Kelompok Asal 1
Kelompok Asal 2
Kelompok Asal 3
Kelompok Asal 4
Kelompok Asal 5
Kelompok Asal 6
Kelompok Ahli 1
Kelompok Ahli 3
Kelompok Ahli 2
Kelompok Ahli 4
Kelompok Ahli 5

42
1) Materi sebaiknya secara alami dapat dibagi menjadi beberapa bagian yang tidak
saling menjadi prasyarat, sehingga ketercapaian suatu bagian materi tidak bagian
materi yang lain. Contoh materi matematika SMP yang bisa disajikan dengan
Model Pembelajaran Kooperatif Tipe Jigsaw, yaitu: 1) bangun datar, 2) Bangun
ruang sisi datar, 3) Bangun ruang sisi lengkung, 4) artimetika sosial, 5) Sistem
persamaan linear satu variabel, 6) barisan bilangan.
2) Perlu diperhatikan bahwa jika menggunakan Model Pembelajaran Kooperatif
Tipe Jigsaw untuk belajar materi baru maka perlu dipersiapkan suatu tuntunan
dan isi materi yang runtut serta cukup sehingga tujuan pembelajaran dapat
tercapai.
b. Pembelajaran Kooperatif Tipe STAD (Student Teams Achievement
Divisions)
Pembelajaran Kooperatif tipe STAD dikembangkan oleh Slavin dkk. Pembelajaran
Kooperatif Tipe STAD biasanya digunakan untuk penguatan pemahaman materi
(Slavin, 1995). Langkah-langkah penerapan pembelajaran Kooperatif Tipe STAD:
1) Guru menyampaikan materi pembelajaran atau permasalahan kepada siswa
sesuai kompetensi dasar yang akan dicapai.
2) Guru memberikan tes/kuis kepada setiap siswa secara individual sehingga
akan diperoleh skor awal.
3) Guru membentuk beberapa kelompok yang terdiri dari 4 s.d 5 siswa dengan
kemampuan yang berbeda-beda. Jika mungkin anggota kelompok berasal dari
ras, budaya, suku yang berbeda serta kesetaraan jender.
4) Guru memberikan bahan materi yang telah dipersiapkan untuk didiskusikan
dalam kelompok.
5) Guru memfasilitasi siswa dalam membuat rangkuman, mengarahkan, dan
memberikan penegasan pada materi pembelajaran yang telah dipelajari.
6) Guru memberikan tes/kuis kepada setiap siswa secara individual.
7) Guru memberi penghargaan pada kelompok berdasarkan perolehan nilai
c. Pembelajaran Kooperatif Tipe TAI
Pembelajaran Kooperatif tipe TAI (Team Assited Individualization atau Team
Accelarated Instruction) ini dikembangkan oleh Slavin. Tipe ini mengkombinasikan

43
keunggulan pembelajaran kooperatif dan pembelajaran individual, yang dirancang
untuk mengatasi kesulitan belajar siswa secara individual. Oleh karena itu kegiatan
pembelajarannya lebih banyak digunakan untuk pemecahan masalah, ciri khas pada
tipe TAI ini adalah setiap siswa secara individual belajar materi pembelajaran yang
sudah dipersiapkan oleh guru. Hasil belajar individual dibawa ke kelompok untuk
didiskusikan dan saling dibahas oleh anggota kelompok, dan semua anggota
bertanggung jawab atas keseluruhan jawaban sebagai tanggung jawab bersama.
Langkah-langkah pembelajaran kooperatif tipe TAI sebagai berikut.
1) Guru memberikan tugas kepada siswa untuk mempelajari materi pembelajaran
secara individual yang sudah dipersiapkan oleh guru.
2) Guru memberikan kuis secara individual untuk mendapatkan skor dasar/awal.
3) Guru membentuk beberapa kelompok. Setiap kelompok terdiri dari 4 s.d 5
siswa dengan kemampuan yang berbeda-beda baik tingkat kemampuan
(tinggi, sedang dan rendah) Jika mungkin anggota kelompok berasal dari ras,
budaya, suku yang berbeda serta kesetaraan jender.
4) Hasil belajar siswa secara individual didiskusikan dalam kelompok. Dalam
diskusi kelompok, setiap anggota kelompok saling memeriksa jawaban teman
satu kelompok.
5) Guru memfasilitasi siswa dalam membuat rangkuman, mengarahkan, dan
memberikan penegasan pada materi pembelajaran yang telah dipelajari.
6) Guru memberikan kuis kepada siswa secara individual.
7) Guru memberi penghargaan pada kelompok berdasarkan perolehan nilai
4. Integrasi Pendekatan Saintifik dengan Model Pembelajaran Kooperatif
Berikut ini cara alternatif untuk mengintegrasikan pendekatan saintifik ke dalam
model pembelajaran kooperatif.
Model Pembelajaran
Kooperatif
Pendekatan
Saintifik
Keterangan
Tahap 1: Menyampaikan
tujuan dan memotivasi
siswa
Tahap 2: Menyajikan  Mengamati Siswa mengamati informasi yang

44
informasi  Menanya disajikan oleh guru. Informasi yang
dimaksud adalah informasi pengantar
dalam pembelajaran. Sebaiknya
informasi yang diberikan menarik siswa
untuk menanya.
Tahap 3:
Mengorganisasikan siswa
ke dalam kelompok
belajar
 Mengumpul-
kan informasi
 Mengasosiasi
Siswa menggumpulkan informasi untuk
menjawab pertanyaan yang sedang
dibahas. Informasi yang dikumpulkan
terkait dengan pengamatan yang
dilakukan di awal dan bertujuan untuk
mencapai suatu penyelesaiaan atau
menemukan suatu konsep.
Tahap 4: Membimbing
kelompok belajar
Tahap 5: Evaluasi  Mengkomu-
nikasikan
Siswa mengkomunikasikan atau
mempresentasikan jawabannya atau
penemuannnya di dalam kelas.
Tahap 6: Memberi
penghargaan
5. Tahapan pembelajaran dengan Model Berbasis Kooperatif
Contoh aktivitas pembelajaran dalam menerapkan Model Pembelajaran Kooperatif
dalam pembelajaran matematika SMP adalah sebagai berikut:
Indikator :  Membuat model matematika dari suatu masalah
 Menyelesaikan model matematika dari suatu masalah yang
berkaitan dengan sistem persamaan linear dua variabel
Tahap 1 : Menyampaikan tujuan dan memotivasi siswa
a. Menyampaikan tujuan pembelajaran dengan jelas
1) Ketika diberikan suatu masalah yang berhubungan dengan SPLDV, siswa
dapat membuat model matematika dari suatu masalah dengan tepat
2) Siswa dapat menyelesaikan model matematika dari suatu masalah yang
berkaitan dengan sistem persamaan linear dua variabel melalui diskusi
b. Memotivasi : Guru menjelaskan kepada siswa manfaat mempelajari materi ini,
agar dapat mengaplikasikannya dalam kehidupan sehari-hari.
Misal:

45
Pernahkah kalian berbelanja di toko buku? sudah pernah, bukan? Misalkan suatu
saat kamu membeli 3 buku tulis dan 2 pensil dengan tidak memerhatikan harga
masing-masing buku dan pensil tersebut sehingga kamu harus membayar Rp
4.750, sedangkan adikmu membeli 2 buku tulis dan 1 pensil sehingga ia harus
membayar Rp 3.000. Dapatkah kamu menentukan harga masing-masing buku
dan pensil tersebut? Bagaimanakah kita dapat memecahkan permasalahan ini?
Dapatkah kita selesaikan dengan sistem persamaan linear dua variabel?
c. Apersepsi : Guru mengingatkan kembali materi yang berhubungan dengan
sistem persamaan linear dua variabel, yaitu cara mencari penyelesaian dari
sistem persamaan linear dua variabel.
Misalnya : Ada berapa banyak cara menyelesaikan sistem persamaan linear
dua variabel ? Apa saja?
Tahap 2 : Menyajikan informasi
a. Guru menyampaikan informasi tentang kegiatan pembelajaran yang akan
dilakukan.
b. Guru menyampaikan aturan diskusi, sebagai berikut:
1) Siswa akan bekerja berpasangan(2 orang)
2) Masing-masing pasangan akan mendapat sejumlah uang dari guru. Yaitu, ada
yang mendapatkan uang sebesar Rp1.000 dan Rp1.700.
3) Guru meyediakan 2 buah kotak . Kotak pertama berisi paket barang seharga
Rp1.000. Kotak kedua berisi paket barang seharga Rp1.7000.
4) Setiap pasangan membeli sejumlah barang sesuai dengan jumlah uang yang
diperoleh.
5) Setiap pasangan mencari pasangan lain yang membeli barang yang sama.
Misalnya Ani dan Budi mendapatkan uang Rp1.000 dan membeli paket
barang yang berisi permen dan wafer, maka Ani dan Budi akan mencari
anggota kelompok lain yang membeli paket yang sama (permen dan wafer)
6) Pasangan yang membeli barang yang sama akan membentuk kelompok baru
(4 orang) untuk mencari harga masing-masing barang.
Tahap 3 : Mengorganisasikan siswa dalam kelompok-kelompok belajar
a. Guru membagikan sejumlah uang kepada masing-masing kelompok.
b. Guru menyediakan dua buah kotak berisi barang-barang yang sudah di kemasi
yang masing-masing berharga Rp1.000,00 dan Rp1.700,00.

46
c. Guru meminta siswa untuk melakukan transaksi jual beli melalui “langkah
diskusi”.
Tahap 4 : Membimbing kelompok bekerja dan belajar
a. Kelompok baru yang telah terbentuk (4 orang) berdiskusi untuk membuat
model matematika dari barang-barang yang didapat tersebut kemudian mencari
harga masing-masing barang.
b. Guru berkeliling untuk mengamati jalannya diskusi.
c. Guru membimbing kelompok yang mengalami kesulitan.
Tahap 5 : Evaluasi
a. Guru meminta beberapa kelompok untuk mempresentasikan proses dan hasil
kerja kelompoknya.
b. Guru memberikan umpan balik dan memberi penjelasan jika terjadi
miskonsepsi pada beberapa siswa.
c. Guru meminta siswa untuk kembali ke tempat duduk masing-masing.
d. Guru memberikan kuis yang dikerjakan secara individu.
Tahap 6 : Memberi Penghargaan
a. Guru memberikan penghargaan kepada kelompok yang selesai memecahkan
masalah paling cepat dan paling benar.
b. Guru bersama dengan siswa membuat rangkuman pelajaran tentang langkah
menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan SPLDV.
menggunakan model yang berbasis kooperatif.
dengan model pembelajaran berbasis kooperatif.
kooperatif. Anda bisa juga memilih salah satu tipe pembelajaran kooperatif.
Gunakan format tabel untuk laporannya.

47
Kerjakan soal-soal berikut dengan teliti.
1. Sebutkan ciri khas model pembelajaran kooperatif.
2. Sebut dan uraikan dengan singkat, salah satu topik yang tepat untuk dibelajarkan
menggunakan model pembelajaran kooperatif tipe Jigsaw.
3. Buatlah contoh pembelajaran dengan model pembelajaran kooperatif Tipe STAD
atau TAI.
F. Rangkuman
Model pembelajaran kooperatif mengutamakan kerjasama antar siswa yang
mempunyai tingkat kemampuan yang berbeda-beda. Tahapan model pembelajaran
kooperatif: menyampaikan tujuan dan memotivasi siswa, menyajikan informasi,
mengorganisasikan siswa ke dalam kelompok belajar, membimbing kelompok
belajar, evaluasi, dan memberi penghargaan. Banyak tipe pembelajaran kooperatif
dengan teknik yang berbeda-beda, antara lain jigsaw, STAD, dan TAI.
Evaluasi kembali pemahaman Anda mengenai modul ini, apabila Anda sudah
menguasai 80% dari materi ini, maka Anda dinyatakan berhasil dan apabila kurang
dari 80% maka Anda harus memahami isi modul dan menjawab latihan lagi.
Refleksikan belajar Anda dengan menuliskan masukan untuk penyempurnaan
modul ini. Tugas Anda selanjutnya mengembangkan pengetahuan, keterampilan dan
sikap Anda dalam tugas sebagai guru matematika.

49
Model Pembelajaran Dengan Pendekatan Differentiated
Instruction
A. Tujuan
1. Guru memiliki pemahaman mengenai pembelajaran berdiferensiasi.
2. Guru memiliki pemahaman prinsip pembelajaran berdiferensiasi.
3. Guru memiliki pemahaman macam diferensiasi pada pembelajaran
berdiferensiasi.
Guru dapat:
1. menjelaskan pengertian Differentiated Instruction (DI) atau pembelajaran
berdiferensiasi.
2. menjelaskan pentingnya DI dan prinsip penyelenggaraan DI.
3. menjelaskan perbedaan DI dengan pembelajaran tradisional.
4. menjelaskan cara melakukan diferensiasi dalam DI
C. Uraian Materi
1. Pengertian Differentiated Instruction.
Kenyataan di lapangan, hampir semua kelas belajar matematika di Indonesia
menganut kelas berdasarkan umur, sementara potensi, kemampuan awal, dan
kebiasaan setiap siswa berbeda-beda. Salah satu pendekatan pembelajaran yang
relevan adalah pembelajaran berdiferensiasi atau Differentiated Instruction (DI).
Pada tingkat paling dasar dan sederhana, diferensiasi yang dapat dilakukan adalah
usaha yang dilakukan guru untuk merespon bermacam siswa dalam suatu kelas.
Namun, lebih detilnya Pembelajaran Berdifferensiasi merupakan pembelajaran yang
menyediakan variasi konten pelajaran, proses pembelajaran, produk belajar,
lingkungan belajar, penggunaan penilaian proses, atau pembentukan grup diskusi

50
yang memungkinkan pembelajaran berjalan dengan efektif (Tomlinson, 2015). Guru
memulai pembelajaran berdasarkan posisi siswa, bukan hanya pada pedoman
kurikulum. Guru harus menjamin setiap siswa belajar dengan caranya sendiri untuk
mencapai kompetensi esensial yang sama. Guru juga berusaha menjaga motivasi
tiap siswa untuk belajar, serta menggunakan waktu sefleksibel mungkin, dengan
tidak memaksa siswa belajar dengan kecepatan dan durasi yang sama. Guru adalah
teman yang memberikan bimbingan agar siswa mampu mencapai kompetensi
esensial.
2. Prinsip Pembelajaran Berdiferensiasi
Berdasarkan Tomlinson (1999, 2015), berikut ini beberapa prinsip dalam
pembelajaran berdiferensiasi.
a. Guru fokus pada kompetensi esensial. Guru harus memahami bahwa tidak
semua hal bisa dipelajari oleh semua siswa. Guru harus fokus pada apa yang
esensial dalam kurikulum yang harus dikuasai oleh setiap siswa.
b. Penilaian dan pengajaran tidak terpisahkan. Dalam DI, penilaian berlangsung
terus menerus dan bersifat diagnostik. Tujuannya untuk menyediakan data
kesiapan/kemampuan siswa, minat dan gaya atau profil belajarnya. Hasil
penilaian (khususnya formatif) lebih sebagai landasan untuk bagaimana
melayani setiap siswa. Penilaian bisa berasal dari: kuis, pengamatan, diskusi,
opini siswa, jurnal siswa, survei, dan sebagainya.
c. Guru memodifikasi konten, proses, produk, dan lingkungan Belajar. Dengan
menggunakan hasil penilaian secara menyeluruh, guru dapat memodifikasi
konten, proses, produk maupun lingkungan belajar.
d. Semua siswa berpartisipasi dengan aktivitas yang paling cocok baginya. Guru
secara terus menerus mencoba memahami setiap siswa, apa yang mereka
perlukan agar dapat belajar secara efektif. Guru sebisa mungkin menyediakan
kesempatan pada setiap siswa untuk mendapatkan apa yang mereka butuhkan.
e. Guru dan siswa berkolaborasi dalam pembelajaran. Sebagai pembelajaran yang
berpusat pada siswa, setiap siswa sebagai pekerja. Namun siswa membutuhkan
asistensi guru bagaimana mereka dapat belajar lebih efektif. Guru dan siswa
bersama-sama memperlancar pembelajaran sesuai kebutuhan.

51
f. Guru menyeimbangkan norma bekerja dalam kelompok dan individual. Guru
mengembangkan kemampuan siswa dengan menekankan pada pemahaman
yang konstruktif, namun juga mengembangkan tujuan bersama dalam belajar
kelompok. Walau bekerja bersama dalam kelompok, namun apa yang dialami
dan diperoleh oleh setiap siswa tentulah berbeda.
g. Guru dan siswa bekerja bersama secara fleksibel. Terkadang diskusi kelas,
terkadang diskusi kelompok kecil. Terkadang guru menetapkan tugas, terkadang
siswa yang memilih tugasnya. Terkadang guru memberikan bantuan, terkadang
siswa bekerja sendiri.
3. Perbedaan DI dengan Pembelajaran Tradisional
Berdasarkan Tomlinson (1999), berikut ini perbedaan kelas berdiferensiasi dan
kelas tradisional.
No Kelas tradisional Kelas berdiferensiasi (DI)
1 Perbedaan siswa ditutupi atau
diperhatikan hanya saat dibutuhkan
Perbedaan siswa dipelajari sebagai
landasan perencanaan pembelajaran
2 Penilaian umumnya dilakukan di
akhir pembelajaran dan digunakan
untuk menentukan apa yang
diperoleh siswa.
Penilaian bersifat terus menerus dan
untuk mendiagnostik bagaimana
membuat pembelajaran lebih responsif
bagi setiap kebutuhan siswa.
3 Secara relatif, dangkal atau sempit
dalam memahami kecerdasan.
Memperhatikan bentuk kecerdasan
yang beragam.
4 Mendefinisikan keunggulan secara
tunggal (berlaku untuk semua
siswa)
Keunggulan didefinisikan berdasarkan
perkembangan individual dari titik
belajar yang sama.
5 Jarang memperhatikan minat siswa Siswa dapat membuat rute belajarnya
berdasarkan minatnya
6 Relatif sedikit dalam
memperhatikan ragam profil belajar
Beragam profil belajar diperhatikan
7 Dominasi pembelajaran kelas Banyak alternatif yang digunakan:
kelas,kelompok besar, kelompok kecil.
8 Panduan kurikulum dan buku teks
menentukan pembelajaran
Pembelajaan didasarkan pada
kemampuan awal siswa, minat, dan
profil/gaya belajar siswa.
9 Fokus belajar pada penguasaan
fakta keterampilan yang tidak ada
konteksnya.
Fokus pada menggunakan keterampilan
esensial untuk memberi arti dan
pemahaman pada pengetahuan dan
prinsip yang esensial
10 Sering menggunakan tugas yang
tunggal
Menggunakan tugas yang beragam
sebagai pilihan
11 Waktu pembelajaran tidak fleksibel Waktu pembelajaran dibuat sefleksibel

52
mungkin bergantung pada kebutuhan
siswa
12 Menggunakan buku teks yang sama Banyak sumber belajar yang disiapkan
13 Mencari interpretasi tunggal pada
ide dan kejadian
Ragam perspektif dalam ide dan
kejadian
14 Guru secara langsung mengarahkan
perilaku siswa
Guru memfasilitasi keterampilan siswa
agar menjadi pembelajar yang percaya
diri
15 Guru yang menyelesaikan masalah Siswa membantu siswa lain dan guru
dalam menyelesaikan masalah
16 Guru menyediakan standar
kelulusan untuk kelas (seluruh
siswa)
Siswa bersama guru bekerja untuk
mendapatkan tujuan kelas sekaligus
tujuan belajar individu.
17 Bentuk penilaian yang tunggal
sering digunakan.
Siswa dinilai berdasarkan beragam cara.
4. Mengapa DI?
Mengapa dibutuhkan DI? Pertama, jelas bahwa peserta didik memiliki kemampuan
dan pengalaman belajar yang berbeda-beda. Dengan kemampuan awal dan
kebiasaan belajar yang berbeda, tentu cara guru mengajar juga harus
memperhatikan semua perbedaaan tersebut. Jika tidak, tentu saja siswa yang cocok
akan meningkat belajarnya, semenara siswa yang tidak cocok akan terhambat
kemampuan belajarnya. Kedua, terdapat banyak bukti penelitian yang menunjukkan
bahwa DI meningkatkan kemampuan siswa. Misalnya pembelajaran yang
berdasarkan level kesiapan siswa (misalnya Vygotsky, 1986), berdasarkan minat
siswa (misalnya Csiks zentmihalyi, 1997), berdasarkan gaya belajar (misalnya
Sternberg, Torff, & Grigorenko, 1998). Ketiga, DI berkaitan erat dengan
profesionalisme guru. Seorang guru harus memiliki kemampuan untuk
menyesuaikan dengan kemampuan dan pengalaman belajar siswa. Jadi, jika seorang
guru mampu melakukan pembelajaran yang berdiferensiasi, maka hal itu
menunjukkan guru tersebut lebih kompeten, kreatif, dan profesional.
5. Metode Diferensiasi dalam Pembelajaran Berdiferensiasi
Guru dapat melakukan differensiasi pada paling sedikit empat elemen pembelajaran
berdasarkan perbedaan kemampuan awal, minat, dan gaya belajar siswa:
(Tomlinson, 2001 & 2015; ESA 6&7, p.5).
a. Konten (content)

53
Konten dimaksudkan apa yang harus dipelajari siswa atau bagaimana siswa
mendapatkan konsep/pengetahuan tersebut (Anderson, 2007).
Berikut beberapa contoh bagaimana cara mendeiferensiasi konten.
1) Menggunakan bahan belajar dengan level kedalaman yang bervariasi.
2) Menggunakan aktivitas dengan beragam kompetensi dalam taksonomi Bloom.
3) Menggunakan bahasa teknis yang bervariasi sesuai kemampuan awal siswa.
4) Menyampaikan gagasan dengan cara komunikasi auditori dan visual.
5) Menyediakan sumber belajar tambahan yang cocok bagi siswa dengan levelnya.
6) Memperbolehkan belajar dengan urutan materi yang berbeda untuk
mendapatkan pemahaman lebih mendalam.
7) Membentuk kelompok kecil untuk mengajar ulang agar siswa berjuang untuk
belajar (bagi siswa berkemampuan rendah), atau agar siswa meningkatkan
kemampuan yang telah diperoleh (bagi siswa berkemampuan atas).
b. Proses (process).
Cara kedua adalah dengan memvariasikan aktivitas yang dijalani siswa untuk
memahami atau menguasai konten belajar. Aktivitas itu bergantung ada gaya belajar
siswa. Berikut beberapa contoh bagaimana cara mendiferensiasi proses.
1) Menyediakan presentasi yang bervariasi sesuai perbedaaan gaya belajar siswa.
2) Menggunakan aktivitas berjenjang agar semua siswa dapat belajar pengetahuan
dan keterampilan esensial namun dengan level bantuan, tantangan dan
kesulitan yang berbeda.
3) Menyediakan pusat perhatian yang mendorong siswa mengeksplorasi bagian
topik pembelajaran sesuai minat mereka.
4) Mengembangkan agenda personal setiap siswa yang memuat apa yang harus
dilakukan siswa secara bersama-sama dan secara individual, dalam waktu yang
ditentukan atau setelah siswa berhasil mempelajari hal lain lebih awal.
5) Menyediakan alat peraga/bantu lain untuk membantu siswa yang
memerlukannya.
6) Menyediakan waktu belajar yang bervariasi, agar siswa mendapatkan tambahan
bantuan belajar dari guru atau mendapatkan kesempatan untuk meningkatkan
pemahaman yang lebih mendalam.

54
c. Produk (products).
Produk adalah proyek akhir yang diajukan ke siswa untuk melatih, menerapkan dan
meningkatkan apa yang telah dipelajari siswa. Produk berupa hasil dari kegiatan
belajar, seperti: hasil tes, proyek, laporan, demonstrasi, penyelesaian masalah, hasil
temuan, dan bentuk performansi lainnya.
Berikut beberapa contoh bagaimana cara mendiferensiasi produk.
1) Memberi siswa berbagai pilihan untuk menunjukkan kemampuan hasil belajar
masing-masing berdasarkan tantangan dan/atau pemahaman siswa.
2) Menggunakan rubrik yang menghubungkan dan meningkatkan level
kemampuan siswa yang berbeda-beda.
3) Memperbolehkan siswa untuk belajar sendiri atau belajar dengan kelompok
kecil dalam membuat produknya.
4) Mendorong siswa untuk membuat produk mereka sendiri asalkan masih
memuat beberapa kriteria/elemen yang ditetapkan guru.
d. Lingkungan belajar (learning environment).
Lingkungan belajar di sini dimaksudkan sebagai cara atau media atau suasana
bagaimana siswa bekerja agar siswa dapat belajar secara optimal. Lingkungan
belajar meliputi tata letak fisik dalam kelas, cara menggunakan ruang kelas,
komponen-komponen di dalam kelas yang mempengaruhi suasana kelas dan
kondisi kelas seperti aliran udara, pencahayaan, dll.
Berikut beberapa contoh bagaimana cara mendiferensiasi lingkungan.
1) Memastikan tempat duduk siswa nyaman bagi dirinya.
2) Menyediakan ruang belajar yang memungkinkan siswa untuk bekerja dengan
tenang juga ruang untuk siswa bekerja secara kolaboratif.
3) Menyediakan bahan belajar dengan budaya dan setting yang bervariasi.
4) Menyediakan panduan yang jelas sehingga kebutuhan individual dapat
terpenuhi.
5) Menyediakan rutinitas di mana siswa dapat memperoleh bantuan guru ketika
guru sibuk dengan siswa lain dan tidak dapat membantu mereka dengan segera.
6) Membantu siswa memahami bahwa beberapa siswa memerlukan bergerak di
sekitar mereka sementara yang lain lebih baik jika duduk dengan tenang.

55
Aktivitas 1.
1. Pelajarilah uraian materi dengan seksama. Nyatakan dengan bahasa Anda
sendiri, pengertian dan karakteristik pembelajaran berdiferensiasi atau
Differentiated Instruction.
2. Selanjutnya secara mandiri atau pun berkelompok (4 hingga 5 orang),
tulislah minimal 5 jenis perbedaaan antar siswa yang terkait kemampuan,
kebiasaan, dan/atau kebutuhan belajarnya serta tulislah perbedaan-
perbedaaan tersebut menurut tabel di bawah ini.
No. Jenis perbedaan antar siswa Variasi perbedaan yang mungkin
ada pada setiap siswa
1
2
3
dan seterusnya
3. Diskusikanlah antara kelompok melalui presentasi atau telaah bergilir, dan
lengkapi dengan catatan mengenai dampak yang mungkin muncul jika guru
tidak mengindahkan adanya perbedaaan ini pada diri siswa.
Aktivitas 2.
Jika untuk belajar mandiri pilihlah satu topik pembelajaran di bawah ini. Untuk
pembelajaran di kelas, bentuklah beberapa kelompok 4 atau 5 orang per kelompok.
Untuk tiap kelompok memilih satu topik pembelajaran di bawah ini dan setiap
kelompok memilih topik yang berbeda-beda.
No. Topik No. Topik
1 Persamaan dan pertidaksamaan
linear
6 Peluang kejadian
2 Kesebangunan & Kekongruenan 7 Bilangan rasional
3 Teorema Pythagoras 8 Transformasi geometris
(tanpa penggunaan matriks)

56
4 Bangun datar 9 Persamaan kuadrat
5 Bangun ruang 10 Teori himpunan
1. Setiap kelompok memilih satu kompetensi dasar terkait dengan topik yang
telah dipilih.
2. Kemudian rancanglah alternatif-alternatif variasi konten, proses, produk,
dan lingkungan belajar dalam proses pembelajaran mencapai kompetensi
tersebut.
Topik : .............................................................................
Kompetensi Dasar : .............................................................................
Indikator : .............................................................................
Pendekatan/strategi
Pembelajaran : .............................................................................
Metode pembelajaran : .............................................................................
: .............................................................................
Konten:
……………………………. ……………………………. …………………………….
Proses:
……………………………. ……………………………. …………………………….
Produk:
……………………………. ……………………………. …………………………….
Lingkungan belajar:
……………………………. ……………………………. …………………………….
3. Paparkan di depan kelas dan diskusikan dengan kelompok lain.
Konsultasikan dengan apa yang ada di uraian materi.
4. Buatlah resume hasil diskusi tiap kelompok.

57
E. Latihan/ Kasus /Tugas
Untuk memantapkan pemahaman Anda mengenai pengertian pembelajaran
berdiferensiasi, jawablah beberapa pertanyaan di bawah ini.
1. Mengapa guru harus memiliki kompetensi dasar untuk melakukan
pembelajaran berdiferensiasi? Jelaskan!
2. Sebut dan jelaskan minimal masing-masing 3 cara mendiferensiasikan konten
pelajaran, proses pembelajaran, produk pembelajaran, dan lingkungan belajar!
F. Rangkuman
Pembelajaran berdiferensiasi untuk memenuhi perbedaan kemampuan dan
pengalaman belajar siswa sehingga tetap fokus pada kemampuan esensial yang
ingin dicapai. Perencanaan berdasarkan kemampuan siswa, penilaian proses untuk
mendiagnosis kebutuhan, dan proses pembelajaran sefleksibel mungkin untuk
mengefektifkan pembelajaran. Pembelajaran berdiferensiasi dilakukan dengan
melakukan diferensiasi komponen: konten, proses, produk, dan lingkungan belajar.
Periksalah pemahaman Anda dengan materi yang disajikan, serta hasil pengerjaan
latihan/kasus/tugas dengan kunci jawaban. Jika Anda dapat memahami sebagian
besar materi dan menjawab benar sebagian besar latihan, maka Anda dapat
dianggap menguasai kompetensinya. Namun jika tidak, silakan dipelajari kembali
dan berdiskusi dengan teman sejawat untuk memperoleh kompetensi yang
diharapkan. Setelah Anda dapat menguasai kompetensi pada kegiatan pembelajaran
ini, maka silakan berlanjut pada kegiatan pembelajaran selanjutnya.

59
Model Pembelajaran Dengan Pendekatan Open-Ended
A. Tujuan
Setelah mempelajari modul ini, peserta diharapkan dapat:
1. Menjelaskan pengertian pendekatan open-ended dalam pembelajaran
matematika.
2. Merancang kegiatan pembelajaran matematika dengan pendekatan open-ended.
Peserta dapat:
1. Menjelaskan pendekatan open-ended dalam pembelajaran matematika.
2. Menjelaskan keunggulan dan kelemahan pendekatan open-ended dalam
3. Membuat contoh permasalahan matematika yang open-ended.
4. Merancang kegiatan pembelajaran dengan pendekatan open-ended.
C. Uraian Materi
1. Pendekatan Open-Ended dalam Pembelajaran Matematika
Pendekatan pembelajaran yang dapat digunakan untuk mengembangkan
kemampuan berpikir adalah dengan memanfaatkan masalah-masalah terbuka.
Sebagai contoh sederhana:
a. Berapakah ?
b. Berapa dikali berapakah 12 itu ?
Coba pikirkan oleh Anda, pertanyaan mana yang dapat melatih kreativitas berpikir.
Masalah ke-1 adalah masalah tertutup, sedang yang ke-2 masalah terbuka.
Pendekatan pembelajaran yang memanfaatkan masalah terbuka dikenal dengan
pendekatan open-ended. Pendekatan ini merupakan pendekatan pembelajaran yang
dikembangkan di Jepang sejak tahun 1970-an (Nohda, 2000). Inti pendekatan open-

60
ended berada pada penyajian masalah terbuka (open-ended problem) pada awal
pembelajaran. Masalah terbuka merupakan masalah yang diformulasikan memiliki
beberapa jawaban yang benar "tidak lengkap" atau "terbuka" (Inprasitha, 2006).
Menurut Dahlan, (2004: 214) model pembelajaran matematika melalui pendekatan
open-ended yang dikombinasikan dengan strategi kooperatif dapat membuat siswa
belajar matematika dengan tidak terlalu menekankan aspek prosedural atau
algoritma, tetapi lebih dari itu, matematika sebagai alat berpikir, penyelesaian
masalah, komunikasi dan juga unsur sosial. Menurut Nohda (2000:1-39),
pembelajaran dengan menggunakan pendekatan open-ended terdiri dari tiga situasi
umum yang secara singkat digambarkan pada diagram 1.
Situation A:
Formulating a problem
mathematically
Situation B:
Investigating various
approach to the formulated
problem
Situation C:
Posing, advanced problems
Solving 1
Solving 2
Solving 3
Original problem
Next problem 1
Next problem 2
Next problem 3
Gambar 4.
Gambar 4. Diagram situasi Pendekatan Pembelajaran Open-Ended (Nohda, 2000)
Pada situasi A, guru menunjukkan siswa pada suatu situasi nyata atau masalah, dan
siswa mencoba merumuskannya sebagai masalah matematika dengan pengalaman
belajar mereka sendiri. Pada situasi B, siswa diharapkan untuk menemukan solusi
mereka sendiri atas dasar pengalaman. Pada situasi C, siswa mencoba untuk
menimbulkan masalah yang lebih umum atas dasar kegiatan mereka pada situasi B.
2. Konstruksi Soal Open-ended dan Penilaian Pembelajarannya
Pendekatan open-ended dalam pembelajaran matematika sangat bergantung pada
masalah yang disajikan. Nohda (2000:1-39) mengemukakan bahwa jenis masalah
yang digunakan dalam pendekatan pembelajaran open-ended ini adalah masalah
yang tidak rutin (non-rutine problems). Masalah tidak rutin yang disajikan sifatnya
terbuka (openness). Masalah ini dapat diklasifikasikan menjadi tiga tipe, yaitu:

61
a. Prosesnya terbuka (process is open): tipe soal yang diberikan mempunyai banyak
cara penyelesaian yang benar.
b. Hasil akhir yang terbuka (end product are open): tipe soal yang diberikan
mempunyai banyak jawaban yang benar.
c. Cara mengembangkannya terbuka (ways to develop are open): jika siswa telah
selesai menyelesaikan masalah pertamanya, maka siswa dapat mengembangkan
masalah baru dengan mengubah kondisi dari masalah aslinya.
Menurut Shimada (Nohda: 2000) terdapat kriteria yang harus diperhatikan dalam
menilai respon siswa terhadap masalah, yaitu: Fluency (kelancaran), Flexibility
(kefleksibelan), Originality (keaslian), dan Elegance (keluwesan/keelokan).
3. Contoh Pendekatan Open-Ended dalam Pembelajaran Matematika
Kompetensi Dasar:
Kompetensi Dasar 3.9: Menentukan luas permukaan dan volume kubus, balok,
prisma, dan limas.
Pertemuan I (Menentukan luas permukaan kubus dan balok)
Indikator:
3.9.1 Siswa dapat membuat sketsa minimal dua buah rangka balok berbeda dengan
ukuran yang tepat jika diberikan bahan kerangka dengan ukuran tertentu.
3.9.2 Siswa dapat menentukan luas kertas minimum yang dapat menutupi
permukaan kerangka balok yang berhasil dibuat sketsanya.
3.9.3 Siswa dapat membandingkan luas permukaan dari dua atau lebih kerangka
balok yang berhasil dibuatnya.
Guru menyajikan masalah berikut:
Pak Mamat akan membuat kerangka balok dari kawat sepanjang 1,2 m. Kawat
tersebut seluruhnya harus menjadi kerangka sebuah balok dan tidak boleh rangkap
dua atau lebih. Pak Mamat akan menutupi kerangka balok tersebut dengan kertas.
Coba kalian sketsa dua buah atau lebih kerangka balok yang dapat disarankan
kepada Pak Mamat lengkap dengan ukuran kertas minimum yang dibutuhkan untuk
menutupi kerangka balok tersebut.

62
Arahan Guru Aktivitas Siswa Penjelasan Waktu
Guru menyajikan
masalah
Siswa memahami
masalah
Jelaskan bahwa semua siswa
bebas menentukan ukuran
rangka balok, yang penting
jika seluruh rusuk balok
dijumlahkan maka tepat
1,2m
5 menit
Tuliskan apa yang
perlu dicatat pada
lembar kerja
Mencoba-coba
merancang model
Setiap siswa harus
merancang model dan
diusulkan pada
kelompoknya
5 menit
Diskusikan dengan
kelompoknya masing-
masing
Diskusi dalam
kelompok
Setiap siswa harus
memahami hasil diskusi
kelompok, karena siswa
yang harus presentasi akan
ditunjuk
10 menit
Silahkan
presentasikan hasil
diskusi kelompoknya
Tiap kelompok
mengemukakan
hasil temuannya
Catat setiap jawaban dari
tiap-tiap kelompok
15 menit
Apa yang dapat
disimpulkan dari
pembelajaran hari ini?
Ada siswa yang
mengemukakan
kesimpulannya
Guru memberikan
penguatan konsep luas
permukaan balok
5 menit
4. Keunggulan dan Kelemahan Pendekatan Open-Ended dalam Pembelajaran
Matematika
Keunggulan dari pendekatan pembelajaran open-ended diantaranya:
c. Siswa memiliki lebih banyak kesempatan untuk mengemukakan setiap
pendapatnya berdasarkan pengetahuan yang telah dimiliki sebelumnya.
d. Siswa dari kelompok lemah tetap dapat mengikuti pembelajaran dengan
mengekspresikan penyelesaian masalah melalui cara-cara mereka sendiri
e. Munculnya ide-ide kreatif dari siswa yang kadang-kadang tidak terduga.
f. Siswa terdorong memberikan alasan dan bukti atas jawaban yang diberikan.
g. Siswa mendapatkan banyak pengalaman melalui temuannya sendiri maupun
temuan dari temannya dalam menyelesaikan masalah.
Pendekatan pembelajaran open-ended juga memiliki sisi kelemahan, diantaranya:
a. Bagi guru bukan pekerjaan yang mudah untuk merumuskan masalah atau situasi
matematis yang bermakna bagi siswa dan relevan dengan tujuan pembelajaran.
b. Siswa sering kebingungan merespon jawaban dari masalah yang diberikan.

63
c. Karena jawaban dari soal open-ended bersifat bebas, maka siswa kelompok
pandai seringkali merasa cemas bahwa jawabannya akan tidak memuaskan.
d. Ada kecenderungan bahwa siswa merasa kurang menyenangkan mengikuti
pembelajaran karena tidak mendapatkan kesimpulan.
1. Pilihlah satu Kompetensi Dasar matematika Kelas VII atau VIII atau IX SMP.
2. Kembangkanlah indikator-indikator pencapaian kompetensi dari Kompetensi
Dasar yang Anda pilih pada poin (1).
3. Buat permasalahan open-ended yang relevan dengan KD yang Anda pilih.
4. Buatlah tahapan pembelajarannya sesuai dengan pendekatan open-ended.
5. Setiap kelompok mendemonstrasikan/simulasikan point (4) yang sudah dibuat.
5. Jelaskanlah pendekatan open-ended dalam pembelajaran matematika.
6. Buatlah rancangan pendekatan open-ended dalam pembelajaran matematika
sesuai dengan prinsip-prinsip pendekatan pembelajaran open-ended.
F. Rangkuman
Pembelajaran dengan menggunakan pendekatan open-ended terdiri dari tiga situasi
umum, yaitu Formulating a problem mathematically; Investigating various approach
to the formulated problem; and Posing, advanced problems. Permasalahan open-
ended ada tiga tipe: prosesnya terbuka, hasil akhir yang terbuka, dan cara
mengembangkannya terbuka. Penilaian dalam pembelajaran open-ended harus
memperhatikan respon siswa terhadap masalah dengan memperhatikan kriteria:
fluency, flexibility, originality dan elegance.
besar latihan/tugas, maka Anda dianggap telah menguasai kompetensi yang
pelajari kembali dan berdiskusi dengan teman kelompok untuk memantapkan

65
Kunci Jawaban Latihan/Kasus/Tugas
Kegiatan Pembelajaran ke-1
1. (lihat uraian materi)
3. Berikut contoh yang mungkin.
Pendekatan kontekstual, pendekatan realistik (matematika sebagai aktivitas
dan re-invention), pendekatan saintifik, pendekatan pragmatis (mengikuti
kegunaan materi), pendekatan strukturalis (mengikuti struktur ilmu),
pendekatan kooperatif, dll
Strategi pemecahan masalah, strategi kooperatif/grup, strategi penemuan,
strategi literature-oriented, dll
Metode ceramah, metode simulasi, metode bermain peran, metode diskusi,
metode penugasan, metode seminar, metode game/permainan, dll
Teknik membentuk diskusi, teknik mengajukan pertanyaan, teknik
bernegosiasi, teknik presentasi, teknik menulis pembuktian, teknik menulis
laporan, dll.
Model pembelajaran berbasis penemuan, model pembelajaran berbasis
kooperatif, model pembelajaran berbasis proyek, dll.
3. Penjelasan didasarkan pada hubungan seperti pada tabel.
PAKEM Permendikbud no.1003
th 2004
Prinsip pembelajaran
matematika
Partisipatif Bagian a, b, c Bagian c
Aktif Bagian a, b, c Bagian c
Kreatif Bagian d Bagian a, e
Efektif Bagian e Bagian d, g
Menyenangkan Bagian a, b, e Bagian c, e, h

Kunci Jawaban
66
1. Konsep yang akan ditemukan tidak terlalu kompleks, serta ada beberapa
jalan yang dapat ditempuh untuk menemukannya. Juga tersedia konteks
yang menarik bagi siswa.
2. (lihat uraian materi dan contohnya)
1. kompleks, struktur tidak jelas, terbuka, dan otentik.
2. (rujuk pada uraian materi)
1. (bandingkan dengan uraian materi)
2. (bandingkan dengan uraian materi)
1. (lihat dan bandingkan dengan uraian materi)

67
Evaluasi
Jawablah beberapa pertanyaan di bawah ini. Berusahalah untuk menjawab tanpa
melihat catatan, atau materi, atau kunci jawaban. Ini untuk evaluasi diri sejauh mana
Anda telah mencapai apa yang dipelajari dari modul ini.
Pilihlah salah satu jawaban di bawah ini yang paling tepat dengan cara memberi
tanda silang (X) pada huruf A, B, C, atau D.
1. Berikut ini beberapa teknik bertanya yang dapat dilakukan guru untuk
menghidupkan penerapan metode tanya jawab, kecuali:
A. Gugah dengan pertanyaan yang kompleks.
B. Menggunakan beberapa pertanyaan secara bertingkat.
C. Selipkan pertanyaan retoris untuk menggugah siswa berpikir.
D. Gunakan pertanyaan siswa untuk membuat pertanyaan lanjutan.
2. Berdasarkan Permendikbud No. 103 Tahun 2014, berikut ini termasuk prinsip
pembelajaran yang disarankan, kecuali:
A. Siswa belajar lebih dari satu sumber belajar
B. Pembelajaran cenderung pada berpikir divergen
C. Penggunaan ICT dalam proses pembelajaran
D. Pembelajaran bertumpu pada budaya global
3. Beberapa kriteria yang harus diperhatikan dalam menilai respon siswa terhadap
masalah adalah .....
A. fluency, ability, originality dan elegance
B. originality, flexibility, elegance dan fluency
C. flexibility, originality, fluency dan inheren
D. fluency, ability, originality dan inheren
4. Berikut ini adalah prinsip-prinsip dalam pembelajaran berdiferensiasi menurut
Tomlinson, kecuali:
A. Guru fokus pada kompetensi esensial
B. Guru memodifikasi konten, proses, produk, dan lingkungan belajar
C. Semua siswa berpartisipasi dengan aktivitas yang paling cocok baginya
D. Guru secara langsung mengarahkan perilaku siswa

Evaluasi
68
5. Jika ada beberapa pertanyaan sebagai berikut:
Siswa 1 : Bagaimana cara menghitung 3 dikurangi menggunakan
keeping aljabar?
Siswa 2 : Bagaimana cara menggunakan keeping aljabar untuk menghitung
?
Siswa 3 : Bagaimana cara menghitung dikurangi dengan
keping aljabar?
Urutan pertanyaan yang diselesaikan adalah ….
A. Pertanyaan dari siswa 2, siswa 1, siswa 3
B. Pertanyaan dari siswa 1, siswa 2, siswa 3
C. Pertanyaan dari siswa 3, siswa 2, siswa 1
D. Pertanyaan dari siswa 3, siswa 1, siswa 2

69
KUNCI JAWABAN EVALUASI
1. A
2. D
3. B
4. D
5. A

71
Penutup
Penulisan modul ini disertai harapan besar akan kemanfaatan yang dapat dipetik
oleh pembaca untuk meningkatkan pemahaman dan keterampilan dasar mengenai
model dan prinsip pembelajaran.
Kesempurnaan hanya milik Sang Maha Pencipta sehingga tentu saja modul ini tidak
lepas dari kekurangan dan kekeliruan. Oleh karena itu, saran dan kritik yang
konstruktif untuk perbaikan modul dan pemanfaatannya, senantiasa diharapkan.
Akhirnya, jika ditemukan ada kekeliruan fatal dalam modul atau saran konstruktif
untuk perbaikan esensial terhadap modul ini, silakan disampaikan langsung ke
PPPPTK Matematika, jl. Kaliurang km.6, Sambisari, Depok, Sleman, DIY, (0274)
881717, atau melalui email sekretariat@p4tkmatematika.org dengan tembusan (cc)
ke penulis: sumardyonomatematika@gmail.com, yogi_anggraena@yahoo.com, dan
nanang_priatna@yahoo.com.

73
Daftar Pustaka
Abimanyu, S. (2008). Strategi pembelajaran. Jakarta: Departemen Pendidikan
Nasional.
Anderson, K. M. (2007). Tips for teaching: Differentiating instruction to include all
students. Preventing School Failure, 51(3), 49-54.
Dahlan, J.A. (2004). Meningkatkan Kemampuan Penalaran dan Pemahaman
Matematik Siswa Sekolah Lanjutan Tingkat Pertama melalui Pendekatan
Pembelajaran Open-Ended. Disertasi, Universitas Pendidikan Indonesia, Tidak
diterbitkan.
Depdikbud. (2013). Permendikbud No.65 Tahun 2013 tentang Standar Proses
Pendidikan Dasar dan Menengah. Jakarta: Depdikbud.
Depdikbud. (2014). Permendikbud No.103 Tahun 2014 tentang Pembelajaran pada
Pendidikan Dasar dan Pendidikan Menengah. Jakarta: Depdikbud.
Inprasitha, M. (2006). Open-Ended Approach And Teacher Education. Tsukuba
Journal of Educational Study in Mathematics. Vol.25 (169-177).
Joyce, Bruce dan Weil, Marsha.(1980). Models of Teaching.New Jersey: Prentice-Hall,
Inc.
Kemdikbud, (2015). Pedoman Penyusunan Modul Diklat Pengembangan Keprofesian
Berkelanjutan Bagi Guru dan Tenaga Kependidikan. Jakarta. Kemdikbud,
Direktorat Jenderal Guru dan Tenaga Kependidikan
Maria Miller. (2015). Four principles of deeply effective math teaching. Dalam http:
//www.homeschoolmath.net/teaching/teaching.php (diakses 25 Des 2015)
Nohda, N. (2000). Teaching by Open-Approach Method in Japanese Mathematics
Classroom. Proceedings of the Conference of the International Group for the
Psychology of Mathematics Education (PME) (24th, Hiroshima, Japan, July 23-27,
2000), Volume 1; see ED452 031.
Peraturan Menteri Pendidikan dan Kebudayaan Republik Indonesia Nomor 58
Tahun 2014 tentang Kurikulum 2013 Sekolah Menengah Pertama/Madrasah
Tsanawiyah.
Peraturan Menteri Pendidikan dan Kebudayaan Republik Indonesia Nomor 64
Tahun 2013 tentang Standar Isi Pendidikan Dasar dan Menengah.
Prince, Michael J.; Felder, Richard M. (2006). Inductive Teaching and Learning
Methods: Definitions, Comparisons, and Research Bases. Journal Enginering
Educatio, 95(2), 123-138 (2006)
Sanjaya, W. (2010).Strategi Pembelajaran: Berorientasi Standar Proses Pendidikan.
Jakarta: Kencana Prenada Media Group.
Slavin, Robert E., (2006). Educational Psychology : Theory and Practice (8th edition).
USA. Pearson Education, Inc.
Syaiful Sagala. (2005).Konsep dan Makna Pembelajaran. Bandung: Penerbit Alfabeta.

Daftar Pustaka
74
Tomlinson, Carol Ann. (2015). What Makes Differentiated Instruction Successful?.
dalam http://www.readingrockets.org/article/ what-makes-differentiated-
instruction-successful (diakses 21 November 2015)
Tomlinson, Carol Ann. (2015). What Is Differentiated Instruction?. dalam
http://www.readingrockets.org/article/what-differentiated-instruction
(diakses 21 November 2015)
Tomlinson, Carol Ann. (1999). The differentiated classroom : responding to the needs
of all learners. VA: Association for Supervision and Curriculum Development
(ASCD)
Tomlinson, Carol Ann. (2001). How to differentiate instruction in mixed-ability
classrooms. VA: Association for Supervision and Curriculum Development
(ASCD)

GURU PEMBELAJAR
MODUL PELATIHAN
SMP
PROFESIONAL
STATISTIKA DAN PELUANG
DIREKTORAT JENDERAL GURU DAN TENAGA KEPENDIDIKAN
KEMENTERIAN PENDIDIKAN DAN KEBUDAYAAN
2016

Penulis:
1. Drs. M. Fauzan, M.Sc., ST., 082137545916, email: fauzan3264@gmail.com
2. Dra. Theresia Widyantini,M.Si., 081392659895, email: widterban@yahoo.com
3. Ratna Herawati, M.Si., 081328743071, email: hera_taa3@yahoo.com
4. Dr. Sugiman, M.Si., 08122786314, email: sugiman@uny.ac.id
Penelaah:
1. Yogi Anggraena, M.Si. , 082345678219, yogi_anggraena@yahoo.com
2. Dr. Sumardyono, M.Pd., 081328516171,smrdyn@gmail.com
3. Dr. Imam Sujadi, M.S., 08121565696, imamsujadi@ymail.com
Ilustrator:
Mutiatul Hasanah
Copyright © 2016
Direktorat Jenderal Guru dan Tenaga Kependidikan.
Hak Cipta Dilindungi Undang-Undang
Dilarang mengcopy sebagian atau keseluruhan isi buku ini untuk kepentingan
komersial tanpa izin tertulis dari Kementerian Pendidikan Kebudayaan.

vii
Daftar Isi
Kata Pengantar ................................................................................................................................ v
Daftar Isi............................................................................................................................................vii
Daftar Gambar.................................................................................................................................ix
Daftar Tabel......................................................................................................................................xi
Pendahuluan.....................................................................................................................................1
A. Latar belakang....................................................................................................................1
B. Tujuan ....................................................................................................................................2
C. Peta Kompetensi ...............................................................................................................3
D. Ruang Lingkup ...................................................................................................................3
E. Cara Penggunaan Modul................................................................................................3
Kegiatan Pembelajaran 1............................................................................................................5
PENYAJIAN DATA...........................................................................................................................5
A. Tujuan ....................................................................................................................................5
B. Indikator Pencapaian Kompetensi...........................................................................5
C. Uraian Materi......................................................................................................................5
D. Aktivitas Pembelajaran............................................................................................... 21
E. Latihan/Kasus/Tugas.................................................................................................. 23
F. Rangkuman....................................................................................................................... 24
G. Umpan Balik dan Tindak Lanjut............................................................................. 25
Kegiatan Pembelajaran 2......................................................................................................... 27
UKURAN PEMUSATAN DAN UKURAN PENYEBARAN............................................... 27
A. Tujuan ................................................................................................................................. 27
B. Indikator Pencapaian Kompetensi........................................................................ 27
C. Uraian Materi................................................................................................................... 27

Daftar Gambar
viii
D. Aktivitas Pembelajaran................................................................................................44
E. Latihan/Kasus/Tugas...................................................................................................47
F. Rangkuman........................................................................................................................47
G. Umpan Balik dan Tindak lanjut ...............................................................................48
Kegiatan Pembelajaran 3 PELUANG SUATU KEJADIAN...........................................49
A. Tujuan ..................................................................................................................................49
B. Indikator Pencapaian Kompetensi.........................................................................49
C. Uraian Materi....................................................................................................................49
F. Rangkuman........................................................................................................................68
G. Umpan Balik dan Tindak Lanjut..............................................................................68
Kegiatan Pembelajaran 4..........................................................................................................69
PEMECAHAN MASALAH PELUANG .....................................................................................69
A. Tujuan ..................................................................................................................................69
B. Indikator Pencapaian Kompetensi.........................................................................69
C. Uraian Materi....................................................................................................................69
F. Rangkuman........................................................................................................................88
G. Umpan Balik dan Tindak Lanjut..............................................................................88
Evaluasi.............................................................................................................................................91
Penutup.............................................................................................................................................97
Daftar Pustaka................................................................................................................................99

ix
Daftar Gambar
Gambar 3.1. Hasil pelemparan dadu sebanyak 30 kali dan 600 kali.................. 59
Gambar 4.1. Dua kejadian berkelanjutan........................................................... 78
Gambar 4.2. Prinsip perkalian pada kejadian-kejadian berurutan..................... 78
Gambar 4.3. Perbedaan Permutasi dan Kombinasi atas Tiga Objek.................. 79
Gambar 4.4. Permutasi lengkap atas n objek..................................................... 80
Gambar 4.5. Permutasi sebagian: r dari n objek................................................ 80
Gambar 4.6. Model perhitungan permutasi siklis atas n objek.......................... 81
Gambar 4.7. Kaitan permutasi dan kombinasi 3 dari 4 objek............................ 82

xi
Daftar Tabel
Tabel 1. 1Jumlah Siswa Kelas VII, Kelas VIII dan Kelas IXDari Empat SMP Di
Kelurahan IndraprastaTahun 2015.......................................................................................6
Tabel 1. 2Bentuk Umum Tabel Distribusi Frekuensi....................................................7
Tabel 1. 3Hasil Ujian Akhir SemesterMata Pelajaran Matematika Kelas Vii... 12
Tabel 1. 4Hasil Ujian Akhir Semester Mata Pelajaran Matematika Kelas VII. 12
Tabel 1. 5Jumlah Siswa SD, SMP, SMA, dan SMKDi Kota ‘Y’.................................... 14
Tabel 1. 6Persentase seluruh data ...................................................................................... 15
Tabel 1. 7Jumlah siswa yang diterima di sebuah SMADari Tahun 1980 sampai
1986................................................................................................................................................... 17
Tabel 1. 8Tinggi Badan (Dalam Cm)Sejumlah Siswasmp Hang TuahTahun
Ajaran 2015/2016 ...................................................................................................................... 19
Tabel 1. 9Jumlah Siswa SD, SMP, SMA, dan SMKDi Kota ‘F’ .................................... 21
Tabel 2. 1 Tabel penghasilan dari data di atas .............................................................. 29
Tabel 2. 2Tabel penghasilan setiap bulan dari 8 orang di suatu RT................... 30
Tabel 3. 1Frekuensi relatif pelemparan sebuah dadusebanyak 30 kali............. 57
Tabel 3. 2Frekuensi relatif pelemparan sebuah dadu sebanyak 600 kali......... 58

1
Pendahuluan
A. Latar belakang
Profesi guru dan tenaga kependidikan harus dihargai dan dikembangkan sebagai
profesi yang bermartabat sebagaimana diamanatkan Undang-undang Nomor 14
Tahun 2005 tentang Guru dan Dosen. Hal ini dikarenakan guru dan tenaga
kependidikan merupakan tenaga profesional yang mempunyai fungsi, peran, dan
kedudukan yang sangat penting dalam mencapai visi pendidikan 2025 yaitu
“Menciptakan Insan Indonesia Cerdas dan Kompetitif”. Untuk itu guru dan tenaga
kependidikan yang profesional wajib melakukan pengembangan keprofesian
berkelanjutan.
Merujuk pada Undang-Undang Nomor 14 Tahun 2005 tentang Guru dan Dosen,
mengamanatkan bahwa profesi guru merupakan bidang pekerjaan khusus yang
dilaksanakan berdasarkan standar kompetensi sesuai bidang tugasnya dan
pelaksanaan pengembangan keprofesian berkelanjutan sepanjang hayat.
Pengembangan Keprofesian Berkelanjutan (PKB) adalah pengembangan kompetensi
guru yang dilaksanakan sesuai dengan kebutuhan, bertahap, dan berkelanjutan
untuk meningkatkan profesionalitas guru (Permennegpan RB No. 16/2009). Oleh
karena itu sebagai jabatan profesional, guru harus memenuhi standar yang
dipersyaratkan sesuai dengan peraturan yang telah dikeluarkan oleh Badan Standar
Nasional Pendidikan (BSNP) bagi guru mata pelajaran dan guru kelas, standar
kompetensi dan kualifikasi akademik diatur berdasarkan Permendiknas Nomor 16
Tahun 2007 tentang Standar Kualifikasi Akademik dan Kompetensi Guru, sedangkan
bagi Guru Bimbingan dan Konseling, standarnya diatur berdasarkan Permendiknas
Nomor 27 tahun 2008 tentang Standar Kualifikasi Akademik dan Kompetensi
Konselor. Guru tidak lagi dianggap sekedar pelaksana teknis di kelas, tetapi
dianggap sebagai suatu jabatan fungsional. Jabatan fungsional guru adalah jabatan
fungsional yang mempunyai ruang lingkup, tugas, tanggung jawab, dan wewenang
untuk melakukan kegiatan mendidik, mengajar, membimbing, mengarahkan,
melatih, menilai, dan mengevaluasi peserta didik pada pendidikan anak usia dini

Pendahuluan
2
jalur pendidikan formal, pendidikan dasar, dan pendidikan menengah sesuai dengan
peraturan perundang-undangan yang diduduki oleh Pegawai Negeri Sipil (Pasal 1
ayat 1). Konsekuensinya adalah guru dituntut melakukan PKB sehingga guru dapat
menjalankan tugas dan fungsinya secara profesional. Guru dan tenaga kependidikan
wajib melaksanakan kegiatan pengembangan keprofesian secara berkelanjutan agar
dapat melaksanakan tugas profesionalnya.
PKB sebagai salah satu strategi pembinaan guru dan tenaga kependidikan
diharapkan dapat menjamin guru dan tenaga kependidikan mampu secara terus
menerus memelihara, meningkatkan, dan mengembangkan kompetensi sesuai
dengan standar yang telah ditetapkan. Pelaksanaan kegiatan PKB akan mengurangi
kesenjangan antara kompetensi yang dimiliki guru dan tenaga kependidikan dengan
tuntutan profesional yang dipersyaratkan.
Guru dan tenaga kependidikan wajib melaksanakan PKB baik secara mandiri
maupun kelompok. Khusus untuk PKB dalam bentuk pendidikan daan peltihan
dilakukan oleh lembaga pelatihan sesuai dengan jenis kegiatan dan kebutuhan guru..
Pelaksanaan pendidikan dan pelatihan tersebut memerlukan modul sebagai salah
satu sumber belajar bagi guru. Modul dengan judul “Statistika” ini merupakan bahan
ajar yang dirancang untuk dapat dipelajari oleh guru yang berisi materi, lembar
kegiatan(LK) serta tugas-tugas yang dikerjakan untuk mencapai tingkat kompetensi
yang diharapkan sesuai dengan tingkat kompleksitasnya.
B. Tujuan
Tujuan disusunnya modul “Statistika dan Peluang” ini adalah agar para pembaca
mampu menentukan ukuran pemusatan yang tepat untuk suatu kelompok, memilih
representasi yang tepat dalam penyajian data serta menyelesaikan masalah yang
berkaitan dengan konsep statistika serta memahami konsep-konsep dasar peluang
sehingga mampu menyelesaikan masalah-masalah yang berkaitan dengan peluang.

3
C. Peta Kompetensi
Kompetensi inti guru mata pelajaran matematika di SMP/MTs sesuai dengan
Permendiknas Nomor 16 Tahun 2007 tentang Standar Kualifikasi Akademik dan
Kompetensi Guru yang terkait dengan materi statistika dan peluang merupakan
kompetensi profesional. Untuk kompetensi profesional terkait dengan materi
statistika dan peluang adalah mampu menggunakan konsep-konsep statistika dan
peluang
D. Ruang Lingkup
Ruang Lingkup modul meliputi:
Kegiatan Pembelajaran 1:
1. Penyajian data
1. Ukuran pemusatan data tunggal dan data kelompok
2. Ukuran penyebaran data tunggal dan data kelompok
1. Pengertian peluang.
2. Percobaan, ruang sampel, titik sampel, dan kejadian.
3. Kejadian sederhana dan kejadian majemuk.
4. Peluang suatu kejadian dengan pendekatan frekuensi relatif.
5. Peluang suatu kejadian dengan pendekatan teori klasik.
1. Penerapan konsep peluang dalam menyelesaikan masalah.
2. Penerapan aturan perkalian, permutasi, dan kombinasi dalam menyelesaikan
masalah peluang
E. Cara Penggunaan Modul
Modul ini terdiri atas pendahuluan yang terdiri dari latar belakang, tujuan, peta
kompetensi, ruang lingkup serta cara penggunaan modul yang meliputi empat(4)
kegiatan pembelajaran yaitu kegiatan pembelajaran 1 tentang penyajian data,
kegiatan pembelajaran 2 tentang ukuran pemusatan dan ukuran penyebaran,
kegiatan pembelajaran 3 tentang pengertian peluang, percobaan, ruang sampel, titik
sampel, dan kejadian, kejadian sederhana dan kejadian majemuk, peluang suatu

Pendahuluan
4
kejadian dengan pendekatan frekuensi relatif, peluang suatu kejadian dengan
pendekatan teori klasik serta kegiatan pembelajaran 4 tentang penerapan konsep
peluang dalam menyelesaikan masalah, penerapan aturan perkalian, permutasi, dan
kombinasi dalam menyelesaikan masalah peluang. Pada modul ini terdapat uraian
materi, aktivitas pembelajaran, latihan/kasus/tugas, serta evaluasi yang harus
dikerjakan oleh Anda. Melalui uraian materi yang ada dalam modul ini, diharapkan
dapat mengembangkan wawasan Anda yang berkaitan dengan permasalahan-
permasalahan terkait dengan penyajian data serta ukuran pemusatan dan ukuran
penyebaran serta menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan konsep statistika
serta memahami konsep-konsep dasar peluang sehingga mampu menyelesaikan
masalah-masalah yang berkaitan dengan peluang.

5
PENYAJIAN DATA
A. Tujuan
Setelah mempelajari kegiatan pembelajaran 1, Anda diharapkan dapat memahami
konsep dasar teknik penyajian data dalam bentuk tabel dan diagram atau grafik.
Anda juga diharapkan mampu menafsirkan makna dari diagram atau grafik yang
disajikan.
Setelah mempelajari modul ini, Anda diharapkan dapat memahami teknik penyajian
data dalam bentuk diagram. Secara khusus Anda diharapkan dapat :
1. Menyusun sekumpulan data dalam bentuk tabel baris kolom dan tabel
kontingensi ;
2. Menyusun sekumpulan data dalam bentuk tabel distribusi frekuensi,
3. Menggambarkan diagram batang, dagram titik, diagram lingkaran, dan diagram
lambang berdasarkan data kuantitatif.
4. Menggambarkan diagram garis berdasarkan data waktu.
5. Menggambarkan grafik histogram berdasarkan data yang sudah disusun dalam
tabel distribusi frekuensi, baik frekuensinya berupa absolut maupun relatif.
6. Menggambarkan poligon frekuensi berdasarkan histogram.
7. Menggambarkan kurva frekuensi yang merupakan penghalusan poligon
frekuensi.
C. Uraian Materi
Data yang diperoleh biasanya masih belum terssun secara teratur. Untuk keperluan
analisis data perlu disajikan dengan lebih baik, misal dalam bentuk tabel, atau dalam
bentuk grafik. agar informasi yang dibutuhkan dapat diperoleh dengan cepat.
Berikut dipaparkan hal-hal yang berkaitan dengan penyajian data dalam bentuk
tabel, seperti : tabel baris kolom, tabel kontingensi dan, cara membuat tabel
distribusi frekuensi.

6
Diagram atau grafik adalah gambar-gambar yang menunjukan data secara visual,
didasarkan atas nilai-nilai pengamatan aslinya ataupun dari tabel-tabel yang dibuat
sebelumnya. Grafik merupakan alat penyajian statistik yang tertuang dalam bentuk
lukisan, baik lukisan garis, lukisan gambar, maupun lambang. Dgn demikian diagram
atau grafik adalah gambaran untuk memperlihatkan atau menerangkan sesuatu data
yang akan disajikan. Dengan perkataan lain grafik atau diagram adalah alat
penyajian data statistik yang berupa lukisan baik lukisan garis, gambar ataupun
lambang.
1. Tabel Baris Kolom
Tabel baris kolom adalah tabel yang terdiri dari baris dan kolom yang mempunyai
ciri tidak terdiri dari faktor-faktor yang terdiri dari beberapa kategori dan bukan
merupakan data kuantitatif yang dibuat menjadi beberapa kelompok. Gasperz
(1989:33) menyatakan bahwa Tabel Eka Arah (One Way Table) merupakan tabel
paling sederhana yaitu hanya menunjukan satu hal saja. Jadi tabel baris kolom
adalah tabel yang terdiri dari 1 variabel atau faktor atau kategori. Salah satu contoh
Tabel Baris-Kolom adalah Tabel 1(1) di bawah ini.
Tabel 1. 1Jumlah Siswa Kelas VII, Kelas VIII dan Kelas IXDari Empat SMP Di
Kelurahan IndraprastaTahun 2015
Sekolah
Kelsa VII Kelas VIII Kelas IX Jumlah
L P L P L P
SMP Jaya 45 75 35 45 30 50 280
SMP Balubur 57 73 30 50 25 55 290
SMP Pesona 46 74 25 55 35 45 280
SMP Arjuna 75 45 65 15 45 35 280
Jumlah 223 267 155 165 135 185 1130
2. Tabel Kontingensi
Tabel kontingensi merupakan tabel yang terdiri atas dua faktor atau dua variable.
Faktor yang satu terdiri atas b kategori dan faktor lainnya terdiri atas k kategori,

7
dapat dibuat daftar kontingensi berukuran b x k dengan b menyatakan baris dan k
menyatakan kolom (Sudjana, 2005:20). Sedangkan Gasperz (1989:34) menyatakan
bahwa Tabel Dwi Arah (Two Way Table) menunjukan dua hal. Jadi dapat
disimpulkan tabel kontingensi adalah tabel yang terdiri dari dua (2) variabel atau
kategori atau faktor.
3. Tabel Distribusi Frekuensi
Tabel Distribusi Frekuensi adalah alat penyajian data statistik berbentuk kolom dan
lajur, yang di dalamnya dimuat angka yang dapat melukiskan atau menggambarkan
pencaran atau pembagian frekuensi dari variabel yang sedang menjadi objek
penelitian. Pada tabel distribusi frekuensi data disusun dalam suatu tabel yang telah
diklasifikasikan menurut kelas-kelas atau kategori tertentu.
Dikenal dua bentuk distribusi frekuensi menurut pembagian kelasnya, yaitu
distribusi frekuensi kualitatif (kategori) dan distribusi frekuensi kuantitatif
(bilangan). Pada distribusi frekuensi kualitatif pembagian kelasnya didasarkan pada
kategori tertentu dan banyak digunakan untuk data berskala ukur nominal.
Sedangkan kategori kelas dalam tabel distribusi frekuensi kuantitatif, terdapat dua
macam, yaitu kategori data tunggal dan kategori data berkelompok (bergolong).
Jadi dapat disimpulkan bahwa tabel distribusi frekuensi adalah tabel yang memuat
sejumlah data yang diklasifikasikan atau dikelompokkan berdasarkan kelas atau
kategori tertentu.
Bentuk umum tabel distribusi frekuensi disajikan pada tabel 1(2) berikut
Tabel 1. 2Bentuk Umum Tabel Distribusi Frekuensi
Nilai Data Frekuensi
a - b f1
c - d f2
e - f f3
g - h f4
i - j f5
Jumlah n

8
Dalam tabel distribusi frekuensi, ada beberapa istilah yang digunakan di dalamnya,
antara lain :
a. Kelas Interval
Kelas interval adalah kelompok nilai data yang berupa interval. Tabel 1(2) di atas
terdiri dari lima kelas interval.
a – b merupakan kelas interval pertama ,
c – d merupakan kelas interval kedua ,
e – f merupakan kelas interval ketiga ,
g – h merupakan kelas interval keempat ,
i – j merupakan kelas interval kelima.
b. Batas bawah kelas interval
Batas bawah kelas interval adalah bilangan yang terdapat di sebelah kiri interval
nilai. Dari Tabel 1(2), maka batas bawah kelas interval pertama adalah a, batas
bawah kelas interval kedua b, dan seterusnya.
c. Batas atas kelas interval
Batas atas kelas interval atas adalah bilangan yang terdapat di sebelah kanan
interval nilai. Dari Tabel 1(2), maka batas atas kelas kelas interval pertama adalah b,
batas atas kelas interval kedua adalah d, dan seterusnya.
d. Tepi bawah kelas
Tepi bawah kelas adalah bilangan yang diperoleh dengan cara batas bawah
dikurangi ketelitian data yang digunakan. Ketelitian data yang digunakan tergantung
pada pencatatan datanya. Jika data yang digunakannya dicatat dalam bilangan bulat,
maka ketelitian datanya 0,5 sedangkan bila data yang digunakannya dicatat dalam
bilangan satu angka desimal, maka ketelitian datanya 0,05. Bila data yang
digunakannya dicatat dalam bilangan dua angka desimal, maka ketelitian datanya
0,005, dan seterusnya.
Jika diambil datanya dicatat dalam bilangan bulat, maka dari bentuk umum dalam
Tabel 1(2) tepi-tepi bawahnya adalah :
a – 0,5 adalah tepi bawah kelas interval pertama
c – 0,5 adalah tepi bawah kelas interval kedua
e – 0,5 adalahtepi bawah kelas interval ketiga
g – 0,5 adalahtepi bawah kelas interval keempat
i – 0,5 adalahtepi bawah kelas interval kelima.

9
e. Tepi atas kelas
Batas atas adalah bilangan yang diperoleh dengan cara ujung atas ditambah
ketelitian data yang digunakan. Ketelitian datanya sama dengan ketelitian data
dalam menentukan batas bawah. Misalnya dicatat data, bilangan bulat, maka dari
bentuk umum dalam Tabel 1(2) tepi-tepi atasnya adalah :
b + 0,5 : tepi atas kelas interval pertama
d + 0,5 : tepi atas kelas interval kedua
f + 0,5 : tepi atas kelas interval ketiga
h + 0,5 : tepi atas kelas interval keempat
j + 0,5 : tepi atas kelas interval kelima
f. Titik Tengah (Tanda Kelas)
Titik tengah adalah bilangan di tengah interval. Titik tengah diperoleh dengan cara
batas bawah kelas ditambah batas atas kelas, kemudian hasilnya dibagi dua..
Titik Tengah = (batas bawah + batas atas)
g. Panjang Kelas
Apabila kelas interval menggunakan batas bawah dan batas atas maka panjang kelas
adalah bilangan yang diperoleh dari selisih antara batas bawah kelas dan batas atas
kelas, dengan batas bawahnya termasuk dihitung (atau ditambah satu) Namun, bila
kelas interval menggunakan tepi bawah dan tepi atas maka panjang kelas adalah
selisih tepi atas dikurangi tepi bawah.
Untuk menyusun sebuah tabel distribusi frekuensi dengan panjang kelas yang sama
untuk setiap kelas kelas interval diperlukan langkah-langkah sebagai berikut:
1) Tentukan nilai rentang
Rentang diperoleh dengan cara datum terbesar dikurangi datum terkecil.
RENTANG = DATUM TERBESAR –DATUM TERKECIL
2) Tentukan banyak kelas yang digunakan
Banyak kelas yang digunakan biasanya paling sedikit 5 kelas dan paling
banyak 15 kelas, sehingga dapat ditulis :
5 ≤ BANYAK KELAS ≤ 15
Pemilihan ini dilakukan berdasarkan kenyataan dan kebiasaan saja dimana
pemilihan banyak kelas terkecil 5 sudah bisa menggambarkan pola distribusi

10
datanya berbentuk normal atau tidak, sedangkan kalau dipilih 4 belum bisa
menggambarkan pola distribusi data normal atau tidak.
Apabila Anda tidak ingin menentukan banyak kelas secara langsung, ada sebuah
aturan untuk menentukan banyak kelas, yaitu ATURAN STURGES dengan
rumusnya sebagai berikut :
k = 1 + ( 3,3 ) ( log n)
dengan : k = banyak kelas interval
n = ukuran data digunakan
Bila diperhatikan rumus di atas, maka hasil akhir dari perhitungannya pasti
berupa bilangan desimal.Karena banyak kelas merupakan bilangan bulat, maka
hasil akhir itu harus dibulatkan. Pembulatan bilangannya boleh dilakukan ke
bawah atau boleh juga dilakukan ke atas, tapi sebaiknya pembulatan
bilangannya dibulatkan ke atas. Hal ini dilakukan agar banyak kelas yang dipilih
dapat melingkupi semua data yang ada.
3) Tentukan panjang kelas
Panjang kelas diperoleh dengan cara nilai rentang dibagi dengan banyak kelas,
sehingga dapat ditulis :
k
rentang
p
dengan : p = panjang kelas
k = banyak kelas
Hasil akhir dari perhitungannya biasanya berupa bilangan desimal. Oleh karena
itu dalam menentukan panjang kelas harus dilakukan pembulatan bilangan
yang sesuai dengan pencatatan datanya, artinya :
a. Jika data yang digunakan dicatat dalam bilangan bulat, maka panjang
kelaspun dicatat dalam bilangan bulat.
b. Jika data yang digunakan dicatat dalam bilangan satu desimal, mka panjang
kelaspun dicatat dalam bilangan satu desimal
c. Jika data yang digunakan dicatat dalam bilangan dau desimal, mka panjang
kelaspun dicatat dalam bilangan dua desimal
Dan seterusnya.

11
4) Tentukan nilai batas bawah kelas interval pertama
Ada dua kemungkinan yang bisa terjadi, yaitu :
a. Batas bawah kelas interval pertama boleh mengambil nilai data yang
terkecil
b. Batas bawah kelas interval pertama boleh mengambil nilai data yang lebih
kecil dari nilai data yang terkecil. Kemungkinan kedua ini bisa dilakukan
dengan syarat nilai data yang terbesar harus tercakup dalam interval nilai
data pada kelas interval terakhir.
Dengan demikian dari sekumpulan data bisa dibuat satu atau beberapa buah
tabel distribusi frekuensi sesuai dengan pengambilan batas bawah kelas
interval pertamanya.
5) Masukkan semua data kedalam interval kelas
Untuk memudahkan, buat kolom khusus yang berisi garis miring (tally/turus)
sesuai dengan kelas intervalnya. Selanjutnya jumlahkan semua tally/turus yang
terdapat pada masing-masing kelas interval.
Contoh 4 : Berikut ini diberikan data mengenai hasil ujian akhir semester
mata pelajaran matematika kelas VII sebuah SMP.
55 62 57 72 62 81 57 63 61 60
75 77 58 76 73 80 64 79 65 51
55 66 61 55 81 69 65 59 56 75
85 64 63 58 76 80 60 61 78 58
Susunlah data di atas kedalam tabel distribusi frekuensi dengan panjang kelas
yang sama.
Penyelesaian :
1) Rentang = 85 – 51 = 34
2) Banyak kelas, k = 1 + ( 3,3 ) (log 40) = 1 + ( 3,3 ) (1,6021) = 6,28693
Jadi banyak kelas yang digunakan bisa 6 atau 7. Di sini akan diambil banyak
kelas sebanyak 7 buah
3) Panjang kelas = = 4,86
Karena datanya dicatat dalam bilangan bulat, maka panjang kelasnya
diambil 5

12
4) Batas bawah kelas interval pertamanya diambil 51
Untuk memasukkan data ke dalam kelas interval diperlukan kolom tally,
dengan cara sebagai berikut.
a. Nilai 55 termasuk ke dalam kelas interval pertama, yaitu 51 – 55 dan
pada kolom tally yang sesuai dengan kelas interval pertama ditulis /.
Selanjutnya nilai 55 dicoret agar tidak dihitung dua kali
b. Nilai 62 termasuk ke dalam kelas interval ketiga, yaitu 61 – 65 dan pada
kolom tally yang sesuai dengan kelas interval ketiga, dan seterusnya.
Hasilnya dapat dilihat dalam Tabel 1(3).
Tabel 1. 3Hasil Ujian Akhir SemesterMata Pelajaran Matematika Kelas Vii
Hasil Ujian Akhir Semester Tally Banyak Siswa
51 - 55 ∕ ∕ ∕ ∕ 4
56 - 60 ∕ ∕ ∕ ∕ ∕ ∕ ∕ ∕ 9
61 - 65 ∕ ∕ ∕ ∕ ∕ ∕ ∕ ∕ ∕ 11
66 - 70 ∕ ∕ 2
71 - 75 ∕ ∕ ∕ ∕ 4
76 - 80 ∕ ∕ ∕ ∕ ∕ ∕ 7
81 - 85 ∕ ∕ ∕ 3
Jumlah 40
Dengan menghilangkan kolom tally, hasil tabel distribusi frekuensi yang sebenarnya
dapat dilihat dalam Tabel 1(4).
Tabel 1. 4Hasil Ujian Akhir Semester Mata Pelajaran Matematika Kelas VII
Hasil Ujian Akhir
Semester Banyak Siswa
51 - 55 4
56 - 60 9
61 - 65 11
66 - 70 2
71 - 75 4
76 - 80 7

13
81 - 85 3
Jumlah 40
Dari Tabel 1(4) dapat diketahui bahwa kita hanya dapat membuat sebuah tabel,
karena alasan sebagai berikut.
Jika batas bawah kelas interval pertama diambil lebih kecil dari 51, misalnya 50,
maka nilai data yang terbesar yaitu 85 tidak akan tercakup. Hal ini disebabkan
karena batas atas kelas interval terakhirnya 84.
Dari Tabel 1(4), dapat dibuat beberapa penafsiran berikut.
a. Hasil ujian akhir semester mata pelajaran matematika yang nilainya 51 sampai
55 ada 4 orang
b. Hasil ujian akhir semester mata pelajaran matematika yang nilainya 56 sampai
60 ada 9 orang
c. Hasil ujian akhir semester mata pelajaran matematika yang nilainya 61 sampai
65 ada 11 orang, dan seterusnya.
4. Diagram Batang
Diagram batang atau balok adalah grafik data berbentuk persegi panjang yang
lebarnya sama dan dilengkapi dengan skala atau ukuran sesuai dengan data yang
bersangkutan. Diagram batang digunakan untuk menyajikan data yang bersifat
kategori. Jadi diagram batang adalah diagram yang berbentuk persegi panjang
dengan lebar yang sama dan umumnyadigunakan untuk data yang berbentuk
kategori.
Penyajian data berbentuk diagram batang banyak modelnya antara lain: diagram
batang satu komponen atau lebih, diagram batang dua arah, diagram batang tiga
dimensi, dan lain-lain sesuai dengan variasinya atau tergantung kepada
kegunaannya.

14
Perhatikan Tabel 1(5) berikut.
Tabel 1. 5Jumlah Siswa SD, SMP, SMA, dan SMKDi Kota ‘Y’
Tingkat pendidikan Jumlah siswa
SD 1500
SMP 900
SMA 1100
SMK 1250
Untuk membuat diagram batang akan lebih mudah kalau kita bekerja menggunakan
microsoft Excel. Asumsikan data Tabel 1(5) sudah dibuat di microsoft excel.
Selanjuitnya lakukan langkah-langkah berikut.
1) Blok (tandai) data
2) Pilih menu insert
3) Pilih coloum pada sub menu chart
4) Pilih chartlayout yang diinginkan
5) Edit Judul Diagram
6) Diperoleh diagram seperti berikut.
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
SD SMP SMA SMK
Jumlah siswa SD, SMP, SMA, dan SMK di kota 'Y'
Jumlah siswa

15
5. Diagram Lingkaran
Grafik lingkaran adalah grafik data berupa lingkaran yang telah dibagi menjadi
juring-juring sesuai dengan data tersebut.Diagram lingkaran digunakan untuk
penyajian data berbentuk kategori yang dinyatakan dalam persentase. Penyajian
data dalam bentuk diagram lingkaran didasarkan pada sebuah lingkaran yang dibagi
menjadi beberapa bagian sesuai dengan banyaknya kelas penyusunan.
Diagram lingkaran merupakan cara penyajian sekumpulan data kedalam lingkaran,
dengan lingkarannya dibagi menjadi beberapa bagian sesuai dengan
pengklasifikasian datanya. Untuk membuat diagram lingkaran, gambarkan sebuah
lingkaran, lalu dibagi-bagi menjadi beberapa sektor. Tiap sektor melukiskan
kategori data yang terlebih dahulu diubah kedalam derajat.
Jadi diagram lingkaran adalah penyajian data statistik dengan menggunakan gambar
berbentuk lingkaran yang dibagi menjadi sudut-sudut sektor. Setiap sektor
melukiskan kategori data yang terlebih dahulu diubah ke dalam derajat dengan
menggunakan busur derajat. Diagram lingkaran sangat cocok untuk menyajikan
data yang berbentuk kategori atau atribut dalam persentase.
Sebagai contoh, untuk membuat diagram lingkaran ditentukan dulu besar
persentase tiap objek terhadap keseluruhan data dan besarnya sudut pusat sektor
lingkaran seperti Tabel 1(6) sebagai berikut.
Tabel 1. 6Persentase seluruh data
Tingkat pendidikan Jumlah siswa Persn Sudut Pusat
SD 1500 31,57 114⁰
SMP 900 18,95 68⁰
SMA 1100 23,16 84⁰
SMK 1250 26,32 94⁰
Jumlah 4750 100% 360⁰

16
Untuk membuat diagram lingkaran menggunakan microsoft excel lakukan langkah-
langkah berikut.
1) Blok data yang diinginkan
3) Pilih Pie pada sub-menu chart
4) Pilih bentuk lingkaran yang diinginkan
5) Pilih chartlayout sesuai yang diinginkan
6) Edit Judul Tabel
Diagram lingkaram yang dibuat disajikan pada Diagram 2 berikut.
6. Diagram Garis
Diagram garis adalah diagram atau grafik data berupa garis, diperoleh dari beberapa
ruas garis yang menghubungkan titik-titik pada bidang bilangan. Diagram garis
umumnyadigunakan untuk menggambarkan keadaan yang serba terus atau
berkesinambungan, misalnya, jumlah penduduk tiap tahun. Seperti diagram batang,
diagram garis membutuhkan sumbu datar dan sumbu tegak yang saling tegak lurus.
Sumbu datar menyatakan waktu sedangkan sumbu tegaknya melukiskan kuantum
data tiap waktu.
32%
19%
23%
26%
Diagram 2. Persentase Jumlah Siswa SD, SMP, SMA dan SMK
SD
SMP
SMA
SMK

17
Misalkan dipunyai data jumlah siswa yang diterima di sebuah SMA dari tahun 1980
sampai 1986 sebagai berikut.
Tabel 1. 7Jumlah siswa yang diterima di sebuah SMADari Tahun 1980 sampai
1986
Tahun Jumlah Siswa
1980 150
1981 162
1982 175
1983 200
1984 225
1985 230
1986 240
Perhatikan bahwa agar diagram tergambar secara baik maka dalam pengisian tahun
gunakan format teks dengan cara menuliskan apostrop sebelum tahun. Jadi untuk
menulis 1980, misalnya lakukan dengan mengetikkan ‘1980.
Langkah – langkah dalam membuat diagram garis adalah sebagai berikut:
1) Blok data
3) Pilih line pada sub-menu chart
4) Pilih chartlayout yang diinginkan
5) Edit Judul Tabel
Diagram yang dihasilkan disajikan pada Diagram berikut.

18
7. Histogram dan Poligon Frekuensi
Misalkan kita mempunyai sekumpulan data, yang disusun dalam tabel distribusi
frekuensi. Gambar dari diagram yang dibuat berdasarkan data yang sudah tersusun
dalam tabel distribusi frekuensi disebuthistogram dan poligon frekuensi.Langkah–
langkah membuat diagram Histogram dan Poligon frekuensi adalah sebagai berikut.
1). Buat dua sumbu, yaitu sumbu datar dan sumbu tegak. Pada sumbu datar
memuat bilangan yang merupakan batas–batas semua kelas interval (atau ada
juga yang menggunakan titik tengah atau tanda kelas untuk setiap kelas
interval). Sumbu tegaknya mengenai nilai frekuensi dari data yang didapat.
2). Untuk kelas interval pertama, pada sumbu datar di batasi oleh batas bawahnya
dan batas atasnya. Pada batas bawah dan batas atas masing–masing ditarik
garis tegak lurus ke atas sampai menunjukkan bilangan yang sesuai dengan
frekuensi pada sumbu tegak. Selanjutnya hubungkan kedua ujungnya, sehingga
akan terbentuk sebuah batang yang berupa empat persegi panjang.
3). Untuk kelas interval kedua, pada sumbu datar dibatasi oleh batasbawahnya dan
batas atasnya. Pada batas bawah dan batas atasnya masing – masing ditarik
garis tegak lurus ke atas sampai menunjukkan bilangan yang sesuai dengan
frekuensinya pada sumbu tegak. Selanjutnya hubungkan kedua ujungnya,
sehingga akan terbentuk sebuah batang yang serupa empat persegipanjang.
0
50
100
150
200
250
300
1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986
JumlahSiswa
Tahun
Jumlah Siswa yang diterima di sebuah SMA dari tahun
1980 sampai 1986
Jumlah Siswa

19
Dalam hal ini, batas bawah kelas interval kedua sama dengan batas atas kelas
interval pertama, sehingga garis yang ditarik tegak lurus akan berhimpit.
4). Hal yang sama juga dilakukan pada kelas interval ketiga dan interval-interval
berkutnya. Diperoleh batang–batang yang saling berimpit yang dinamakan
histogram.
5). Apabilatitik–titik tengah sisi atas persegi panjang histogram dihubungkan satu
sama lain dan hubungkan sisi atas pertama dengan setengah jarak dari panjang
kelas yang diukurkan ke kiri batas bawah kelas interval pertama, serta
hubungkan sisi atas terakhir dengan setengah jarak dari panjang kelas yang
diukurkan ke kanan batas atas interval terakhir, maka akan diperoleh poligon
frekuensi.
Contoh 1 :
Misalkan tinggi badan (dalam cm) dari sejumlah siswa baru tahun ajaran
2015/2016 di SMP Hang Tuah diberikan dalam tabel berikut.
Tabel 1. 8Tinggi Badan (Dalam Cm)Sejumlah Siswasmp Hang TuahTahun
Ajaran 2015/2016
Tinggi Badan Banyak Siswa
142 – 144 15
145 – 147 17
148 – 150 25
151 – 153 20
154 – 156 15
156 – 159 12
160 – 162 8
Jumlah 112
Gambarkan Histogram serta poligon frekuensinya
Penyelesaian :
Ada dua cara kita dapat membuat Histogram dan poligon frekuensi dari daftar
distribusi frekuensi di atas, yaitu dengan langkah–langkah sebagai berikut :
1) Pada sumbu tegaknya kita cantumkan bilangan–bilangan untuk nilai
frekuensinya. Untuk menyesuaikan dengan daftar diatas kita tentukan
bilangan – bilangan itu adalah 0, 5, 10, 5, 20 dan 25.

20
2) Pada sumbu datarnya kita bisa cantumkan data tertinggi badan yang diambil
dari titik titik tengah setiap kelas interval (dalam hal ini 143, 146, 149, 152,
155, 158, 161) atau dari batas bawah dan batas atas setiap kelas interval
(141,5 , 144,5 , 147,5 , 150,5 , 153,5 , 156,5 , 159,5 , 162,5), sehingga kita
dapat membuat dua keadaan histogram dan poligon frekuensi.
Bila menggunakan komputer (Exel) maka lakukan langkah-langkah berikut.
1) Blok data
3) Pilih Column sub-menu chart
4) Pilih chart layout yang diinginkan
5) Edit Judul Tabel, Sumbu datar dan Sumbu Tegak sehingga diperoleh grafik
yang diinginkan.
0
5
10
15
20
25
30
142 – 144 145 – 147 148 – 150 151 – 153 154 – 156 156 – 159 160 – 162
BanyakSiswa
Tinggi Badan
Tinggi Badan SIswa SMP Hang Tuah Tahun 2015/2016

21
Untuk memperdalam pengetahuan Anda mengenai materi penyajian data dalam
bentuk diagram, coba selesaikan latihan berikut ini. Dalam mengerjakan aktivitas ini
Anda diharapkan untuk mengisi isian atau menjawab pertanyaan yang diajukan.
Hasil perkerjaan Anda dapat didiskusikan dengan peserta lain atau menanyakan
kepada instruktur.
1. Perhatikan Tabel berikut
Tabel 1. 9Jumlah Siswa SD, SMP, SMA, dan SMKDi Kota ‘F’
Tingkat pendidikan Jumlah siswa
SD 1600
SMP 800
SMA 1400
SMK 1200
Jumlah 5000
a. Diagram apakah yang paling tepat digunakan untuk menggambarkan
jumlah siswa tingkat pendidikan tertentu? Apakah diagram garis,
diagram pencar, diagram lingkaran ataukah diagram batang? Coba
Anda perhatikan tabel di atas dengan cermat. Tabel tersebut
menyajikan banyaknya atau jumlah siswa di suatu tingkat sekolah,
sehingga diagram yang paling sesuai adalah diagram .....................
b. Bagaimana cara membuat digaram batang dari data tabel di atas?
Sebagai sumbu X adalah .......
Sumbu Y menyatakan ........
c. Berapa persentase jumlah siswa SMA di kota “F”?
d. Langkah apa yang haru dilakukan untuk membuat diagram lingkaran

22
2. Perhatikan diagram garis berikut.
Diagram di atas menyajikan jumlah siswa SMP Harapan Kita dari tahun 1980 sampai
tatun 1991
a. Bagaimanakah animo jumlah siswa SMP Harapan Kita?
b. Apa yang dapat dikatakan oleh diagram garis ini?
Bagaimanakah kecendrungan jumlah siswa dari tahun ke tahun ?
c. Apa perbedaan diagram garis dan diagram batang?
d. Kapan diagram garis lebih sesuai digunakan dari pada diagram
batang?
3. Apakah yang Anda ketahui tentang histogram?
4. Langkah apa yang harus dilakukan untuk membuat histogram?
5. Bagaimana cara melukis grafik poligon frekuensi?
6. Misalkan hasil Uajian Akhir Semester mata pelajaran Matematika siswa kelas
VII SMP Harapan Kita diberikan pada tabel berikut.
0
50
100
150
200
250
300
350
JumlahSiswa
Tahun
Jumlah Siswa

23
Hasil Ujian Akhir Semester Banyak Mahasiswa
51 – 55 4
56 – 60 9
61 – 65 11
66 – 70 2
71 – 75 4
76 – 80 7
81 – 85 3
Jumlah 40
a. Pada rentang nilai berapakah yang paling banyak diperoleh oleh siswa?
b. Berapakah banyak siswa yang memperoleh rentang nilai 76 – 80 ?
c. Berapa persen siswa yang mempereoleh nilai di atas 60?
d. Gambarkan histogram dan poligon frekuensinya
Petunjuk : Berilah tanda silang (X) pada jawaban yang paling tepat
1. Data yang paling sesuai digunakanuntuk menggambarkan diagram batang,
adalah :
a. Data diskrit
b. Data kontinu
c. Data kualitatif
d. Data kuantitatif
2. Data yang paling sesuai digunakanuntuk menggambarkan diagram
lingkaran, adalah :
a. Data diskrit
b. Data kuantatif
c. Data kontinu
d. Data kualitatif
3. Andaikan nilai kategori A adalah 22 dan jumlah nilai dari seluruh kategori
adalah 72, maka persentase dan besar sudut dalam derajat dari B itu
masing–masing adalah :
a. 30,6% dan 110,2

24
b. 30,7% dan 110,5
c. 30,5% dan 110,1
d. 30,7% dan 110,6
4. Hal – hal yang perlu diperhatikan dalam menggambarkan histogram di
bawah ini semuanya benar, kecuali :
A. Sumbu datarnya berupa ujung – ujung kelas interval
B. Batang – batangnya saling berimpitan
C. Sumbu datarnya bisa juga titik tengah
D. Sumbu tegaknya berupa frekuensi
5. Hal – hal yang perlu diperhatikan dalam menggambarkan poligon frekuensi
di bawah ini semua benar, kecuali:
A. Sumbu tegaknya berupa frekuensi
B. Batang – batangnya saling berimpitan
C. Sumbu datarnya berupa ujung – ujung kelas interval
D. Sumbu datarnya bisa juga titik tengah
F. Rangkuman
1. Diagram batang adalah diagram yang digambarkan berdasarkan data
berbentuk kategori.
2. Diagram garis adalah diagram yang digambarkan berdasarkan data waktu,
biasanya waktu yang digunakan adalah tahun.
3. Diagram lingkaran adalah cara penyajian data dalam lingkaran sesuai
dengan pengklasifikasian datanya.
4. Histogram adalah grafik yang digambarkan berdasarkan data yang sudah
disusun dalam tabel distribusi frekuensi.
5. Apabila dari histogram, tengah – tengah tiap sisi atas dihubungkan satu
sama lain dan hubungkan sisi atas pertama dengan setengah jarak dari
panjang kelas yang diukukan ke kiri batas bawah kelas interval pertama,
serta hubungkan sisi atas terakhir dengan setengah jarak dari panjang
kelas yang diujurkan ke kanan, batas atas kelas interval terakhir, maka
akan diperoleh poligon frekuensi.

25
Setelah Anda menyelesaikan soal-soal yang diberikan, periksalah kembali jawaban
Anada. Cocokkan jaaban Andadengan kunci jawaban yang terdapat di bagian akhir
modul ini.Hitunglah jumlah jawaban Anda yang benar, kemudian gunakan rumus di
bawah ini untuk mengetahui tingkat penguasaan Anda.
Tingkat Penguasaan = x 100 %
Arti tingkat penguasaan yang Anda capai :
90 % - 100 % = baik sekali
80 % - 89 % = baik
70 % - 79 % = sedang
0 % - 69 % = kurang
Bila tingkat penguasaan Anda 80 % ke atas, maka Anda dapat meneruskan dengan
kegiatan belajar berikutnya. Akan tetapi bila tingkat penguasaan Anda kurang dari
80 % Anda harus mengulangi kegiatan belajar, terutama bagian yang belum Anda
kuasai.

27
UKURAN PEMUSATAN DAN UKURAN PENYEBARAN
A. Tujuan
Setelah mempelajari kegiatan pembelajaran 1, Anda diharapkan mampu:
1. menentukan mean data tunggal dan data kelompok
2. menentukan median data tunggal dan data kelompok
3. menentukan modus data tunggaldan data kelompok
4. menentukanukuran penyebaran data tunggaldan data kelompok
Guru mampu
1. menentukan mean data tunggal dan data kelompok
2. menentukan median data tunggaldan data kelompok
3. menentukan modus data tunggal dan data kelompok
4. menentukan ukuran penyebaran data tunggal dan data kelompok
C. Uraian Materi
1. Ukuran Pemusatan
Ukuran pemusatan sering digunakan untuk memberikan informasi singkat dari
suatu kumpulandata. Rata-rata nilai ulangan bahasa Indonesia siswa kelas VII di
suatu kelas atau rata-rata kepemilikan sepeda motor setiap keluarga di suatu desa
merupakan suatu contoh ukuran pemusatan data.
Ukuran pemusatan data merupakan ukuran numerik yang mempunyai
kecenderungan terletak di tengah-tengah data. Suatu data biasanya mempunyai
kecenderungan untuk terkonsentrasi atau terpusat pada ukuran pemusatan ini.
MenurutNugroho Budiyuwono dalam bukunya “Pelajaran Statistik untuk SMEA dan
Sederajat,salah satu kegunaan ukuran pemusatan ini adalah untuk membandingkan
suatu kelompok data dengan kelompok data yang lain. Ukuran pemusatan data yang

28
sering digunakan adalah mean(rata-rata), median, dan modus. Masing-masing
ukuran pemusatan mempunyai keunggulan, kelemahan dan ketepatan
penggunaannya tergantung kepada sifat dari data dan tujuannya.
Menurut Iryanti dalam ”Pembelajaran Matematika SMA” bahwa mean, median dan
modus memiliki pengertian yang sama tetapi dipergunakan dalam konteks yang
berbeda-beda. Mungkin jika Anda pernah membaca surat kabar yang melaporkan
bahwa ”rata-rata kehilangan barang di daerah padat kos di suatu daerah ”X” adalah
kehilangan laptop. Berarti kata ”rata-rata” disini bermakna sebagai yang paling
sering terjadi disebut modus. Jika seorang siswa mengatakan bahwa nilai rata-rata
dari 5 ulangan bahasa Indonesia adalah 7,5. Berarti makna dari kata ”rata-rata”
disini adalah mean. Jika seorang ibu mengatakan bahwa prestasi anaknya itu ”rata-
rata” saja atau ”sedang-sedang” saja. Berarti makna kata ”rata-rata” disini
ditafsirkan sebaga median. Jadi perlu dipahami dalam kehidupan sehari-hari, jika
ada orang mengatakan ”rata-rata” maka harus diperhatikan konteks yang sedang
dibicarakan karena mungkin saja yang dimaksud, mean, median atau modus.
Mean dapat digunakan ketika pada data terdapat nilai-nilai ekstrim yang besar
maupun nilai-nilai yang kecil hampir tidak ada dalam arti nilai data banyak berada
ditengah-tengah. Untuk data kategori (berskala nominal/ordinal) tidak dapat
ditentukan nilai meannya.
Sedangkan median lebih cocok digunakan apabila data yang ada memiliki nilai yang
berbeda-beda secara signifikan dalam arti data mempunyai banyak nilai ekstrim.
Median sangat cocok digunakan pada data seperti itu karena tidak terpengaruh oleh
perbedaan nilai data yang besar, karena median adalah nilai yang terletak ditengah-
tengah setelah data diurutkan. Selanjutnya untuk modus lebih cocok digunakan
untuk data kategori yaitu data nominal atau data ordinal. Data kategori adalah data
yang bukan angka. Data nominal artinya tidak ada urutan yang lebih tinggi antara
satu dengan yang lainnya. Sedangkan data ordinal adalah data kategori yang bisa
diurutkan.

29
a. Mean
1).Mean data tunggal
Dalam waktu 15 hari sebuah toko dapat menjual wafer (dalam bungkus)
8 13 9 8 7 4 5 5
7 4 5 9 10 6 5
Berapa rata-rata wafer terjual perharinya ?
Rata-rata =
15
56109547554789138 
=
15
105
= 7
Jadi rata-rata wafer perharinya terjual sebanyak 7 bungkus
Mean =
n
xxx n ...21
atau
n
x
x
n
i
i
 1
_
, dengan 
n
i
ix
1
= jumlah nilai data
n = banyak data, = data ke-
2). Mean data yang disajikan dalam tabel distribusi frekuensi
Ada lima(5) orang yang berpenghasilan Rp 3.000.000,00, tiga(3) orang
berpenghasilanRp 2.500.000,00 dan dua(2) orang yang berpenghasilan Rp
2.000.000,00 perbulannya. Berapa rata-rata penghasilan mereka perbulannya?
Tabel 2. 1 Tabel penghasilan dari data di atas
Penghasilan ( ) Frekuensi ( )
3.000.000 5 15.000.000
2.500.000 3 7.500.000
2.000.000 2 4.000.000
Dengan menggunakan rumus rata-rata =




 n
i
i
n
i
ii
f
xf
x
1
1
_
maka diperoleh hasil
sebagai berikut = .

30
Rata-rata penghasilan mereka perbulannya adalah Rp 2.650.000,00.
Perhatikan contoh berikut ini.
Delapan orang di suatu RT di desa tertentu, penghasilannya setiap bulan adalah
dalam jutaan rupiah sebagai berikut:
Tabel 2. 2Tabel penghasilan setiap bulan dari 8 orang di suatu RT
Nama Penghasilan(juta rupiah)
Pak Amin 2
Pak Beni 2
Pak Catur 3
Pak Didik 3
Pak Emon 3
Pak Fauzi 3
Pak Gatot 3
Pak Hary 41
Rata-rata penghasilan delapan orang tersebut adalah
= 7,5
Jadi rata-rata penghasilan delapan orang tersebut adalah 7,5 juta rupiah.
Dengan menggunakan rumus mean penghasilan delapan orang tersebut kurang
mewakili 7 orang yang penghasilannya 3 juta rupiah kebawah. Disini terjadi jarak
penghasilan yang ekstrim. Untuk kasus pada contoh di atas sebaiknya tidak
digunakan nilai mean sebagai wakil dari delapan orang tersebut, tetapi sebaiknya
digunakan median sebagai wakil dari delapan orang tersebut.Dengan alasan
menggunakan median lebih mewakili penghasilan dari 8 orang di suatu RT tersebut.
Mean data yang disajikan dalam tabel distribusi frekuensi tunggal, dengan
menggunakan rumus berikut ini:




 n
i
i
n
i
ii
f
xf
x
1
1
_
dengan fi adalah frekuensi untuk
nilai xi dan xi adalah data ke-i
3). Mean data yang disajikan dalam tabel distribusi frekuensi kelompok dapat dicari
dengan menggunakan cara langsung atau dengan menggunakan rata-rata
sementara

31
a). menggunakan cara langsung
Tentukan mean dari nilai matematika 30 siswa kelas IX dalam tabel 2(3) berikut
Nilai Matematika Frekuensi (fi) Titik tengah interval kelas (xi)
40 – 49 4 44,5 178
50 – 59 6 54,5 327
60 – 69 10 64,5 645
70 – 79 4 74,5 298
80 – 89 4 84,5 338
90 – 99 2 94,5 189

6
1i
if =30 
6
1i
ii xf
=1975
Mean = 65,8
30
1975





n
i
i
n
i
ii
f
xf
x
1
1
_
Rumus mean =




 n
i
i
n
i
ii
f
xf
x
1
1
_
, dengan fi adalah frekuensi untuk nilai xi dan xi adalah
titik tengah interval kelas ke-i.
b). Dengan menggunakan rata-rata sementara
Menentukan mean dengan menggunakan rata-rata sementara digunakan rumus:
Mean = T +


i
i
i
i
i
f
sf
dengan T adalah rata-rata sementara dan 
n
i
ii xf
1
adalah
jumlah frekuensi  simpangan
Langkah mencari mean dengan rata-rata sementara adalah sebagai berikut:
 Tentukan rata-rata sementara misal T
 Tentukan simpangan si dari rata-rata sementara

32
 Tentukan mean yaitu T +


i
i
i
i
i
f
sf
b. Median
1). Median untuk data tunggal
Median adalah nilai tengah pada suatu kumpulan data yang telah disusun dari
nilaiterkecil hingga nilai terbesar. Median suatu data akan membagi data menjadi
dua(2) bagian yang sama artinya 50 % dari data terletak diatas median sedangkan
50 % lainnya berada di bawah median. Median juga disebut sebagai ukuran letak
karena letaknya membagi data menjadi dua(2) bagian.
Untuk menentukan median dari data tunggal dilakukan dengan cara:
a). Urutkan data dari kecil ke besar, kemudian dicari nilai tengahnya
Misalkan banyak data adalah n.
Jika n adalah bilanganganjil, maka median adalah nilai dari data yang terletak pada
posisi di tengah yaitu data ke .
Jika n adalah bilangan genap, maka median adalah rata-rata dari dua data yang
terletak pada posisi paling tengah, yaitu rata-rata dari data ke- dan data ke-
b). Jika banyak data besar, setelah diurutkan digunakan rumus seperti berikut ini:
 Untuk n ganjil Me =
)1(
2
1
n
x
 Untuk n genap Me =
2
1
22

 nn xx
Tentukan median dari data yang terdapat dalam tabel 2(4) berikut
Nilai 2 3 4 5 6 7 8 9
Frekuensi 4 4 6 8 12 6 7 3
Penyelesaian:
Banyaknya data n = 50 (genap), dan karena data dalam tabel sudah urut untuk
mencari median digunakan rumus: Me =
2
1
22

 nn xx

33
Sehingga diperoleh:
2
2625 xx 
=
2
66 
= 6
Median adalah suatu nilai tengah dari data yang telah diurutkan. Median
dilambangkan dengan Me.
Jadi cara menafsirkan mediannya 6adalah setelah datadiurutkan mulai dari nilai
terkecil maka 50 % dari data nilai tertingginya adalah 6 atau 50 % dari data nilai
terendahnya adalah 6.
2). Median untuk data kelompok
Salah satu cara untuk menentukan median data yang sudah dikelompokkan dengan
menggunakan histogram. Misal median dilambangkan dengan A yaitu setengah dari
jumlah frekuensi. Kelas tempat dimana median terletak dinamakan kelas median.
Perhatikan gambar histogram berikut.
A = median
L = tepi bawah kelas median
Persegi panjang yang diarsir mewakili frekuensi dengan:
Jumlah luas persegi panjang warna abu-abu = fk(jumlah frekuensi sebelum kelas
median).
L
Frekuensi
A
Kelas Median
Nilai
x

34
Jumlah luas persegi panjang warna abu-abu ditambah dengan luas persegi panjang
yang diarsir adalah =
2
1
n (setengah dari jumlah frekuensi)
Luas persegi panjang yang diarsir adalah
2
1
nfk
Dengan demikian median = L + LA = L+ x
Kelas median mempunyai frekuensi fmed dan panjang interval kelas i.
Jadi,
med
k
f
fn
i
x

 2
1
x = i
f
fn
med
k
)2
1
(

Jadi rumus median adalah:
Me = i
f
fn
L
med
k
).2
1
(


L = tepi bawah kelas median
n = jumlah frekuensi
fk = jumlah frekuensi sebelum kelas median
fmed= frekuensi kelas median
i = panjang interval kelas

35
Contoh
Tentukan median dari data 30 nilai matematika siswa kelas X dalam tabel 2(5)
berikut.
Nilai Matematika Frekuensi (fi)
40 – 49 4
50 – 59 6
60 – 69 10
70 – 79 4
80 – 89 4
90 – 99 2

6
1i
if =30
Penyelesaian
Setengah dari seluruh data (30) = 15. Jadi median akan terletak di kelas 60 – 69.
Oleh karena itu kelas median adalah kelas 60- 69.
Untuk tabel soal di atas
L = tepi bawah kelas median = 59,5
n = jumlah frekuensi= 30
fk = jumlah frekuensi sebelum kelas median = 4 + 6 = 10
fmed = frekuensi kelas median = 10
i = panjang interval kelas= (69 – 60) + 1 = 10
Me = i
f
fn
L
med
k
).2
1
(

 = 59,5 + 10).
10
1015
(

= 59,5 + 5 = 64,5

36
c. Modus
1). Modus dari data tunggal
Modus adalah nilai dari data yang mempunyai frekuensi tertinggi. Modus
dilambangkan dengan Mo. Jika suatu data mempunyai satu modus disebut unimodus
dan bila memiliki dua modus disebut bimodus, sedangkan jika memiliki lebih dari
dua modus disebut multimodus.
Modus tidak dihitung dari keseluruhan nilai data, seperti dalam menentukan
mean(rata-rata). Misalkan jika terdapat 5 nilai data yaitu 2, 4, 7, 7, 8. Modusnya
adalah 7. Jumlah nilai data bukan 7 X 5 = 35, melainkan .
Modus tidak dipengaruhi oleh nilai data yang ekstrim. Misal dari 5 data di atas
diubah bilangan 8 menjadi 500 sehingga 5 data menjadi 2, 4, 7, 7, 500 maka
modusnya juga 7.
Di dalam menggunakan modus sebagai interpretasi kepentingan, diperlukan
pertimbangan yang matang.
Contoh:
Tabel 2(6)
Tabel berikut ini adalah data nilai ulangan Bahasa Inggris dari 30 siswa kelas X:
Nilai Ulangan Bahasa Inggris Frekuensi
4 4
5 10
6 14
7 6
8 6
9 6
Berdasarkan tabel di atas, nilai ulangan bahasa Inggris yang mempunyai
frekuensitertinggi adalah nilai 6.
Jadi modus dari data nilai ulangan bahasa Inggris 30 siswa kelas X adalah 6

37
2). Modus dari data yang sudah dikelompokkan
Perhatikan histogram diatas. Tinggi persegi panjang frekuensi (f) dan lebarnya
menyatakan panjang interval kelas (i).
Persegi panjang yang paling tinggi adalah kelas modus karena frekuensinya
tertinggi. Kelas ini mempunyai tepi bawah kelas L dan modus data (Mo) dihitung
sebagai berikut:
Mo = L + x = L + EF.
Untuk mecari nilai EF perhatikan dua segitiga sebangun ABF dan DCF.
AB = frekuensi kelas modus – frekuensi kelas sebelum kelas modus = d1
CD = frekuensi kelas modus - frekuensi kelas setelah kelas modus = d2
EF + FG = i
AB
EF
=
CD
FG

1d
EF
=
2
)(
d
EFi 
d2 EF = d1(i – EF)
 (d1+d2) EF = d1 i
Frekuensi
NilaiL Mo
B C
A
D
F GE
x

38
 EF = i
dd
d
).(
21
1

Sehingga diperoleh, Mo = L + x = L + EF = L + i
dd
d
).(
21
1

dengan,
Mo = modus
L = tepi bawah kelas modus
d1 = selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sebelumnya
d2 = selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sesudahnya
i = panjang interval kelas
Contoh
Tentukan modus dari 30 nilai matematika siswa kelas X dalam tabel 2(7)berikut.
40 – 49 4
50 – 59 6
60 – 69 10
70 – 79 4
80 – 89 4
90 – 99 2

6
1i
if =30
Penyelesaian:
Kelas modus adalah kelas yang mempunyai frekuensi tertinggi, yaitu kelas 60 – 69
L = tepi bawah kelas modus = 59,5
d1 = selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sebelumnya= 10 – 6 = 4
d2 = selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sesudahnya = 10 -4 = 6
i = panjang interval kelas = 10
Modus = L + i
dd
d
).(
21
1

= 59,5 + 10).
64
4
(

= 59,5 + 4 = 63,5

39
Contoh
Tentukan modus dari 30 nilai matematika siswa kelas X dalam tabel 2(8)berikut.
40 – 49 2
50 – 59 4
60 – 69 10
70 – 79 10
80 – 89 3
90 – 99 1

6
1i
if =30
Penyelesaian
Karena terdapat dua(2) kelas yang mempunyai frekuensi tertinggi maka dapat
dipilih salah satu kelas modul. Kelas modus adalah kelas yang mempunyai frekuensi
tertinggi. Misal diambil kelas modusnya adalah kelas60 – 69
d2 = selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sesudahnya = 10 - 10 = 0
Modus = L + i
dd
d
).(
21
1

= 59,5 + 10).
06
6
(

= 59,5 + 1 = 69,5.
Apabila kita ambil kelas modusnya adalah kelas 70 – 79, maka
d2 = selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sesudahnya = 10 - 3 = 7
Modus = L + i
dd
d
).(
21
1

= 69,5 + 10).
70
0
(

= 69,5 + 0 = 69,5.
Ternyata diperoleh kelas modusnya adalah sama yaitu 69,5 walaupun diambil kelas
modus 60 – 69 maupun kelas modus 70 – 79

40
2. Ukuran Penyebaran
Ukuran penyebaran memberikan gambaran seberapa besar data individual
menyebar terhadap ukuran pemusatannya. Data yang bersifat homogen akan
mempunyai penyebaran(dispersi) yang kecil, sedang data yang bersifat heterogen
penyebarannya akan lebih besar.
Kegunaan dari ukuran penyebaran adalah untuk menentukan apakah suatu nilai
rata-rata dapat mewakili suatu kelompok data atau tidak. Untuk itu dapat dlihat
besarnya penyebaran. Macam-macam ukuran penyebaran diantaranya jangkauan
(range/rentang), simpangan baku(deviasi standar), ragam(variansi) dan
simpangan kuartil.
a. Jangkauan (range/rentang)
1) Jangkauan data tunggal
J = nilai data terbesar nilai data terkecil
Jangkauan merupakan ukuran penyebaran yang paling sederhana dari ukuran
penyebaran yang lainnya. Nilai jangkuan ini berguna dengan baik untuk data yang
ukurannya kecil.
Misal diberikan suatu pengujian dua merek kompor gas A dan B untuk mengetahui
berapa lama ketahanan sparepart(onderdil) dari setiap merek. Dimana dilakukan
pengujian lima kompor gas setiap merek. Diperoleh data pengamatan(dalam
bulanan) sebagai berikut:
Merek A
(bulan)
Merek B
(bulan)
12 30
30 35
50 50
40 45
62 25
Kompor gas merek A memiliki jangkauan = 62- 12= 50. Sedangkan kompor gas
merek B memiliki jangkauan = 50 – 25 =25. Dari penghitungan jangkauan dari
kompor gas merek A dan kompor gas merek B, dapat ditafsirkan bahwa kompor gas
merek A memuliki ukuran penyebaran yang tidak lebih baik dari pada kompor gas
merek B.

41
2) Jangkauan dari data yang dikelompokkan
Untuk data yang dikelompokkan nilai jangkauan dapat dihitung dengan dua cara
 Cara pertama
= nilai titik tengah kelas tertinggi – nilai titik tengah kelas
terendah
 Cara kedua
= batas atas kelas tertinggi – batas bawah kelas terendah
Contoh:
Tentukan jangkauan dari data 30 nilai matematika siswa kelas X dalam tabel
2(9) berikut:
40 – 49 4
50 – 59 6
60 – 69 10
70 – 79 4
80 – 89 4
90 – 99 2
Penyelesaian:
 Cara pertama
Titik tengah kelas terendah = 45,5
Titik tengah kelas tertinggi = 95,5
= 95,5  45,5 = 50
 Cara kedua
b. Simpangan baku(deviasi standar)
Suatu kelompok data dikatakan homogen atau tidak bervariasi kalau semua nilai
dari kelompok tersebut sama dan dikatakan sangat heterogen kalau nilai-nilaidari
kelompok data tersebut sangat berbeda satu sama lain. Untuk mengukur tingkat
homogenitas atau tingkat variasi tersebut digunakan simpangan baku. Sehingga
simpangan baku dapat dipergunakan untuk membandingkan suatu kumpulan data
dengan kumpulan data lainnya. Simpangan baku dilambangkan dengan .

42
Untuk memberikan gambaran tentang simpangan baku, perhatikan contoh berikut
ini:
Terdapat 3 kelompok karyawan suatu perusahaan dimana adalah gaji dalam juta
rupiah.
Karyawan Besarnya Gaji
Kelompok I
(
Besarnya Gaji
Kelompok II
(
Besarnya Gaji
Kelompok III
(
A 5 6 10
B 5 5 2
C 5 4 1
D 5 3 4
E 5 7 8
Jumlah 25 25 25
Rata-rata 5 5 5
Walaupun rata-rata gaji karyawan dari kelompok I, II dan III masing-masing
kelompok adalah sebesar 5 juta rupiah, akan tetapi rata-rata dari kelompok I
mewakili kelompok I dengan sempurna, sedangkan rata-rata kelompok II agak
mewakili dengan cukup sebab nilai gaji mendekati 5 juta rupiah dan rata-rata
kelompok III tidak mewakili kelompok tersebut. Nilai rata-rata sangat dipengaruhi
nilai ekstrim(besar sekali atau kecil sekali).
Untuk melihat tingkat homogen dari kelompok data tersebut, dihitung dengan
menggunakan simpangan baku.
1). Simpangan baku data tunggal dirumuskan:
n
xx
s
n
i
i

 1
2
_
)(
atau 2
2
1
_
1
2
)()(
n
xxn
s
n
i
n
i
i  


dengan xi = data ke-i
https://www.google.co.id/search?hl=id&site..
Kelompok I Kelompok II Kelompok III

43
2). Simpangan baku dari data yang dikelompokkan dirumuskan
n
xx
s
n
i
i

 1
2
_
)(
atau 2
1
2
1
2
)()(
n
xxn
s
n
i
i
n
i
i  


dengan xi = titik tengah interval kelas i
Diantara ukuran peyebaran yang paling banyak digunakan adalah simpangan baku.
Jika suatu data sangat bervariasi dalam arti nilai-nilai dalam data tersebut cukup
jauh dari meannya maka akan dihasilkan simpangan baku yang relatif cukup besar.
Simpangan baku dan mean sering digunakan untuk membandingkan dua obyek,
yang dimuat dalam suatu rumus yang disebut angka baku(z-score).
–
Perhatikan contoh berikut ini
Andi mendapat nilai fisika 84 dan nilai matematika 73. Nilai rata-rata ulangan fisika
75 dengan simpangan baku 10. Nilai rata-rata ulangan matematika adalah 65
dengan simpangan baku 9. Pada mata pelajaran mana kedudukan Andi lebih baik
Penyelesaian untuk menafsirkan permasalahan tersebut di atas dihitung
= 0,9
Karena  maka Andi lebih baik pada mata pelajaran fisika dari pada mata
pelajaran matematika
c. Ragam atau variansi
Ragam atau variansi dilambangkan dengan s2
1). Ragam atau variansi data tunggal, dirumuskan:
2
1 1
22
2
)()(
n
xxn
s
n
i
n
i
ii  

 atau
n
xx
s
n
i
i
2
1
_
2
)(


dengan xi = data ke-i

44
2). Ragam atau variansi dari data yang sudah dikelompokkan, dirumuskan
2
1 1
22
2
)()(
n
xxn
s
n
i
n
i
ii  

 atau
n
xx
s
n
i
i
2
1
_
2
)(


dengan xi = titik tengah interval kelas i
Pada bagian aktivitas ini, para peserta diklat akan menyelesaikan aktivitas
pembelajaran berupa lembar kegiatan (LK) yang memberikan pengalaman belajar
untuk memahami materi di atas. Untuk membantu menyelesaikan LK bacalah
bahan uraian materiapabila dirasa masih kurang dapat menambah dengan sumber
belajar yang ada di lingkungan bapak/ibu.
LK-1
Nilai rata-rata ulangan matematika 15 siswa adalah 6,6. Bila nilai Dinda disertakan,
maka nilai rata-ratanya menjadi 6,7. Nilai Dinda dalam ulangan matematika tersebut
adalah ...
LK-2
Perhatikan tabel berikut
Nilai Frekuensi
5
6
7
8
9
10
2
4
6
7
5
1
Median dari data pada tabel adalah…
LK-3
Data nilai ulangan matematika beberapa siswa sebagai berikut: 64, 67, 55, 71, 62,
67, 71, 67, 55, 55, 64
Modus dari data tersebut adalah ....

45
LK-4
Tentukan modus dari tabel distribusi frekuensi berikut
Nilai
Ulangan
Matematika
Frekuensi
38-42 3
43-47 5
48-52 10
53-57 15
58-62 5
63-67 2
Jumlah 40
LK-5
Rata-rata nilai ulangan matematika dari 10 siswa adalah 6,25. Jika nilai Elma
ditambahkan rata-ratanya menjadi 6,4. Tentukan nilai Elma?
LK-6
Rata-rata nilai ulangan matematika di kelas IX B adalah 6,1. Karena pandai, salah
seorang siswa memilki nilai matematika 8, dipindah ke kelas IX A.Rata-rata nilai
ulangan matematika di kelas IX B sekarang adalah 6. Berapakah banyaknya siswa di
kelas IX B sebelum siswa yang pandai dipindah ?
LK-7
Suatu data memiliki rata-rata 16 dan jangkauan 6. Jika setiap nilai di dalam data tsb
dikalikan q, kemudian dikurangi p maka diperoleh data baru dengan rata-rata 20
dan jangkauannya 9. Tentukan nilai 2p+q.
LK-8
Carilah dari berbagai sumber belajar kelebihan dan kelemahan dari mean.

46
LK-9
Carilah dari berbagai sumber belajar kelebihan dan kelemahan dari median.
LK-10
Carilah dari berbagai sumber belajar kelebihan dan kelemahan dari modus.
LK-11
Dapatkah terjadi nilai mean sama dengan nilai median sama dengan nilai modus.
Jelaskan.
LK-12
Jika seseorang berbicara nilai yang rentangnya dari 0 sampai dengan 100 bagaimana
menafsirkan jangkauannya adalah 65?
LK-13
Tentukan modus dari tabel distribusi frekuensi berikut
Nilai Ulangan
Matematika
Frekuensi
38-42 3
43-47 5
48-52 10
53-57 15
58-62 5
63-67 2
Jumlah 40
LK-14
Diketahui berat badan 40 siswa dalam kg adalah sebagai berikut ini.
45 65 50 55 45 65 50 45 55 65
50 50 45 50 55 50 55 55 60 55
55 55 50 55 50 45 45 60 65 50
60 65 55 45 65 65 65 60 45 50

47
a. Buatlah tabel distribusi frekuensinya
b. Tentukan modus, median dan rata-ratanya kemudian bandingkan ketiga nilai ini.
LK-15
Diketahui data 21, 20, x, 32, 26, 27, y, 21, 23, 27. Modus data tersebut adalah 27 dan
median adalah 25. Jika x < y , maka nilai x adalah ....
Bacalah kegiatan di bawah ini kemudian kerjakan tugasnya. Untuk membantu
menyelesaikannya lihat pada uraian materi.
1. Diketahui data 22, 20, 32, 26, 27, 22, 23, 27, dan y. Diketahui pula bahwa modus
data tersebut adalah 27 dan median adalah 25. Tentukan nilai x dan y jika xy.
2. Bilangan-bilangan 6, 8, a, 6, b, c, 4 memiliki rata-rata 5 dan modus Carilah nilai-
nilai dari a, b, dan c, kemudian tentukan median dari ke tujuh bilangan itu
3. Dari data nilai matematika 30 siswa kelas X dalam tabel di bawah ini, akan
dicari mean(rata-rata) dengan menggunakan rata-rata sementara.
40 – 49 2
50 – 59 5
60 – 69 10
70 – 79 6
80 – 89 4
90 – 99 3
Jumlah 30
4. Diketahui bilangan-bilangan 10, 3, , 4, 10, , 4, 12 memiliki nilai rata-rata 7.
Tentukan nilai , Jika modus dari bilangan-bilangan itu adalah 4 serta
tentukan dan mediannya.
F. Rangkuman
Ukuran pemusatan data adalah suatu nilai yang dapat mewakili data tersebut. Suatu
data biasanya mempunyai kecenderungan untuk terkonsentrasi atau terpusat pada

48
nilai pemusatan ini. Ukuran statistik yang menjadi pusat dari data dan dapat
memberikan gambaran singkat tentang data disebut ukuran pemusatan data.
Ukuran pemusatan data diantaranya adalah mean(rata-rata), median dan modus.
Ukuran penyebaran memberikan gambaran seberapa besar data menyebar dari titik
pemusatan. Ukuran penyebaran yang dibahas dalam modul ini meliputi jangkauan
(range/rentang), simpangan baku(deviasi standar),dan ragam(variansi).
G. Umpan Balik dan Tindak lanjut
Dalam skala 0-100, kriteria penilaian keberhasilan Anda mengerjakantugas
kegiatan pembelajaran 1 sebagai berikut.
Nomor Soal Kriteria Skor
1. Benar dalam menentukan nilai dan 4
2. Benar dalam menentukan nilai serta nilai
median
9
3. Benar dalam menentukan rata-rata sementara 6
4. Benar dalam menentukan serta median 8
Nilai
Anda dinyatakan tuntas mengikuti kegiatan pembelajaran 1, apabila memperoleh
nilai lebih dari 80. Jika Anda telah mencapai nilai minimal ketuntasan ini, silahkan
melanjutkan ke kegiatan pembelajaran 1. Jika Anda belum mencapainya, jangan
menyerah dan teruslah berusaha. Silahkan mengidentifikasi kesulitan Anda
kemudian mencari penyelesaiannya dengan membaca ulang modul ini, bertanya
kepada fasilitator, rekan sejawat di MGMP, atau mencari literatur lain.

49
PELUANG SUATU KEJADIAN
A. Tujuan
Setelah mempelajari kegiatan pembelajaran ini, Anda diharapkan mampu
menentukan peluang suatu kejadian dari suatu percobaan.
Indikator pencapaian kompetensi pada Kegiatan Pembelajaran ini adalah pembaca
mampu:
1. Menentukan ruang sampel suatu percobaan.
2. Menentukan contoh kejadian suatu percobaan.
3. Menentukan peluang suatu kejadian dengan pendekatan frekuensi relatif.
4. Menentukan peluang suatu kejadian dengan pendekatan teori klasik.
C. Uraian Materi
Pengantar peluang
Teori peluang merupakan dasar dari teori statistika. Teori peluang muncul dari
inspirasi para penjudi yang berusaha mencari informasi bagaimana kesempatan
mereka untuk memenangkan suatu permainan judi. Girolamo Cardano (1501-
1576), adalah orang pertama yang menuliskan analisis matematika dari masalah-
masalah dalam permainan judi. Dasar-dasar teori peluang modern berasal dari
penelitian Blaise Pascal dan Pierre de Fermat. Kemudian muncullah teori peluang
dari kedua orang tersebut.
Walapun teori peluang awalnya lahir dari masalah peluang memenangkan
permainan judi, tetapi teori ini segera menjadi cabang matematika yang digunakan
secara luas. Teori ini meluas penggunaannya dalam bisnis, meteorologi, sains, dan
industri. Misalnya perusahaan asuransi jiwa menggunakan peluang untuk menaksir

50
berapa lama seseorang mungkin hidup; dokter menggunakan peluang untuk
memprediksi kesuksesan sebuah pengobatan; ahli meteorologi menggunakan
peluang untuk kondisi-kondisi cuaca; peluang juga digunakan untuk memprediksi
hasil-hasil sebelum pemilihan umum; peluang juga digunakan PLN untuk
merencanakan pengembangan sistem pembangkit listrik dalam menghadapi
perkembangan beban listrik di masa depan, dan lain-lain.
Pengertian ruang sampel, titik sampel, dan kejadian
Peluang suatu kejadian adalah angka yang menunjukkan seberapa besar kemungkinan
suatu kejadian akan terjadi. Nilai peluang yang rendah menunjukkan bahwa kemungkinan
suatu peristiwa akan terjadi sangat kecil. Sebaliknya jika nilai peluang tinggi (mendekati
1) maka kemungkinan besar suatu peristiwa akan terjadi.
Konsep peluang berhubungan dengan pengertian percobaan yang memberikan “hasil”
yang berkemungkinan (tidak pasti). Artinya percobaan yang dilakukan berulang-ulang
dalam kondisi yang sama akan memberikan “hasil” yang mungkinberbeda-beda.
Percobaan diartikan sebagai prosedur yang dijalankan pada kondisi tertentu, dimana
prosedur tersebut dapat diulang-ulang sebanyak mungkin pada kondisi yang sama.
Contoh.
1. Percobaan : Melempar sebuah dadu satu kali.
Hasil yang diamati : Banyaknya mata dadu yang tampak di atas.
Ruang sampel :
Titik sampel : 1, 2, 3, 4, 5, 6.
Definisi
a. Ruang sampel adalah himpunan semua hasil yang mungkin dari suatu
percobaan. Ruang sampel ditulis dengan lambang S.
b. Elemen dari ruang sampel dinamakan titik sampel.
c. Kejadian adalah himpunan bagian suatu ruang sampel. Kejadian ditulis
dengan lambang A, B, C, …..
d. Kejadian sederhana adalah kejadian yang hanya memuat satu titik
sampel sedang kejadian majemuk adalah kejadian yang memuat lebih
dari satu titik sampel.

51
Jika menunjukkan kejadian muncul mata dadu 1, maka .
Jika menunjukkan kejadian muncul mata dadu genap, maka .
, dan merupakan kejadian sederhana, sedangkan merupakan kejadian
majemuk.
2. Percobaan : Melempar sebuah dadu satu kali.
Hasil yang diamati : Banyaknya mata dadu yang tampak di atas
adalah genap atau ganjil.
Ruang sampel :
Titik sampel : genap, ganjil.
3. Percobaan : Melambungkan mata uang logam1 kali.
Hasil yang diamati : Sisi mata uang yang tampak di atas.
Ruang sampel : .
Titik sampel : .
Jika menunjukkan kejadian tampak sisi angka, maka
Jika menunjukkan kejadian tampak sisi gambar, maka .
4. Percobaan: Melambungkan dua buah uang logam 1 kali.
Hasil : Sisi mata uang yang tampak di atas.
Hasil yang mungkin muncul dapat dinyatakan dengan cara:
a. Dengan diagram pohon.
Ruang sampel :
Titik sampel : AA, AG, GA, GG
Uang logam 1
awal
AA
Hasil yang
mungkin
A
A
G
A
G
G
AG
GA
GG
Uang logam 2

52
Uang logam 1
Uang logam 2
Jika menunjukkan kejadian muncul sisi angka minimal satu kali, maka
Jika menunjukkan kejadian muncul sisi angka tepat satu kali, maka
dan merupakan kejadian majemuk
b. Dengan tabel.
AA AG
GA GG
Ruang sampel :
Titik sampel :
Semua kejadian merupakan himpunan bagian dari ruang sampel suatu percobaan
termasuk seluruh ruang sampelnya dan himpunan kosong , yaitu himpunan yang
tidak mempunyai elemen. dinamakan kejadian yang pasti karena selalu terjadi
sedangkan kejadian yang tidak mungkin, karena tidak mungkin terjadi.Kejadian-
kejadian baru dapat dibentuk dari kejadian-kejadian yang sudah ada dengan
menggunakan tiga operasi antar himpunan yaitu gabungan (union), irisan
(interseksi), dan komplemen, yang timbul dari penggunaan kata-kata “atau”, “dan”,
dan “tidak”.
Definisi
a. Gabungan (union) dua kejadian dan , ditulis adalah himpunan
semua elemen yang ada di dalam atau di dalam
b. Irisan (interseksi) dua kejadian dan , ditulis , adalah himpunan
semua elemen yang ada di dalam dan di dalam .
c. Komplemen suatu kejadian , ditulis adalah himpunan semua elemen
yang tidak di dalam .

53
Contoh:
1. Percobaan: Melempar sebuah dadu satu kali.
Hasil : Banyaknya mata dadu yang tampak di atas
Ruang sampel :
Jika dan maka
Disini menunjukkan kejadian muncul mata dadu 1 atau mata dadu 2.
2. Percobaan: Melambungkan dua buah uang logam 1 kali
Hasil : Sisi mata uang yang tampak di atas
Ruang sampel : {AA, AG, GA, GG}
menunjukkan kejadian muncul sisi angka minimal satu kali atau
{AA, AG, GA}
menunjukkan kejadian muncul sisi gambar minimal satu kali, atau
{AG, GA, GG}
Maka
Disini menunjukan kejadian muncul sisi angka minimal satu kali dan
muncul sisi gambar minimal1 kali.
3. Percobaan: Melempar sebuah dadu satu kali.
Ruang sampel :
Titik sampel : 1, 2, 3, 4, 5, 6
menunjukkan kejadian muncul mata dadu ganjil atau
Maka .
Disini menunjukkan kejadian muncul mata dadu genap.
Dua kejadian yang tidak beririsan dikatakan saling lepas.
Contoh.
Percobaan : Melempar sebuah dadu satu kali.
Definisi
Dua kejadian dan adalah saling lepas jika

54
Ruang sampel :
Jika dan maka
Disini kejadian dan saling lepas.
Teori peluang untuk ruang sampel berhingga menetapkan suatu himpunan bilangan
yang dinamakan bobot, bernilai dari nol sampai 1, sehingga kemungkinan terjadinya
suatu kejadian dapat dihitung. Setiap titik sampel pada ruang sampel dikaitkan
dengan bobot sedemikian rupa sehingga jumlah bobot sama dengan 1. Jika kita
yakin bahwa suatu titik sampel tertentu kemungkinan besar akan terjadi maka
bobotnya seharusnya dekat dengan 1. Sebaliknya jika titik sampel tertentu
kemungkinan terjadinya kecil sekali maka bobotnya harusnya mendekati nol. Pada
beberapa percobaan, setiap titik sampel mempunyai kesempatan yang sama untuk
muncul sehingga diberi bobot yang sama. Titik sampel di luar ruang sampel diberi
bobot nol.
artinya suatu kejadian yang pasti terjadi. Sedangkan
adalah suatu kejadian yang tidak mungkin terjadi. Peluang dalam dua nilai ekstrim
ini jarang terjadi. Yang sering terjadi adalah diantaranya.
Contoh.
1. Sekeping mata uang dilempar dua kali. Berapa peluang sekurang-kurangnya sisi
gambar muncul sekali?
Definisi
Peluang suatu kejadian adalah jumlah bobot semua titik sampel yang
termasuk . Jadi
, , dan ,

55
Penyelesaian.
Ruang sampel bagi percobaan ini adalah
Bila mata uang itu setimbang, kejadian setiap titik sampel mempunyai peluang
yang sama untuk terjadi. Dengan demikian, kita berikan bobot yang sama w pada
setiap titik sampel. Maka 4w=1 atau . Jika adalah kejadian bahwa
sekurang-kurangnya sisi gambar muncul sekali maka
2. Suatu dadu diberati sedemikian rupa sehingga kemungkinan muncul mata dadu
genap dua kali lebih besar daripada kemungkinan muncul mata dadu ganjil. Jika
adalah kejadia munculnya mata dadu yang lebih kecil dari 4 dalam satu kali
lemparan, hitung .
Penyelesaian.
Ruang sampel dari percobaan ini adalah .
Misalkan bobot tiap mata dadu ganjil adalah b maka bobot tiap mata dadu genap
adalah 2. Karena jumlah semua bobot 1 maka atau
atau . Jadi setiap mata dadu ganjil berbobot sedangkan setiap
mata dadu genap berbobot .
Jadi,

56
Bobot dapat dipandang sebagai peluang yang berkaitan dengan kejadian sederhana. Jika
bobot tiap titik sampel tidak sama, maka untuk untuk menghitung peluang tiap titik
sampel menggunakan pendekatan frekuensi relatif. Sedangkan jika bobot tiap titik sampel
sama maka untuk menghitung bobot tiap titik sampel kita menggunakan pendekatan teori
klasik. Jika bobot tiap titik sampel tidak sama dan kejadian hanya terjadi beberapa kali
saja, atau tidak ada informasi frekuensi relatifnya, maka untuk menentukan nilai peluang
kejadian ditentukan berdasarkan keyakinan, perasaan, dan pengetahuan individu tentang
suatu kejadian.
Pendugaan peluang yang tidak didasarkan bukti atau fakta disebut peluang
subyektif. Nilai peluang suatu kejadian akan ditaksir berbeda-beda dari individu
satu dan individu lain meskipun informasi awal yang diterima berkaitan informasi
tersebut adalah sama. Pendekatan ini digunakan oleh orang-orang yang cukup
berpengalaman si bidangkan dalam meramalkan suatu kejadian. Modul ini hanya
membahas peluang kejadian berdasar pendekatan empiris dan pendekatan klasik.
Peluang kejadian dengan pendekatan frekuensi relatif.
Dari suatu percobaan yang dilakukan sebanyak kali, ternyata kejadian muncul
sebanyak kali, maka frekuensi relatif munculnya kejadian adalah
Jika semakin besar dan menuju tak terhingga, maka nilai akan cenderung
konstan dan mendekati suatu nilai tertentu yang disebut dengan peluang munculnya
kejadian atau dapat ditulis sebagai
Contoh.
Pada pelemparan satu buah dadu sebanyak 30 kali dan 600 kali diperoleh hasil
sebagai berikut:

57
Tabel 3. 1Frekuensi relatif pelemparan sebuah dadusebanyak 30 kali
Titik Sampel Frekuensi Frekuensi Relatif
1 4
2 5
3 4
4 7
5 4
6 6
Jumlah 30 1
Data pada tabel menunjukkan bahwa pada pelemparan satu buah dadu sebanyak 30
kali:
Peluang muncul mata dadu 1 adalah

58
Tabel 3. 2Frekuensi relatif pelemparan sebuah dadu sebanyak 600 kali
Titik Sampel Frekuensi Frekuensi Relatif
1 96
2 107
3 98
4 103
5 97
6 99
Jumlah 600 1
Sedangkan pada pelemparan satu buah dadu sebanyak 600 kali:

59
Data yang diperoleh digambarkan dalam bentuk grafik sebagai berikut.
Gambar 3.1.
Hasil pelemparan dadu sebanyak 30 kali dan 600 kali
Peluang kejadian dengan pendekatan definisi peluang klasik.
Jika kita melempar sekeping mata uang secara berulang-ulang, frekuensi relatif
munculnya sisi gambar maupun sisi angka masing-masing akan mendekati .
Sehingga dapat dikatakan bahwa sisi gambar dan sisi angka mempunyai kesempatan
yang sama. Namun pada beberapa percobaan yang lain, kita tidak bisa melakukan
percobaan tersebut secara berulang-ulang. Pada kasus seperti ini pendekatan
definisi peluang empirik tidak bisa digunakan. Oleh karena itu kita menggunakan
pendekatan definisi peluang klasik.
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
1 2 3 4 5 6
pelemparan dadu
sebanyak 30 kali
pelemparan dadu
sebanyak 600 kali
Misalkan dalam suatu percobaan menyebabkan munculnya salah satu
dari hasil yang mempunyai kesempatan yang sama. Dari hasil
tersebut kejadian muncul sebanyak kali maka peluang munculnya
kejadian adalah

60
Dengan menggunakan konsep-konsep teori himpunan, teorema definisi klasik
tersebut dapat dinyatakan sebagai
Contoh.
Pada pelambungan 3 buah matauang sekaligus, tentukan peluang muncul:
a. ketiganya sisi gambar;
b. satu gambar dan dua angka.
Penyelesaian.
a.
Maka
Misal adalah kejadian ketiganya sisi gambar
, maka
b. Misal adalah kejadian muncul satu gambar dan dua angka
, maka
Jika kejadian dalam ruang sampel selalu terjadi maka , sehingga
peluang kejadian adalah:
Misalkan adalah ruang sampel dari suatu percobaan dengan setiap
anggota memiliki kesempatan muncul yang sama. Jika merupakan
himpunan bagian dari , maka peluang kejadian adalah
dengan
menyatakan banyaknya anggota dalam himpunan kejadian
menyatakan banyaknya anggota dalam himpunan ruang sampel

61
Contoh
Dalam pelemparan sebuah dadu, berapakah peluang munculnya angka-angka
→
munculnya angka-angka dibawah 10
→
Jika kejadian dalam ruang sampel tidak pernah terjadi sehingga , maka
peluang kejadian adalah
Contoh.
Tentukan peluang kejadian muncul angka tujuh pada pelambungan sebuah
dadu.
Penyelesaian.
Dalam pelemparansebuah dadu angka tujuh tidak ada, maka .
.
Jadi peluang muncul angka tujuh adalah 0.

62
Aktivitas 1.
Satu mata uang logam dilambungkan sebanyak tiga kali.
1. Tulislah semua hasil yang mungkin muncul dengan diagram pohon di bawah ini.
2. Ruang sampel pada percobaan tersebut adalah .…………………………………………………………..
3. Titik sampel pada percobaan tersebut adalah ………………………………………………….…………..
4. Berilah contoh dua kejadian tunggal dan dua kejadian majemuk pada percobaan
tersebut.
…………………………………………………………………………………………………………………………………….…
…………………………………………………………………………………………………………………………
Pelemparan
1
awal
Hasil yang
mungkin
Pelemparan
2
Pelemparan
3

63
Aktivitas 2
Sebuah kotak berisi 4 bola homogen yang terdiri 2 bola berwarna putih dan 2
kelereng berwarna kuning. Dari kotak tersebut diambil dua bola sekaligus secara
acak.
1. Tulislah semua hasil yang mungkin muncul dengan diagram pohon di bawah
ini.
2. Ruang sampel pada percobaan tersebut adalah .………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
3. Titik sampel pada percobaan tersebut adalah …………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………..
4. Berilah contoh dua kejadian tunggal dan dua kejadian majemuk pada percobaan
tersebut.
…………………………………………………………………………………………………………………..…
………………………………………………………………………………………………………………..……
Aktivitas 3
Sebuah kotak berisi 4 bola homogen yang terdiri 2bola berwarna putih dan 2 bola
berwarna kuning. Dari kotak tersebut diambil dua bola satu demi satu tanpa
pengembalian secara acak.
1. Tulislah semua hasil yang mungkin muncul dengan diagram pohon di bawah
ini.
bola 1 bola 2
awal

64
2. Ruang sampel pada percobaan tersebut adalah .………………………………..........
……………………………………………………………………………………………………………...
……………………………………………………………………………………………………………...
3. Contoh kejadian pada percobaan tersebut adalah …………………………………...
………………………………………………………………………………………………………………
Aktivitas 4.
Langkah – langkah kegiatan :
1. Lakukan percobaan melambungkan satu keping mata uang logam sebanyak 10
kali, 50 kali 100 kali.
2. Catat banyaknya sisi angka dan banyaknya sisi gambar yang muncul.
3. Tuliskan hasil yang diperoleh pada tabel dibawah ini.
4. Apa yang dapat Anda katakan tentang frekuensi relatif munculnya gambar jika
lemparannya makin sering?
5. Gambarlah hasil yang diperoleh dalam diagram garis.
Hasil yang mungkinPengambilan 1 Pengambilan 2
awal

65
Tabel 3(3)
Banyak Lemparan( ) 10 kali 50 kali 100 kali
Banyak muncul angka( ) ... ... ...
Banyak muncul gambar( ) ... ... ...
Frekuensi relatif muncul angka
( )
... .,.. ...
Frekuensi relatif muncul gambar
... ... ...

66
Aktivitas 5.
Satu mata uang logam dilambungkan sebanyak tiga kali, maka
1. peluang kejadian muncul sisi angka minimal satu kali =
2. peluang kejadian muncul sisi angka tepat satu kali =
3. peluang kejadian muncul sisi angka minimal dua kali =
4. peluang kejadian muncul sisi angka tepat dua kali =
5. peluang kejadian muncul sisi angka tiga kali =
6. peluang kejadian muncul sisi gambar minimal satu kali =
7. peluang kejadian muncul sisi gambar tepat satu kali =
8. peluang kejadian muncul sisi gambar minimal dua kali =
9. peluang kejadian muncul sisi gambar tepat dua kali =
10. peluang kejadian muncul sisi gambar tiga kali =

67
Aktivitas 6.
Sebuah kotak yang berisi 4 bola yang homogen terdiri dari 2 bola berwarna merah
dan 2 bola berwarna putih. Jika dari kotak tersebut diambil dua bola sekaligus
secara acak, maka
1. peluang kejadian terambil kedua bola berwarma merah =
2. peluang kejadian terambil kedua bola berwarna putih =
3. peluang kejadian terambil 1bola merah dan 1 bola putih =
Aktivitas 7.
Sebuah kotak yang berisi 4 bola yang homogen terdiri dari 2 bola berwarna merah
dan 2 bola berwarna putih. Jika dari kotak tersebut diambil dua bola satu demi
satu tanpa pengembalian secara acak, maka
1. peluang kejadian terambil kedua bola berwarma merah =
2. peluang kejadian terambil kedua bola berwarna putih =
3. peluang kejadian terambil 1bola merah dan 1 bola putih =

68
1. Tiga mata uang logam dilambungkan sekaligus.
a. Tuliskan ruang sampel percobaan tersebut.
b. Tuliskan contoh kejadian pada percobaan tersebut.
c. Tentukan peluang masing-masing kejadian yang Anda tulis.
2. Sebuah kotak yang berisi 4 bola yang homogen terdiri dari 2 bola
berwarna merah dan 2 bola berwarna putih. Jika dari kotak tersebut
diambil dua bola satu demi satu dengan pengembalian secara acak.
a. Tuliskan ruang sampel percobaan tersebut.
b. Tuliskan contoh kejadian pada percobaan tersebut.
c. Tentukan peluang masing-masing kejadian yang Anda tulis.
F. Rangkuman
Hal-hal yang telah dipelajari pada Kegiatan Pembelajaran 1 antara lain:
1. Ruang sampel adalah himpunan yang elemen-elemennya merupakan semua
hasil yang mungkin dari suatu percobaan.
2. Titik sampel adalah elemen dari ruang sampel.
3. Kejadian adalah himpunan bagian dari ruang sampel.
4. Kejadian sederhana adalah peristiwa yang hanya memuat satu titik sampel.
Kejadian majemuk adalah gabungan dari kejadian-kejadian sederhana.
5. Gabungan dua kejadian dan adalah himpunan semua elemen yang ada di
dalam atau di dalam .
6. Irisan dua kejadian dan adalah himpunan semua elemen yang ada di
dalam dan di dalam
7. Komplemen suatu kejadian adalah himpunan semua elemen yang tidak di
dalam .
Setelah Anda mengerjakan latihan, cocokkan jawaban Anda dengan kunci jawaban
yang telah disediakan. Jika Anda merasa kesulitan silakan pelajari kembali materi
yang sudah disajikan. Anda juga bisa mempelajari materi dari sumber bacaan yang
lain. Selanjutnya diskusikan hasil jawaban Anda dengan teman sejawat Anda.

69
PEMECAHAN MASALAH PELUANG
A. Tujuan
Setelah menyelesaikan kegiatan pembelajaran ini, Anda diharapkan mampu
memahami serta menerapkan dasar-dasar aturan perkalian, permutasi, dan
kombinasi dalam menyelesaikan berbagai masalah peluang.
1. Menerapkan konsep peluang untuk mnyelesaikan masalah.
2. Menerapkan aturan perkalian, permutasi, dan kombinasi dalam menyelesaikan
masalah peluang.
C. Uraian Materi
Peluang Kejadian Sederhana
Pada kegiatan pembelajaran 1 Anda sudah mempelajari istilah percobaan. Dalam
peluang, percobaan didefinisikan sebagai suatu proses yang hasil suatu kejadian
bergantung pada kemungkinan. Ketika anda melakukan percobaan, hasil-hasil yang
diperoleh tidak selalu sama walaupun telah melakukannya dengan kondisi yang
sama. Misalkan Anda melempar uang logam. Apa yang Anda peroleh?
Mungkin Anda akan mendapatkan angka atau gambar.
Munculnya angka atau gambar tersebut disebut kejadian.
Kejadian adalah hasil dari suatu percobaan.
Dalam suatu percobaan juga terdapat ruang sampel. Ruang sampel adalah himpunan
dari semua hasil yang mungkin pada suatu percobaan. Titik sampel adalah anggota
ruang sampel. Misalnya, terdapat 9 kartu yang sama dan diberi nomor 1, 2, …, 9 dan
ditempatkan disebuah kotak yang tertutup tetapi masih bisa diambil secara acak.
Jika akan diambil satu kartu secara acak, maka ruang sampelnya adalah {1, 2, …, 9}.
Angka-angka 1, 2, …, 9 yaitu angka-angka yang mungkin terpilih dalam percobaan di
atas disebut titik sampel. Titik sampel adalah anggota dari ruang sampel.
Perbandingan banyak kemunculannya dibanding banyaknya anggota ruang sampel
disebut peluang. Jadi, peluang kejadian A dapat dituliskan sebagai berikut.

70
Keterangan
= Peluang suatu kejadian A
= Banyaknya anggota kejadian A
= Banyaknya anggota ruang sampel
Nilai peluang suatu kejadian berkisar antara 0 dan 1. Semakin besar nilai peluang,
maka suatu kejadian semakin mungkin terjadi.
Jika peluang suatu kejadian sama dengan 0, hal tersebut disebut kemustahilan atau
kejadian yang tidak mungkin terjadi. Contohnya,
a. munculnya mata dadu 7 pada dadu yang bermata 6 yang dilempar,
b.matahari terbit dari utara,
c. dua garis yang berpotongan selalu sejajar, dan lain-lain.
Sedangkan, jika peluang suatu kejadian sama dengan 1, hal tersebut disebut
kepastian atau kejadian yang pasti terjadi. Contohnya,
a. setiap makhluk hidup pasti mati,
b.segitiga memiliki tiga sisi,
c. matahari tenggelam di barat, dan lain-lain.
Kejadian yang tidak
mungkin terjadi
Kejadian yang
mungkin terjadi
Kejadian yang pasti
terjadi

71
Adapun macam-macam konteks yang terkait disajikan dalam beberapa kasus
berikut.
Kasus tiket. Sebuah tiket dipilih secara acak dari keranjang yang berisi 3 hijau, 4
kuning dan 5 tiket biru. Ruang sampel pada percobaan diatas adalah {H, H, H, B, B, B,
B, K, K, K, K, dan K. Banyaknya anggota ruang sampel ( ) adalah .
Banyaknya tiket hijau ( ) adalah 3. Dengan demikian, peluang untuk
mendapatkan sebuah tiket hijau adalah
Kasus telur. Satu kotak telur berisi 8 telur yang berwarna
cokelat. Sisanya yaitu 4 butir telur berwarna putih. Satu
kotak telur berisi 12 butir telur. Dengan demikian, peluang
terambilnya telur putih adalah .
Kasus Pemilihan Siswa. Di SMA Nusa terdapat 163 siswa perempuan dan 92 siswa
laki-laki. Majalah sekolah tersebut memilih siswa secara acak untuk diwawancarai.
Dalam kasus di atas, jumlah seluruh siswa di SMA Nusa adalah
siswa. Peluang terpilihnya siswa yang diwawancarai adalah perempuan adalah .
Peluang Kejadian Majemuk
Beberapa kejadian dikombinasikan menjadi satu kejadian baru disebut kejadian
majemuk. Dalam mengombinasikan dua kejadian atau lebih, terdapat dua notasi
yang biasa digunakan yaitu:
a. Notasi “ ” disebut irisan, dalam logika matematika disebut operasi “dan”
(konjungsi)
b. Notasi “ ” disebut gabungan, dalam logika matematika disebut operasi “atau”
(disjungsi)

72
Komplemen suatu kejadian
Komplemen adalah kejadian tidak terjadinya kejadian . Komplemen ditulis ,
atau . Misalnya, di dalam sebuah kotak berisi kartu bernomor 0-6. Jika kejadian
adalah munculnya kartu bernomor genap yaitu 2, 4, dan 6, maka komplemen
kejadian adalah peluang munculnya kartu bernomor tidak genap atau ganjil yaitu
0, 1, 3, dan 5. Oleh karena itu, adalah , sedangkan . Jika kejadian
adalah muncul kartu bernomor 1 yaitu 1, maka komplemen adalah munculnya
kartu bernomor bukan satu yaitu 0, 2, 3, 4, 5, dan 6. Oleh karena itu, adalah ,
sedangkan . Dari hubungan tersebut, dapat disimpulkan bahwa
sehingga
berikut.
Kasus Hujan. Hari ini cuaca mendung. Peluang hari ini turun hujan adalah
0, 77. Misalkan
= kejadian hari ini turun hujan
= kejadian hari ini tidak turun hujan
maka
Jadi, peluang tidak turun hujan adalah .
Kasus Kelereng. Sebuah kelereng diambil secara acak dari sebuah kotak berisi 5
kelerang hijau, 3 kelereng merah, dan 7 kelereng biru. Peluang munculnya kelereng
merah adalah banyaknya kelereng merah dibagi banyaknya kelereng dalam kotak.
Banyaknya kelereng dalam kotak adalah 15, sedangkan banyaknya kelereng
Merah atau adalah 3, maka peluang munculnya kelereng merah dapat
diperoleh , maka untuk mencari peluang munculnya kelereng bukan merah
adalah .

73
Peluang Dua Kejadian yang Saling Bebas
Kejadian yang saling bebas adalah suatu kejadian yang tidak bergantung pada
kejadian lainnya atau kejadian yang satu tidak mempengaruhi kejadian lainnya.
Contohnya, pada pelemparan dadu dan uang logam bersamaan satu kali.
Padapelemparan tersebut, pelemparan dadu tidak mempengaruhi uang logam dan
sebaliknya. Munculnya mata dadu ganjil tidak mempengaruhi munculnya gambar
atau munculnya angka pada uang logam, sebaliknya munculnya gambar atau angka
tidak mempengaruhi munculnya mata dadu ganjil. Jadi, peluang dua kejadian yang
saling bebas adalah
keterangan
Peluang dua kejadian yang saling bebas
Peluang kejadian
Peluang kejadian
Misalkan
kejadian munculnya angka
kejadian munculnya bilangan ganjil yaitu {1, 3, 5}
Semua kemungkinan sebuah dadu dan uang logam secara bersamaan disajikan pada
tabel berikut.
Dadu
Uang Logam
1 2 3 4 5 6
Angka (A, 1) (A, 2) (A, 3) (A, 4) (A, 5) (A, 6)
Gambar (G, 1) (G, 2) (G, 3) (G, 4) (G, 5) (G, 6)
Pada tabel di atas, dapat disimpulkan bahwa dan . Jadi,
Selain cara di atas, dapat diperoleh dengan mengalikan dan .
dan , sehingga
dan , sehingga

74
berikut.
Kasus Nyala Lampu. Peluang lampu A menyala 10 tahun lagi adalah 0,50,
sedangkan peluang lampu B menyala 10 tahun lagi adalah 0,35. Kedua kejadian
lampu A dan B menyala 10 tahun lagi adalah dua buah kejadian yang saling bebas.
Jadi, peluang bahwa A dan B kedua-duanya akan hidup 10 tahun lagi adalah
.
Kasus Fotokopi. Sebuah sekolah memiliki dua mesin fotokopi. Pada salah satu hari,
mesin A memiliki kesempatan 8% dari rusak dan mesin B memiliki kesempatan
12% dari rusak. Dua hal tersebut tidak saling mempengaruhi, jadi peluang bahwa
pada salah satu dari kedua mesin A rusak dan mesin B dapat digunakan adalah
Misalkan
peluang mesin A rusak = 8% = 0,08
peluang mesin B rusak = 12% =0,12
maka
Peluang Gabungan Dua Kejadian
Peluang gabungan dua kejadian, untuk setiap kejadian A dan B berlaku
berikut.

75
Kasus Pelemparan Dadu Bersisi Delapan. Sebuah dadu bersisi delapan
dilambungkan satu kali. Untuk menentukan peluang kejadian muncul mata dadu
bilangan prima atau muncul mata dadu bilangan lebih dari 5 dapat dilakukan
dengan mencari ruang sampel dari hasil melambungkan dadu bersisi delapan satu
kali adalah , maka banyaknya anggota ruang sampel adalah
.
Misal adalah kejadian muncul mata dadu prima
adalah kejadian muncul mata dadu bilangan lebih dari 5.
maka
} sehingga
} sehingga
Oleh karena itu, kita dapat memperoleh
Sehingga banyaknya anggota kejadian adalah . Berarti dan
merupakan dua kejadian yang tidak saling lepas. Akibatnya,
Jadi, peluang kejadian muncul mata dadu bilangan prima atau kejadian muncul
mata dadu bilangan lebih dari 5 adalah .
Kasus Kursus. Dina mengikuti kursus menjahit dan komputer. Peluang lulus
dalam kursus menjahit = 0,70, dalam komputer =0,39, dan lulus kedua mata
pelajaran itu = 0, 19. Misalkan
Menjahit maka
Komputer maka
Jadi, peluang siswa itu akan lulus dalam kursus menjahit atau komputer adalah
→

76
Peluang Gabungan Dua Kejadian yang Saling Lepas
Dua buah kejadian dikatakan saling lepas jika irisan kedua himpunan tersebut
kosong atau tidak mempunyai irisan. Dapat dikatakan, dua kejadian tersebut tidak
terjadi secara bersamaan. Misalkan, satu kartu diambil dari seperangkat kartu
bridge. Kejadian A dan B didefinisikan sebagai berikut.
= kejadian terambilnya satu kartu As
= kejadian terambilnya satu kartu King
= , maka A dan B dikatakan kejadian saling lepas.
Sehingga peluang kedua kejadian yang saling lepas adalah
Macam-macam konteks yang terkait disajikan dalam beberapa kasus berikut.
Kasus Pelemparan Dadu. Dua buah dadu dilemparkan bersama-sama satu kali.
Kejadian munculnya jumlah kedua dadu sama dengan 3 atau 10 adalah dua kejadian
yang saling lepas. Banyaknya ruang sampel adalah 36. Misalkan
= kejadian muncul jumlah kedua mata dadu adalah 3
= kejadian muncul jumlah kedua mata dadu adalah 10
Dari ruang sampel pelemparan dua buah dadu, diperoleh
= {(1, 2), (2, 1)}
= {(4, 6), (5, 5), (6, 4)}
→
Tidak ada yang sama antara dan , jadi
Sehingga peluang " atau " adalah
Frekuensi Harapan
Frekuensi harapan adalah banyaknya kemungkinan yang diharapkan dalam suatu
percobaan. Jika adalah suatu kejadian pada ruang sampel dengan peluang ,,
maka frekuensi harapan kejadian dari kali percobaan adalah

77
berikut.
Kasus uang logam. Sebuah uang logam dilemparkan, maka peluang munculnya
angka adalah . Dengan demikian, jika dadu tersebut dilempar sebanyak 12 kali,
kemungkinan banyaknya mata dadu yang diharapkan muncul dalam 12 kali
pelemparan itulah yang disebut frekuensi harapan. Jadi, frekuensi harapannya
adalah kali.
Kasus penyakit campak. Disebuah negara, peluang seorang anak menderita
penyakit campak adalah 0,11. Jika terdapat 1200 di negara tersebut, maka anak
yang kemungkinan menderita penyakit campak adalah anak.
Kasus kartu bridge. Seperangkat kartu bridge dikocok dan satu kartu diambil
secara acak, kemudian dikembalikan. Percobaan akan diteruskan sampai 104 kali.
Banyaknya kemungkinan munculnya kartu King atau frekuensi harapan kartu King
dapat diperoleh dengan mengalikan peluang munculnya kartu King dan banyaknya
percobaan. Banyaknya percobaan di atas (n) adalah 104 kali. Kartu bridge
berjumlah 52 buah dengan 4 kartu King. Dari 4 kartu king tersebut akan diambil 1
buah kartu king, maka peluang munculnya kartu King adalah . Dengan demikian,
banyaknya kemungkinan munculnya kartu King atau frekuensi harapan kartu King
adalah kali.
Prinsip Perkalian pada Dua Kejadian Berurutan
Aturan perkalian merupakan dasar atas permutasi maupun kombinasi. Banyak
konteks dalam kehidupan sehari-hari yang terkait erat dengan aturan perkalian
tersebut sehingga solusinya seringkali sangat mudah dipahami dan dapat disajikan
dengan beragam cara. Cara yang dimaksud adalah cara tabel, cara diagram pohon,
cara mendaftar, dan penggunaan rumus. Aturan ini dapat diterapkan dalam
menentukan anggota dan banyaknya anggota ruang sampel.

78
Suatu kejadian yang berkelanjutan terdiri dari dua langkah. Langkah pertama terdiri
atas cara dan langkah kedua terdiri atas cara maka banyaklah langkah yang
mungkin atas kejadian tersebut adalah cara. Ilustratrasi dari rumus tersebut
tampak pada Gambar 4.1 berikut.
Gambar 4.1. Dua Kejadian Berkelanjutan
Prinsip Perkalian pada Lebih dari Dua Kejadian Berurutan
Secara umum misalkan ada sebanyak kejadian berurutan dimana kejadian ke-1
mempunyai pilihan, kejadian ke-2 mempunyai pilihan, kejadian ke-3
mempunyai pilihan, kejadian ke-4 mempunyai pilihan, hingga sampai kejadian
ke- mempunyai pilihan. Situasi ini dapat digambarkan pada Gambar 5.2. Banyak
seluruh kejadian yang mungkin dihitung dengan rumus:
Notasi perkalian sebanyak faktor ini dapat juga dituliskan dengan simbol
.
Gambar 4.2. Prinsip Perkalian pada kejadian-kejadian berurutan
Permutasi dan kombinasi
Beberapa objek berbeda dapat disusun dengan memperhatikan urutan dan dapat
dikumpulkan tanpa memperhatikan urutan. Susunan objek (yang memperhatikan
urutan) disebut dengan permutasi sedangkan kumpulan objek (yang tidak
memperhatikan urutan) disebut dengan kombinasi, perhatikan Gambar 4.3.
Banyak pilihan pada tiap kejadian
Rumus
Model
Langkah -1 Langkah -2
cara cara
Dilanjutkann

79
Permutasi dan kombinasi memiliki cirinya masing-masing sehingga memerlukan
perhatian yang berbeda dalam menentukan banyaknya. Untuk lebih membantu
dalam pemahaman, ingat kembali konsep anggota ruang sampel dalam materi
peluang.
Gambar 4.3.. Perbedaan Permutasi dan Kombinasi atas Tiga Objek
Permutasi
Ide susunan yang memperhatikan urutan memandang bahwa: AB berbeda dengan
BA, 12 berbeda dengan 21, C32 berbeda dengan 3C2, dan (3, 5) berbeda dengan (5,
3). Susunan yang memperhatikan urutan dari beberapa objek berbeda inilah yang
disebut dengan permutasi. Adapun kumpulan objek berbeda yang tidak
memperhatikan urutan disebut dengan kombinasi.
Ada tiga kasus permutasi, yakni permutasi lengkap, permutasi sebagian, dan
permutasi melingkar. Untuk mengatakan “permutasi lengkap” dapat disebut
“permutasi” saja. Masing-masing kasus permutasi mempunyai rumus yang berbeda-
beda untuk menentukan banyaknya susunan. Rumus penentuan banyaknya
permutasi dengan menggunakan prinsip perkalian yang telah dipelajari pada
Kegiatan Belajar sebelum ini.
Dari sebanyak objek berbeda dibuat permutasi lengkap. Lengkap berarti semua
objek muncul sekali dalam setiap susunan permutasi. Dalam hal ini terdapat
sebanyak objek yang akan disusun dengan memperhatikan urutan pada sebanyak
tempat yang disediakan, lihat Gambar 4.4. Banyaknya pilihan pada tempat ke-1,
ke-2, ke-3, ke-4, hingga ke-n berturut-turut adalah , , , , hingga 1.
A B C
disusun dikumpul
6 permutasi
AB, BA, AC, CA, BC, CB
hasil
3 kombinasi
{A, B}, {A, C}, {B, C}
hasil
A
B
A
C
B
C
Peduli urutan
Tak peduliurutan
A B
BBB
B A
AA
A C
CCCC
CC
C A A
A
BC
CC C
C C C
C
C B

80
Selanjutnya dengan menggunakan prinsip perkalian akan diperoleh rumus
banyaknya permutasi lengkap (dinotasikan adalah:
=
=
Gambar 4.4. Permutasi Lengkap atas Objek
Berbeda dengan permutasi lengkap, permutasi sebagian tidak mengurutkan seluruh
objek; namun hanya mengurutkan sebagian dari objek.
Pola penentuan banyaknya “permutasi sebagian” ini dapat digeneralisir untuk
permutasi atas objek yang diambil dari objek yang tersedia, dimana Pada
permutasi sebagian ini terdapat sebanyak tempat secara berurutan yang akan
ditempati oleh sebanyak objek. Lihat Gambar 4.5.
Gambar 4.5. Permutasi Sebagian: r dari n Objek
Ke- 1 ke-2 ke- 3 ke-4 ... ke-(n-2) ke-(n-1) ke-n Urutan tempat
Semua objek
ditempatkan
satu kali
Tersedia
objek
O1 O2 O3 O4 ... On-1 On
=
Banyak permutasi
lengkap
Banyak pilihan
P(n, r) = n x (n-1) x (n-2)x ... x (n-(r-1))
Tersedia objek
Banyak permutasi r dari n
– 1 – 1 – 1
Model Situasi
Ke-1 Ke-2 Ke-3 Ke-r
Pilihan pilihan pilihan pilihan
Urutan objek

81
Permutasi r dari n objek yang dinotasikan dengan P(n,r). Hasil yang diperoleh
dapat diubah dalam bentuk faktorial, yakni:
P(n, r) = n x (n-1) x (n-2)x ... x (n-(r+1))
Permutasi siklis berarti susunan yang berurutan secara melingkar (siklis).
Persyaratan melingkar mengakibatkan rumus yang ditemukan juga berbeda.
Model pada Gambar 4.6 menggambarkan objek, yakni O1, O2, O3, O4, ..., On-2, On-1,
dan On. Objek terakhir (On) diposisikan tetap sehingga sisanya sebanyak objek
(O1, O2, O3, O4, ..., On-2, dan On-1) dipermutasikan secara lengkap.
Gambar 4.6. Model Perhitungan Permutasi Siklis atas Objek
Berbeda dengan permutasi yang berurusan dengan susunan yang memperhatikan
urutan, kombinasi merupakan pengelompokan beberapa objek dari sejumlah objek
yang ada. Objek-objek yang berada dalam satu kelompok tidak dibedakan urutan
posisinya. Pengertian kumpulan yang tidak memperhatikan urutan sejalan dengan
konsep himpunan. Dengan demikian kombinasi atas beberapa objek dapat
dinotasikan memakai himpunan.
On
Posisi tetap
– 1
– 1
Psiklis ( )
n – 1
n – 2
1
2
3
4
– 1
– 1

82
Gambar 4.7. Kaitan permutasi dan kombinasi 3 dari 4 objek
Penurunan rumus cara menentukan banyaknya kombinasi dapat dengan
menggunakan rumus banyaknya permutasi. Pada Gambar 4.7., setiap 6
permutasi menjadi 1 kombinasi. Sehingga dari 24 permutasi diringkas menjadi 4
kombinasi. Oleh karena itu didapat hubungan 3! x C(4, 3) = P(4, 3). Penurunan
rumus penentuan banyaknya kombinasi atas r objek dari n objek yang tersedia
adalah: r! x C(n, 2) = P(4, 3)

Dengan demikian rumus menghitung banyaknya kombinasi objek dari objek
adalah .
Penggunaan Aturan Perkalian, Permutasi, dan Kombinasi dalam
peluang
Pada kasus percobaan yang berkemungkinan sama, peluang suatu kejadian
didiefinisikan sebagai rasio banyaknya anggota kejadian
dengan banyaknya anggota ruang sampel , yaitu:
Sehingga perhitungan peluang kejadian merupakan perhitungan banyaknya
anggota kejadian dan banyaknya anggota ruang sampel yang dapat dilakukan
dengan menggunakan aturan perkalian, permutasi, dan kombinasi.
A B C
A C B
B A C
B C A
C A B
C B A
6permutasi
{A, B, C}
1 kombinasi
A B D
A D B
B A D
B D A
D A B
D B A
{A, B, D}
6permutasi
1 kombinasi
{A, C, D} {B, C, D}
1 kombinasi 1 kombinasi
A C D
A D C
C A D
C D A
D A C
D C A
B C D
B D C
C B D
C D B
D B C
D C B
6permutasi
6permutasi

83
Contoh:
1. Dalam sebuah kotak berisi 5 bola homogen terdiri dari 3 bola berwarna
merah dan 2 bola berwarna putih. Tiga bola diambil sekaligus dari dalam
kotak tersebut secara acak.
a. Berapa banyaknya semua hasil yang mungkin ( )?
b. Jika adalah kejadian terambil dua bola merah dan satu bola putih,
berapakah ?
c. Berapa peluang kejadian terambil dua bola bitu dan satu bola merah
( )?
Penyelesaian.
a.
b.
c.
2. Dewan penasihat suatu lembaga beranggotakan 15 orang terdiri dari 9 orang
diantaranya mendukung suatu program tertentu, 4 orang menentang dan 2 orang
abstain. Seorang reporter ingin memilih 3 orang secara acak dari 15 dewan
penasihat tersebut dan ingin menyiarkan pandangan mereka dalam acara
televisi.
a. Berapa peluang kejadian terpilihnya 2 orang mendukung program tersebut?
b. Berapa peluang kejadian terpilihnya dua orang pertama yang terpilih
mendukung program dan orang ketiga yang terpilih menentang program?
Penyelesaian.
a. Misal adalah kejadian terpilihnya dua orang mendukung program.
Pada kejadian ini urutan orang yang terpilih tidak diperhatikan, sehingga kita
menggunakan kombinasi untuk menghitung dan .

84
Jadi peluang kejadian terpilihnya 2 orang mendukung program tersebut
adalah .
b. Misal adalah kejadian terpilihnya dua orang pertama yang terpilih
mendukung program dan orang ketiga yang terpilih menentang program.
Pada kejadian ini urutan orang yang terpilih diperhatikan sehingga kita
menggunakan permutasi untuk menghitung dan .
.
.
.
Jadi peluang kejadian terpilihnya dua orang pertama yang terpilih
mendukung program dan orang ketiga yang terpilih menentang program
adalah .
Aktivitas 1.
Lima belas kartu diberi nomor 1 sampai 15. Kartu-kartu tersebut dikocok kemudian
diambil satu kartu secara acak (kartu yang telah terambil kemudian dikembalikan
lagi). Tentukan peluang terambil kartu berangka genap!
Jawab:
Ruang sampelnya adalah ………………………………………………………………………………
sehingga ………………………………………………………………………………………………….
Misalkan adalah himpunan kejadian terambil kartu berangka genap maka
………………………………………………………………………………………………………………………
sehingga
………………………………………………………………………………………………………
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
13 14 15

85
Jadi, peluang terambil kartu berangka genap adalah …………………………………..
Aktivitas 2:
Sebuah keranjang berisi 11 bola homogen terdiri dari 5 bola kuning, 3 bola merah,
dan 3 bola putih. Dari keranjang tersebut diambil sebuah bola secara acak. Berapa
peluang terambil bola bukan kuning?
Jawab:
Cara 1
= 5 bola kuning + 3 bola merah + 3 bola putih = …………………………………
Misalkan K adalah kejadian terambil bola kuning.
= ……………………………………………………………………………………………………….
=
= kejadian terambil bola bukan kuning.
Jadi,
Cara 2
= 5 bola kuning + 3 bola merah + 3 bola putih = …………………………………..
Misalkan M adalah kejadian terambil bola merah.
= ………………………………………………………………………………………………………
Misalkan P adalah kejadian terambil bola putih.
= …………………………………………………………………………………………………
=

86
Misal = kejadian terambil bola bukan kuning.
Aktivitas 3.
1. Tentukan banyaknya anggota ruang sampel pada percobaan berikut ini.
a. Melambungkan satu mata uang logam sebanyak satu kali.
… .
b. Melambungkan satu mata uang logam sebanyak dua kali.
… … … .
c. Melambungkan satu mata uang logam sebanyak tiga kali.
… … … … .
d. Melambungkan satu mata uang logam sebanyak empat kali.
… … … … … .
e. Melambungkan dua mata uang logam sebanyak satu kali.
(… …) … .
f. Melambungkan dua mata uang logam sebanyak dua kali.
(… …) … … .
g. Melambungkan tiga mata uang logam sebanyak satu kali.
(… … …) … … .
2. Kesimpulan apa yang dapat Anda peroleh dari jawaban no 1?
……………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………….
Aktivitas 4
Sebuah kotak berisi 4 bola homogen yang terdiri 2bola berwarna putih dan 2 bola
berwarna kuning.Dari kotak tersebut diambil 2 bola secara acak. Misal A adalah
kejadian terambil I bola putih dan 1 bola kuning. Dengan menggunakan aturan
perkalian/permutasi/kombinasi, tentukan P(A) jika pengambilan bola tersebut
dilakukan secara
c. Sekaligus.
d. Satu demi satu tanpa pengembalian.

87
e. Satu demi satu dengan pengembalian.
Penyelesaian
a.
b.
1. Pada percobaan pelemparan 3 mata uang logam sekaligus, peluang muncul
angka lebih banyak daripada gambar adalah … .
2. Andri memiliki 5 bola putih dan 4 bola merah yang disimpan dalam sebuah
kotak. Andri akan mengambil satu bola dari kotak secara acak. Peluang
terambilnya bola berwarna merah adalah ….
3. Sebuah dadu bersisi delapan dilambungkan satu kali. Peluang kejadian
muncul mata dadu bilangan prima atau muncul mata dadu bilangan lebih
dari 5 adalah … .
4. Sebuah akuarium berisi 3 ikan mas koki berekor merah, 2 ikan mas koki
berekor hijau, dan 1 ikan mas koki berekor kuning. Dari dalam akuarium
diambil 2 ekor ikan sekaligus. Peluang terambil
satu ikan berekor merah dan satu ikan berekor
kuning adalah … .
5. Peluang kelulusan siswa dari SMA A dapat
diterima di Perguruan Tinggi Negeri (PTN)
dengan jalur undangan adalah . Jika SMA
mendaftarkan siswanya sebanyak 300 siswa. Siswa yang mungkin diterima
di Perguruan Tinggi Negeri (PTN) melalui jalur undangan adalah ….

88
F. Rangkuman
1. Kejadian yang saling bebas adalah suatu kejadian yang tidak bergantung pada
kejadian lainnya atau kejadaian yang satu tidak mempengaruhi kejadian
lainnya. peluang dua kejadian yang saling bebas adalah
keterangan
Peluang dua kejadian yang saling bebas
Peluang kejadian
Peluang kejadian
2. Peluang gabungan dua kejadian, untuk setiap kejadian dan berlaku
3. Dua buah kejadian dikatakan saling lepas jika irisan kedua himpunan tersebut
kosong atau tidak mempunyai irisan. Peluang kedua kejadian yang saling lepas
adalah
keterangan
Peluang dua kejadian yang saling lepas
Peluang kejadian
Peluang kejadian
4. Frekuensi harapan adalah banyaknya kemungkinan yang diharapkan dalam
suatu percobaan.
keterangan
= Peluang suatu kejadian A
= banyaknya percobaan
Setelah Anda mengerjakan latihan, cocokkan jawaban Anda dengan kunci jawaban
yang telah disediakan. Jika Anda merasa kesulitan silakan pelajari kembali materi
yang sudah disajikan. Anda juga bisa mempelajari materi dari sumber bacaan yang
lain. Selanjutnya diskusikan hasil jawaban Anda dengan teman sejawat Anda.

89
Kunci Jawaban latihan Statistika Kegiatan Pembelajaran 1
1. C
2. D
3. A
4. A
5. C
Kunci Jawaban latihan Statistika Kegiatan Pembelajaran 2
1. Menurut bahan bacaan maka jawaban tugas nomer 1 adalah
2. Menurut bahan bacaan maka jawaban tugas nomer 2 adalah
serta nilai mediannya adalah 4
3. Gunakan rumus untuk mencari mean(rata-rata) dengan metode rata-rata
sementara
4. Dengan menggunakan rumus menentukan mean, median dan modus diperoleh
bahwa Nilai median adalah 6,5
Kunci Jawaban latihan Peluang Kegiatan Pembelajaran 3
1.
Contoh kejadian yang mungkin terjadi adalah
a. kejadian muncul minimal satu sisi angka.
b. kejadian muncul satu sisi angka.
c. kejadian muncul minimal dua sisi angka.
d. kejadian muncul dua sisi angka.
e. kejadian muncul tiga sisi angka.
f. kejadian muncul minimal satu sisi gambar.
g. kejadian muncul satu sisi gambar.
h. kejadian muncul minimal dua sisi gambar.
i. kejadian muncul dua sisi gambar.
j. kejadian muncul tiga sisi gamba.
k. dst

Kunci Jawaban
90
2. a.
b. Contoh kejadian:
Kejadian terambil kedua bola berwarna merah.
Kejadian terambil kedua bola berwarna putih.
Kejadian terambil 1 bola merah dan 1 bola putih.
dst.
c. Peluang kejadian terambil kedua bola berwarna merah =
Peluang kejadian terambil kedua bola berwarna putih =
Peluang kejadian terambil 1 bola merah dan 1 bola putih =
Kunci Jawaban latihan Peluang Kegiatan Pembelajaran 4
1. (Alasan:
2. (Alasan: )
3. (Alasan: )
4. (Alasan:
5. 100 (Alasan: )

91
Evaluasi
Statistika dan Peluang
1. Nilai rata-rata ulangan matematika dari 15 siswa adalah 66. Jika ditambah satu
orang lagi yang memiliki nilai 82, maka nilai rata-rata seluruh siswa adalah….
A .64
B. 65
C. 66
D. 67
2. Jika berat badan rata-rata dari tabel berikut adalah 47. Tentukannilai p
Beratbadan 44 45 46 47 48 49 50
Frekuensi 4 3 6 6 2 p 4
A. 3
B.4
C. 5
D.6
3. Diketahui data 23, 22, a, 34, 28, 29, b , 23, 25, 29. Modus data tersebut adalah 29
dan median adalah 28. Jika a < b maka nilai b adalah
A.22
B.25
C. 28
D. 29

Evaluasi
92
4. Nilai rata-rata matematika dalam suatu kelas 73, sedangkan nilai rata-rata siswa
pria 70 dan nilai rata-rata siswa wanita 75. Jika banyak siswa dalam kelas adalah 40
siswa, banyak siswa pria adalah …
A. 16
B. 18
C. 22
D. 24
5. Diketahui jangkauan nilai ulangan harian matematika siswa kelas IX sebesar 70.
Cara menafsirkan jangkauannya adalah sebagai berikut misal adalah nilai
ulangan harian seorang siswa maka
A. Ada seorang siswa yang nilainya 70 tetapi ada pula seorang siswa yang nilainya
30.
B. Ada seorang siswa yang nilainya  70 tetapi ada pula seorang siswa yang
nilainya  30.
C. Ada seorang siswa yang nilainya  100 tetapi ada pula seorang siswa yang
nilainya  30.
D. Ada seorang siswa yang nilainya 60 tetapi ada pula seorang siswa yang nilainya
40.
6. Hasil ulangan Matematika tercantum pada tabel berikut
Nilai Matematika Frekuensi
9 4
8 7
7 10
6 12
5 4
4 3
Mediannya adalah
A. 6
B. 6,5
C. 7
D. 12

93
7. Simpangan baku dari data 5, 5, 6, 6, 7, 7, 8, 8, 9, 9 adalah
A. 0
B. 1
C.
D. 2
8. Perhatikan tabel distribusi frekuensi berikut
NilaiMatematika Frekuensi
11 – 20 2
21 – 30 3
31 – 40 11
41 - 50 17
51 - 60 15
61 – 70 8
71 - 80 4
Tentukan modus dari tabel distribusi frekuensi di atas
A. 41, 5
B. B.45
C. 48
D. 49, 5
9. Beberapa hal yang tidak perlu diperhatikan ketika menggambarkan diagram
lingkaran adalah :
A. Memasukkan kategori yang pertama kedalam lingkaran dimulai dari titik
tertinggi
B. Memasukkan semua kategori kedalam lingkaran menggambarkan busur
derajat
C. Memasukkan kategori lainnya harus searah jarum jam
D. Setiap kategori hendak diberi warna atau corak yang sama dalam lingkaran

Evaluasi
94
10. Hal–hal berikut yang tidak perlu diperhatikan ketika menggambar diagram
lambang adalah :
A. Lambang yang digunakan harus sesuai dengan obyek yang diteliti
B. Banyak lambang yang digambarkan harus sesuai dengan banyak datanya
C. Bilangan yang digunakan untuk satu lambang jangan terlalu besar dan
jangan terlalu kecil
D. Jika ada sisa bilangan yang bukan merupakan kelipatan dari bilangan untuk
satu lambang, maka gambar lambangnya tidak utuh
11. Dua mata uang logam dilambungkan secara bersamaan. Kejadian muncul sisi
gambar dan sisi angka adalah … .
A. {AA, GG}
B. {AG, GA}
C. {AA, GG, AG}
D. {AA, AG, GA, GG}
12. Dua mata uang logam dilambungkan secara bersamaan. Ruang sampel dari
pecobaan tersbut adalah … .
A. {AA, GG}
B. {AG, GA}
C. {AA, GG, AG}
D. {AA, AG, GA, GG}
13. Dalam percobaan pelemparan sebuah dadu sebanyak 50 kali diperoleh hasil
dalam frekuensi relatif sebagai berikut.
Sisi dengan titik 1 2 3 4 5 6
Frekuensi relatif 0,11 0,23 0,29 0,18 0,13 0,06
Jika A adalah kejadian muncul titik ganjil, maka P(A) = …
A. 0,35
B. 0,47
C. 0,53
D. 0,65
14. Sebuah mata uang logam dan sebuah dadu dilempar sebanyak satu kali. Peluang
muncul sisi angka pada mata uang logam dan bilangan prima ganjil pada dadu
adalah … .

95
A.
B.
C.
D.
15. Dengan menggunakan elemen pada himpunan A = {1, 2, 3, 4} dilakukan
percobaan menyusun bilangan dua angka yang berlainan. Jika T menyatakan
kejadian munculnya bilangan genap dari percobaan itu, maka
A. T= {11, 12, 13, 14, 21, 23, 24, 31, 32, 34, 41, 42, 43}
B. T = {12, 14, 24, 32, 34, 42}
C. T= {12,14,22, 24,32,34,,42,44}
D. T={11, 12, 13, 14}
Kunci Jawaban Evaluasi Statistika dan Peluang
1. D
2. C
3. C
4. A
5. B
6. C
7. C
8. C
9. D
10. B
11. B
12. D
13. C
14. A
15. B

97
Penutup
Salah satu usaha untuk menjaga dan meningkatkan kompetensi guru adalah dengan
Pengembangan Keprofesian Berkelanjutan (PKB), yaitu pengembangan kompetensi
guru yang dilaksanakan sesuai dengan kebutuhan, bertahap dan berkelanjutan
untuk meningkatkan profesionalitasnya. Kegiatan PKB ini harus dilakukan secara
terus-menerus oleh guru agar kompetensinya terjaga dan terus ditingkatkan. Salah
satu kegiatan PKB ini adalah kegiatan pengembangan diri yang dapat dilakukan
melalui diklat guru pembelajar.
Modul statistika dan peluang ini merupakan salah satu modul yang digunakan pada
kegiatan PKB. Modul ini membahas statistika meliputi menentukan ukuran
pemusatan data tunggal dan data kelompok, ukuran penyebaran data tunggal dan
data kelompok, serta penyajian data sedangkan untuk materi peluang meliputi
pengertian percobaan, kejadian, ruang sampel, serta peluang suatu kejadian. Modul
ini juga membahas tentang aturan perkalian, permutasi, kombinasi, agar dapat
menambah wawasan guru.
Modul ini diharapkan dapat membantu guru dalam upaya meningkatkan
kompetensi guru khususnya kompetensi profesional yang berkaitan dengan
statistika dan konsep dasar peluang. Dengan meningkatnya kompetensi guru,
diharapkan kompetensi peserta didik juga akan meningkat.
Demikianlah yang dapat penulis sampaikan mengenai uraian materi yang menjadi
bahasan dalam modul ini. Diharapkan Anda dapat membaca materi yang ada dalam
modul ini dengan baik. Melalui materi yang ada dalam modul ini, semoga dapat
mengembangkan wawasan Anda serta memudahkan dalam menyelesaikan soal‐soal
yang ada. Untuk itu sangat diharapkan Anda mencoba menyelesaikan sendiri lembar
kegiatan dan tugas yang ada dalam modul ini, baru setelah itu mencocokkan dengan
kunci jawaban.
Semoga modul ini dapat bermanfaat bagi Anda.

99
Daftar Pustaka
Athanasios Papolilis (1992), ”Probabilitas, Variabel Random, dan Proses
Stokastik”(penerjemah: Dr Subanar), Gadjah Mada Universiy Press, Yogyakarta
Beecher, Penna, & Bittinger. (2006). Algebra and Trignometri (Ed. 3th). Pearson
Addison Wesley
Furqon, (1999). Statistika Terapan Untuk Penelitian. Bandung. AFABETA.
Goodaire, E.G. and Parmeter, M.M. 2006. Upper Saddle River, N.J: Pearson Prentice-
Hall, Inc.
Hasan, M. Iqbal, (2011). Pokok – Pokok Materi Statistika 1 (Statistik Deskriptif).
Jakarta . PT Bumi Aksara.
Husein Tampomas, (2007).Seribu Pena Matematika untuk SMA/MA Kelas XI, Jakarta.
Erlangga.
Ismail, (2002).Statistika, Jakarta. Direktorat PLP.
Iryanti, Puji, (2006).Statistika. Yogyakarta. PPPPTK Matematika
Johnsonbaugh, R. 2001. Discrete Mathematics. Fifth Edition. Upper Saddle River, NJ:
Prentice-Hall, Inc.
Lee J Bain dan Max Engelhardt (1992), ”Introduction to Probability and Mathematical
Statistics”, California
Kemdikbud, (2014). Matematika SMA/SMK/MA/MAK kelas XI, Semester 2, Jakarta.
Pusat Kurikulum dan Perbukuan, Balitbang, Kemdikbud
Kurniawan dan Suryadi, (2007), Olimpiade Matematika SMP, Jakarta. Erlangga.
Kusrini,(2003). Statistika. Jakarta. Direktorat Pendidikan Lanjutan Pertama.
Nugroho Budiyuwono, (1990).Pelajaran Statistik untuk SMEA dan Sederajat,
Yogyakarta. BPFE.
Pasaribu, Amudi, (1975). Pengantar Statistik. Jakarta. Gahlia Indonesia.
Rice, J.A. 1995. Mathematical Statistics and Data Analysis. Belmont: Wadsworth
Publishing Company.
Ronald E. Walpole (1986),”Ilmu Peluang dan Statistika untuk Insinyur dan
Ilmuwan’(penerjemah: R.K. Sembiring), ITB, Bandung
Ronald E. Walpole (1992),”Pengantar Statistika”, PT Gramedia Pustaka Utama,
Jakarta

Daftar Pustaka
100
Riduwan , (2010). Dasar-dasar Statistika. Bandung : Alfabeta.
Sultan, A. And Artzt, A.F. (2011). The Mathematics That Every Secondary School Math
Teacher Needs To Know. New York: Routledge, Taylor & Francis.
Siregar, Syofian, (2010). Statistika Deskriptif untuk Penelitian Dilengkapi Perhitungan
Manual dan Aplikasi SPSS Versi 17. Jakarta. Rajawali Pers.
Somantri, Ating dan Sambas Ali Muhidin, (2006). Aplikasi statistika dalam
Penelitian. Bandung. Pustaka Ceria.
Sujana, dkk. (2000). Statistik Pendidikan. Bandung. Pustaka Setia.
Sudijono, Anas, (2009). Pengantar Statistik Pendidikan. Jakarta. PT RajaGrafindo
Persada.
Sudjana, M.A., M.SC. (2005). Metode Stastistika. Bandung. Tarsito
Sunardi, Slamet Waluyo, Sutrisno, Subagya,(2005). Matematika Kelas XI Program
Studi Ilmu Alam SMA & MA. Jakarta. Bumi Aksara
Soegyarto,(1997). Pengantar statistik. Jakarta.Rineka Cipta
Sutrisno Hadi,(1985). Statistik. Jogjakarta. Universitas Gadjah Mada
Sugiyono. (1997). Statistika dalam penelitian. Bandung. CV Alfabeta
Supranto J, (1994). Statistik. Teori dan Aplikasi. Jakarta. Erlangga
Urban, P. Owen, J. Martin, D. Haese, R. Haese, S. Bruce, M. (2004). Mathematics for the
international student: International Baccalaureate Mathematics HL Course.
Adelaide: Haese & Harris Publications.
Urban, P., Owen, J., Martin, D., and Haese, R. Mathematics for the International
Student: Mathematics HL. 2006. Adelaide: Haese&Harris Publications.
Widyantini dan Marsudi R,(2014). Bahan Belajar Statistika dan Peluang Jenjang SMP
Diklat Pasca UKG Berbasis MGMP dengan Pola In On In. Yogyakarta. PPPPTK
Matematika
Wirodikromo Sartono, (2007). Matematika untuk SMA kelas XI, Semester I, Jakarta.
Erlangga.
Zanzawi Soejoeti (1986), ”Metode Statistika 1”, Jakarta

Modul Matematika SMP KK C

More Related Content

What's hot

Viewers also liked

Similar to Modul Matematika SMP KK C

More from Edris Zahroini

Recently uploaded

Modul Matematika SMP KK C