ncuma_微分方程式.pptx
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本文介绍了微分方程式的数值求解方法，主要采用欧拉法（Euler method）来估算微分方程的解。通过设置起始条件和计算步骤，利用Python函数与循环分别计算不同起始值下的数值解。文档还展示了如何使用pylab库绘制微分方程解的图形。
![微分方程式數值求解 (二)
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國立中央大學數學系
為微分方程式解析解 的估算值 ，
如此逐步迭代產生以下計算步驟：
1. 設定計算區間在 [a,b] ，起始條件 y(a) = c
2. 執行 n 步，計算 h = (b-a)/n
3. 設定 = a 與 = c 與
4. 依次計算 i ∈ [0,n)](https://image.slidesharecdn.com/random-230920025008-e8013abd/85/ncuma_-pptx-3-320.jpg)
![微分方程式數值求解 (五)
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import pylab
#----------------------------------------
# y’ = x**(1/3) sin(x) + 0.2
#
# i.c. y(0) = val val = range(0,11,5)
#----------------------------------------
def fn(x) :
return x**(1/3) * pylab.sin(x) + 0.2
# 設定周邊空白為白色
pylab.figure(facecolor=’white’)
# 設定 [a,b] 與執行次數
a , b , n = 0 , 20*pylab.pi , 500
dx = (b-a)/n
# 設定 xs , ys
xs = [ a + i*dx for i in range(n+1) ]
ys = [None] * (n+1)
# c ：起始值，在此分別為 0 5 10 三數
# 以下計算相同微分方程式但不同起始值的解答
for c in range(0,11,5) :](https://image.slidesharecdn.com/random-230920025008-e8013abd/85/ncuma_-pptx-6-320.jpg)
![微分方程式數值求解 (六)
7
ys[0] = c
for i in range(1,n) :
ys[i+1] = ys[i] + dx * fn(xs[i])
sym = ’y(0) = ’ + str(ys[0])
pylab.plot(xs,ys,label=sym)
# 設定圖形標頭文字
pylab.title(r”$y’ = sqrt[3]{x}, sin(x) + 0.2$",fontsize=20)
# 設定 X 軸與 Y 軸文字
pylab.xlabel(’X’)
pylab.ylabel(’Y’)
# 設定各線條圖例位置
pylab.legend(loc=’upper left’)
pylab.show()](https://image.slidesharecdn.com/random-230920025008-e8013abd/85/ncuma_-pptx-7-320.jpg)
ncuma_微分方程式.pptx
- 3. 微分方程式數值求解 (二) 3 國立中央大學數學系 為微分方程式解析解 的估算值 ， 如此逐步迭代產生以下計算步驟： 1. 設定計算區間在 [a,b] ，起始條件 y(a) = c 2. 執行 n 步，計算 h = (b-a)/n 3. 設定 = a 與 = c 與 4. 依次計算 i ∈ [0,n)
- 4. 4 此公式需設定起始條件才能求解，若讓 y0 = c，c 要一開始就給定 ，整個數值求解才能開始。以上的數值求解法稱為 Euler method，這是 最簡單的數值法用來計算起始值問題(initial value problem)，缺點 為計算精度偏低，若要得到較好的結果，∆x 要越小越好。 本程式利用函式來定義 y’(x) 函數，並使用 c 迴圈來設定三個起始 值，數值分別為 0 、5 、10，對相同微分方程式，三個不同起始值代表 三個不同的微分方程式，可產生三個數值解。一般來說，所有起始值微分方 程的數值方法，離起始點越遠，誤差越大 。 微分方程式數值求解 (三)
- 6. 微分方程式數值求解 (五) 6 import pylab #---------------------------------------- # y’ = x**(1/3) sin(x) + 0.2 # # i.c. y(0) = val val = range(0,11,5) #---------------------------------------- def fn(x) : return x**(1/3) * pylab.sin(x) + 0.2 # 設定周邊空白為白色 pylab.figure(facecolor=’white’) # 設定 [a,b] 與執行次數 a , b , n = 0 , 20*pylab.pi , 500 dx = (b-a)/n # 設定 xs , ys xs = [ a + i*dx for i in range(n+1) ] ys = [None] * (n+1) # c ：起始值，在此分別為 0 5 10 三數 # 以下計算相同微分方程式但不同起始值的解答 for c in range(0,11,5) :
- 7. 微分方程式數值求解 (六) 7 ys[0] = c for i in range(1,n) : ys[i+1] = ys[i] + dx * fn(xs[i]) sym = ’y(0) = ’ + str(ys[0]) pylab.plot(xs,ys,label=sym) # 設定圖形標頭文字 pylab.title(r”$y’ = sqrt[3]{x}, sin(x) + 0.2$",fontsize=20) # 設定 X 軸與 Y 軸文字 pylab.xlabel(’X’) pylab.ylabel(’Y’) # 設定各線條圖例位置 pylab.legend(loc=’upper left’) pylab.show()