NOZIONI FONDAMENTALI DI GEOMETRIA RAZIONALE

NOZIONI FONDAMENTALI DI GEOMETRIA RAZIONALE

• 1.
  NOZIONI FONDAMENTALI DI GEOMETRIARAZIONALE
• 2.
  INTRODUZIONE ALLA GEOMETRIA RAZIONALE IGreci furono i primi a pensare a figure di tipo geometrico (dal Greco geo= terra, e metron= misura, che significa “misura della terra”) non esistenti in natura. Questo tipo di studio parte da enti primitivi e da concetti come punti, linee, piani e spazi. Oltre a questi termini ci saranno anche delle definizioni che ne spiegheranno altri. Infine, oltre a termini e definizioni, ci sono i postulati (dal greco richiedere) che sono affermazioni che esprimono realtà evidenti e non si dimostrano. Il termine “geometria razionale” viene dal fatto che come metodo scientifico non bisogna usare l’intuizione, ma il RAGIONAMENTO. Essa non è totalmente astratta perché molte proposizioni saranno molto uguali alla realtà.
• 3.
  TEOREMI ED ENTIPRIMITIVI Il TEOREMA è un’implicazione tra un’ipotesi e una tesi. Nel teorema: •L’enunciato esprime il contenuto dell’implicazione da verificare; •L’ipotesi esprime quello che si suppone sia vero, •La tesi esprime quello che si deve verificare; •La dimostrazione è il processo deduttivo che porta ad affermare la verità della tesi tutte le volte che sono verificate le ipotesi In geometria gli enti primitivi sono i termini che non sono definiti ed essi sono: punto, retta, piano, spazio, insieme, elemento, appartenenza, movimento rigido Ad esempio: Una figura è un insieme qualunque di punti e quindi: DEFINIZIONE FIGURA: si definisce figura un insieme, non vuoto, di punti.
• 4.
  POSTULATI FONDAMENTALI POSTULATI DIAPPARTENENZA POSTULATO 0 Lo spazio contiene infiniti punti, infinite rette e infiniti piani. Un piano contiene infiniti punti e infinite rette. Una retta contiene infiniti punti. POSTULATO 1 Due punti distinti appartengono ad una ed a una sola retta o anche per due punti distinti passa una e una sola retta POSTULATO 2 Tre punti non allineati appartengono a uno ed a uno solo piano o anche per tre punti non allineati passa uno e un solo piano oppure ancora tre punti non allineati individuano un piano e uno solo (fig. 4)
• 5.
  POSTULATO 3 Se duepunti di una retta appartengono a un piano, allora la retta è contenuta (o giace) nel piano. POSTULATO 4 Si può stabilire una relazione d’ordine tra i punti di una retta, ossia si possono ordinare i punti di una retta in modo che •Se due punti distinti A e B della retta, o A precede B oppure B precede A (fig.5 e 6)a •Se A precede B e B precede C, allora A precede C (fig.7) POSTULATO D’ORDINE
• 6.
  POSTULATO DI PARTIZIONEDEL PIANO POSTULATO 5 Una retta r di un piano divide il piano in due parti (non vuote) tale che •Se i punti A e B appartengono alla stessa parte, allora il segmento AB è contenuto in questa parte; •Se i punti C e D appartengono a parti diverse, allora il segmento CD ha in comune con r un punto (punto di intersezione tra la retta passante per C e per D e la retta r) (fig.16) POSTULATO DI EUCLIDE POSTULATO 6 Per un punto esterno a una retta passa una sola retta parallela alla retta data. (fig.24)
• 7.
  POSTULATO DEL TRASPORTODEI SEGMENTI POSTULATO 8 Dati una semiretta di origine O e un segmento, esiste sulla semiretta un segmento e uno solo di origine O e congruente al segmento dato. (fig.45) POSTULATO DEL TRASPORTO DEGLI ANGOLI POSTULATO 9 Dati in un piano una semiretta e un angolo, esiste uno e uno solo angolo, congruente all’angolo dato, che abbia uno dei lati coincidente con la semiretta, il vertice nell’origine della semiretta e che giaccia da una parte prefissata rispetto ad essa. (fig.48) POSTULATO DI DIVISIBILITA’ DELL’ANGOLO POSTULATO 10 Ogni angolo è divisibile in un numero n (n≥2) di parti congruenti
• 8.
  RETTE, SEMIRETTE, SEGMENTI, LINEE SEMIRETTA:data una retta orientata r e un suo punto qualsiasi O, si chiama semiretta di origine O l’insieme costituito del punto O stesso e dai punti di r che precedono (oppure che seguono) O nel verso fissato. (fig.8) SEGMENTO: si definisce segmento di estremi A e B l’insieme costituito dai punti A e B e da tutti i punti della retta AB compresi tra A e B. (fig.9) Se A e B coincidono, il segmento è nullo. SEGMENTI CONSECUTIVI: due segmenti aventi in comune solamente un estremo si dicono consecutivi. SEGMENTI ADIACENTI: due segmenti consecutivi e appartenenti alla stessa retta si dicono adiacenti.
• 9.
  DEFINIZIONE POLIGONALE: lafigura formata da più segmenti consecutivi si chiama poligonale (o spezzata) aperta. I segmenti di dicono lati della spezzata e i loro estremi vertici. Ogni vertice, tranne il primo e l’ultimo, è comune a due lati della spezzata; il primo e l’ultimo vertice si dicono estremi della poligonale. Se i due estremi si uniscono la poligonale è chiusa. Se i due vertici non sono uniti la poligonale è aperta. Essa può essere anche intrecciata. SEMIPIANO: si chiama semipiano avente per origine la retta r la figura costituita dalla retta r e da una delle due parti in cui tale retta divide il piano. POSIZIONI RECIPROCHE TRA RETTE FASCIO PROPRIO DI RETTE: l’insieme di tutte le rette di un piano che passano per uno stesso punto è detto fascio proprio di rette; il punto è detto centro del fascio. (fig.20) RETTE INCIDENTI: se due rette hanno un solo punto in comune esse si dicono incidenti. (fig.21) RETTE PARALLELE: due rette distinte di uno stesso piano (cioè complanari) si dicono parallele se non hanno alcun punto in comune. (fig.22) SGHEMBE: due rette non complanari che non hanno alcun punto in comune si dicono sghembe. (fig.23)
• 10.
  FASCIO IMPROPRIO DIRETTE: in un piano, l’insieme costituito da una retta e da tutte le sue parallele prende il nome di fascio improprio di rette parallele o fascio improprio. La proprietà comune a tutte le rette di un fascio improprio è quella di avere la stessa direzione. FIGURE CONCAVE E CONVESSE: una figura si dice convessa se, considerati due suoi punti qualsiasi, il segmento che li congiunge è interamente contenuto nella figura. Se esiste anche solo una coppia di punti per cui tale proprietà non si verifica, la figura è detta concava.
• 11.
  ANGOLI E POLIGONI ANGOLO:si definisce angolo ciascuna delle due parti in cui un piano è diviso da due semirette distinte con l’origine in comune, semirette comprese. Le semirette si dicono lati dell’angolo e ne costituiscono il contorno; l’origine comune si dice vertice dell’angolo. ANGOLI CONVESSI E CONCAVI: dei due angoli formati dalle semirette a e b si dice convesso quello che non contiene al suo interno i prolungamenti dei lati (fig.27) e si dice concavo quello che contiene al suo interno i prolungamenti dei lati. ANGOLO PIATTO: due semirette opposte determinano due angoli, ciascuno dei quali è detto angolo piatto. (fig.28) ANGOLO NULLO: se le due semirette sono sovrapposte l’angolo che si forma è un angolo nullo. (fig.29) ANGOLI CONSECUTIVI: due angoli di un piano si dicono consecutivi quando hanno lo stesso vertice e hanno in comune solamente i punti di un lato. (fig.30)
• 12.
  ANGOLI ADIACENTI: dueangoli di dicono adiacenti quando oltre a essere consecutivi, hanno i lati non comuni che giacciono su una stessa retta. (fig.31) POLIGONO: si definisce poligono la figura formata da una poligonale chiusa (non intrecciata) e dalla parte di piano da essa definita. POLIGONI CONVESSI E CONCAVI: un poligono di dice convesso se giace da una stessa parte rispetto a ciascuna retta ottenuta prolungando ognuno dei lati. Un poligono si dice concavo se il prolungamento di un suo lato lo divide in due parti. (fig.34) il numero lati di un poligono sono sempre uguali al numero dei vertici dello stesso e da essi si ottiene il nome del poligono (triangolo, quadrangolo, pentagono, esagono, ecc…) DIAGONALE E CORDA DI UN POLIGONO: il segmento che ha per estremi due vertici non consecutivi di un poligono si chiama diagonale. Si chiama invece corda ogni segmento che ha per estremi due punti qualsiasi del contorno del poligono non appartenenti ad uno stesso lato.
• 13.
  CONGRUENZA TRA FIGUREPIANE FIGURE CONGRUENTI: due figure si dicono congruenti (o isometriche o sovrapponibili) quando è possibile trasportare, con un movimento rigido, la prima figura in modo che coincida con la seconda. (fig.39) POLIGONI EQUILATERI E EQUIANGOLI: un poligono è detto equilatero se ha tutti i la ti congruenti tra loro ed è detto equiangolo se ha gli angoli tutti congruenti tra loro. POLIGONO REGOLARE: un poligono è detto regolare se è sia equilatero sia equiangolo.
• 14.
  SOMMA E DIFFERENZADI SEGMENTI E DI ANGOLI La SOMMA tra due segmenti AB e BC si può fare se i due segmenti sono adiacenti e quindi si ottiene AB+BC. La DIFFERENZA tra due segmenti di cui il primo è maggiore o congruente al secondo è quel segmento che addizionato al secondo è congruente al primo. Queste operazioni hanno le seguenti proprietà: •Commutativa •Associativa •Somme di segmenti rispettivamente congruenti MULTIPLO DI UN SEGMENTO: si definisce multiplo di un segmento a, secondo il numero naturale n≥2, la somma di n segmenti congruenti ad a. (fig.53) PUNTO MEDIO DI UN SEGMENTO: si definisce punto medio di un segmento il punto, interno al segmento, che lo divide in due parti congruenti.
• 15.
  SIMMETRIA RISPETTO AUN PUNTO: due punti A e B sono simmetrici rispetto a un punto M quando il punto M è il punto medio del segmento AB (es. fig.55) La somma tra due angoli AOB e BOC consecutivi e l’angolo AOC, ma si possono sommare anche angoli non consecutivi come l’esempio della fig.56. La differenza di due angoli, di cui il primo è maggiore o congruente al secondo, è l’angolo che sommato al secondo dà come risultato il primo. Anche per gli angoli ci sono le regole delle somme e differenze di angoli rispettivamente congruenti che sono congruenti. Ci sono pure i multipli e i sottomultipli. BISETTRICE DI UN ANGOLO: si chiama bisettrice di un angolo di vertice O la semiretta, interna all’angolo, che divide l’angolo in due parti congruenti.
• 16.
  ANGOLI ESPLEMENTARI: dueangoli sono detti esplementari se hanno per somma un angolo giro. ANGOLI SUPPLEMENTARI: due angoli sono detti supplementari se hanno per somma un angolo piatto. ANGOLO RETTO: la metà di un angolo piatto si dice angolo retto. ANGOLI ACUTI E OTTUSI: un angolo minore di un angolo retto è detto angolo acuto; un angolo convesso maggiore di un angolo retto e minore di un angolo piatto è detto ottuso. ANGOLI COMPLEMENTARI: due angoli la cui somma sia congruente a un angolo retto si dicono complementari. RETTE PERPENDICOLARI: due rette si dicono perpendicolari se, incontrandosi, formano quattro angoli retti. PROIEZIONE DI UN SEGMENTO SOPRA UNA RETTA: si dice proiezione di un segmento sopra una retta il segmento che ha per estremi le proiezioni sulla retta degli estremi del segmento dato. (fig.69) ASSE DI UN SEGMENTO: in un piano, l’asse di un segmento è la retta passante per il punto medio del segmento e perpendicolare al segmento stesso. PUNTI SIMMETRICI RISPETTO AD UNA RETTA: due punti A e B si dicono simmetrici rispetto a una retta r, se r è alle del segmento AB. ANGOLI OPPOSTI AL VERTICE: due angoli convessi si dicono opposti al vertice se i lati di uno sono i prolungamenti dell’altro. TEOREMA 1 Angoli opposti al vertice sono congruenti.
• 17.
  MISURA DEI SEGMENTI,DEGLI ANGOLI E DELLE SUPERFICI LUNGHEZZA Misurare un segmento AB significa metterlo a confronto con un’unità di misura u. Da esse si possono trarre tre casi: Primo caso: AB è un multiplo di u secondo un numero naturale n. In questo caso, AB=n*u, la misura di AB è il numero positivo n e quindi AB=n. Secondo caso: il segmento AB è multiplo secondo n del sottomultiplo secondo m. AB=n*(1/m*u)=n/m*u. la misura di AB rispetto a u è il numero razionale n/m, cioè AB=n/m Terzo caso: il segmento AB non è un sottomultiplo di u, cioè non esiste un segmento sottomultiplo sia di u che di AB. In questo caso si riescono a conoscere solo valori approssimati per difetto ed eccesso; essi sono numeri irrazionali. Nei primi due casi AB e u si dicono commensurabili; nel terzo caso invece AB e u sono incommensurabili. Si conclude così che dato un qualsiasi segmento AB esiste sempre un numero reale positivo che costituisce la misura di AB rispetto a un dato segmento scelto a piacere come unità di misura.