Penyelesaian sistem persamaan linear dengan

Penyelesaian sistem persamaan linear dengan

• 1.
  Seminar matematika PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR DENGAN METODE ITERASI JACOBI Nama : Baidilah Nim : 09221008 Angkatan : 2009 PROGRAM STUDI TADRIS MATEMATIKA FAKULTAS TARBIYAH INSTITUT AGAMA ISLAM NEGERI (IAIN) RADEN FATAH PALEMBANG TAHUN 2012
• 2.
  PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAANLINEAR DENGAN METODE ITERASI JACOBI A. PENDAHULUAN 1. Latar Belakang Masalah Sistem persamaan linear yang terdiri dari n persamaan dengan n variabel x1, x2, ..., xn (Anton, 2007: 24), dinyatakan dengan a11x1 + a12x2 +......................+ a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 +......................+ a2nxn = b2 .......... + .............+....................+........... = ..... an1x1 + an2x2 +......................+ annxn = bn Suatu persamaan linear tidak melibatkan hasil kali atau akar peubah, semua peubah hanya muncul sekali dengan pangkat satu dan tidak muncul sebagai peubah bebas dari sebuah fungsi trigonometri, logaritma, atau eksponensial (Anton, 2007:22). Berikut ini bukan persamaan linear: Tidak semua sistem persamaan linear mempunyai penyelesaian (Anton, 2007:23), misalnya:
• 3.
  Jika kita mengalikanpersamaan kedua dari sistem dengan ½ akan terbukti bahwa tidak ada penyelasaian karena sistem ekuivalen yang di hasilkan, mempunyai persamaan yang kontradisi Sebuah sistem persaman yang tidak mempunyai penyelesaian disebut sebagai tak konsisten, jika paling sedikit terdapat satu penyelesaian maka sistem itu di sebut konsisten. Sistem persamaan linear dapat diselesaikan dengan metode langsung atau dengan metode iterasi. Dengan menggunakan metode langsung misalnya Gauss dan Variasi-variasinya. Dalam metode eliminasi Gauss melibatkan banyak pembulatan galat, pembulatan yang terjadi pada elimainasi gauss (maupun gauss-Jordan) dapat menyebabkan solusi yang diperoleh “jauh” dari solusi sebenarnya. Dengan metode iterasi, galat pembulatan dapat diperkecil, karena kita dapat meneruskan iterasi sampai solusi seteliti mungkin, sesuai denga batas galat yang kita perbolehkan, dengan kata lain besar galat dapat dikendalikan sampai batas yang bisa diterima(Munir,2010:173). Ada dua metode iterasi yang sering digunakan, yaitu metode Jacobi dan metode Gauss-Seidel. Metode Jacobi dikenalkan oleh Carl Jacobi (1804-1851). Metode iterasi Jacobi merupakan proses rekursi berulang untuk mendekati bilangan yang tidak di ketahui. Sebagai titik awal pada rekursi tersebut di perlukan nilai awal dan biasanya adalah X0, pada proses selanjutnya nilai yang sudah di ketahui tahapan sebelumnya X1 di pergunakan untuk mencari nilai X pada tahapan selanjutnya X2. Proses tersebut terus berulang hingga di peroleh nilai X yang sesungguhnya atau berhenti jika toleransi kesalahan tertentu telah di capai.(Rumita,2009:302). 2. Perumusan Masalah Berdasarkan uraian di atas, permasalahan yang dibahas yaitu bagaimana penurunan algoritma metode Jacobi? bagaimana menganalisis galat secara numerik metode Jacobi? bagaimana penyelesaian sistem persamaan linear dengan metode jacobi pada suatu kasus?
• 4.
  3. Tujuan Tujuan makalahini adalah menjelaskan tentang penurunan algoritma metode Jacobi menjelaskan bagaimana menganalisis galat secara numerik metode Jacobi menjelaskan bagaimana penyelesaian sistem persamaan linear dengan menggunakan metode jacobi B. PEMBAHASAN 1. Penurunan Algoritma Jacobi Kita bahas sistem persamaan linear(Anton, 2007:24): a11x1 + a12x2 +......................+ a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 +......................+ a2nxn = b2 .......... + .............+....................+........... = ..... an1x1 + an2x2 +......................+ annxn = bn persamaan ke-i dari persamaan di atas adalah ai1x1 + ai2x2 + aiixi +......................+ ainxn = bi dimana i = 1, 2, 3, ..., n. dapat diekspresikan sebagai Dengan i = 1,2,3,....................n Sehingga dapat diperoleh penyelesaian persamaan ke-i Sehingga algaritma metode jacobi dapat di apresiasikan sebagai(Rumita, 2009:303): , k=1,2,3..........n
• 5.
  Untuk menyelesikan sistempersamaan linear dengan metode Jacobi diperlukan suatu nilai pendekatan awal yaitu x0. Nilai x0 biasanya tidak diketahui dan dipilih x0=0.(Luknanto, 2001:50) 2. Analisis Error Pada Metode Jacobi Menurut May(dalam Nugroho, 2003:3)Untuk menyelesaikan persamaan linear dengan metode iterasi, koefisien matrik A dipecahkan manjadi dua bagian , N dan P, sedemikian hingga A=N-1P.perhatika bahwa : Sehingga di peroleh: N = diag(a11,a22,............ann)= P= Karena A=N-1P maka: A= x A= x A=
• 6.
  Dengan demikian, dapatdi peroleh Oleh karena itu, syarat cukup agar motode jocobi konvergen adalah: Dengan demikian matode jacobi akan konvergen jika koefisien matrik dominan secara diagonal, Artinya elemen pada diagonal utama merupakan nilai yang paling besar dari jumlah setiap barisnya(Rumita, 2009:302). Dalam hal ini perlu dicatat bahwa menyusun ulang persamaan akam membuat koefisien matrik dominan secara diagonal. Mengubah bentuk persaman linear simultan menjadi bentuk eksplisit dari x1,x2,........xn. sebagai berikut: (a11 )x1 + a12x2 +......................+ a1nxn = b1 a21x1 +( a22 )x2 +......................+ a2nxn = b2 .......... + .............+....................+........... = ..... an1x1 + an2x2 +......................+ (ann )xn = bn menjadi : Iterasi jacoby dapat dihentikan jika toleransi kesalahan tertentu talah tercapai artinya : absolut nilai yang baru di kurang nilai sebelumnya di bagi nilai yang baru dan di kali 100% harus kurang dari toleransi kesalahan.
• 7.
  Di mana adalahtoleransi kesalahan yang di kehendaki. 3. Penerapan metode jacobi dalam kasus Di berikan sistem persamaan linear : -b + 2a =3 (a) 4b + 2a + y = 11 (b) 2b + a + 4y = 16 (c) Tentukan nilai a,b, dan y pada persamaan di atas dengan galat <0.01!.... dengan menggunakan metode jacobi, dapat diketahui bahwa sistem persamaan linear di atas tidak konvergen. Hal ini dikarenakan sistem tersebut tidak dominan secara diagonal, oleh karena itu untuk memperoleh penyelasaian yang konvergan sistem tersebut perlu diatur kembali agar persamaan tersebut dominan secara diagonal, menjadi: 4b + 2a + y = 11 -b + 2a =3 2b + a + 4y = 16 Sehingga menurut algoritma jacobi sistem persaman di atas dapat di bentuk menjadi dengan mensubtitusikan nilai xo=1 maka di dapat K B Galat b A Galat a y Galat y 0 1 - 1 - 1 -
• 8.
  1 2 50 2 50 3.25 69.2307 2 0.9375 113.333 2.5 20 2.5 30 3 0.875 7.1428 1.9687 26.987 2.90625 13.9784 4 1.0390 15.779 1.9375 1.5587 3.0703 5.343 ... .... .... ...... 11 1.0001 0.034 1.9999 0.005 3.0001 0.01 12 1.00002 0.008 2.0000 0.005 2.9999 0.006 Sehingga himpunan penyelasaian persamaan tersebut adalah a=1, b=2, y=3. Dalam menyeselaikan sistem persamaan linear dengan metode iterasi, perhitungan manual sangat tidak efisien(Nugroho, 2003:5). Oleh karena itu perlu di buat program- program diantaranya dengan menggunakan delphi , seperti: procedure TForm1.Button1Click(Sender: TObject); var a11,a12,a13,a21,a22,a23,a31,a32,a33,c1,c2,c3:real; galatx3,x3lama,x3baru,x2baru,x1baru,galatx1,galatx2,x1lama,x2lama : real; i:integer; begin a11:=4;a12:=2;a13:=1;c1:=11; a21:=-1;a22:=2;a23:=0;c2:=3; a31:=2;a32:=1;a33:=4; c3:=16; galatx1:=1;galatx2:=1;galatx3:=1; x3baru:=0;x2baru:=0;x1baru:=0; x1lama:=1; x2lama:=1; x3lama:=1; i:=1; while (galatx1>0.01) or (galatx2>0.01) or (galatx3>0.01) do
• 9.
  begin x1baru:=(c1-(a12*x2lama)-(a13*x3lama))/a11; x2baru:=(c2-(a21*x1lama)-(a23*x3lama))/a22; x3baru:=(c3-(a31*x1lama)-(a32*x2lama))/a33; galatx1:=abs((x1baru-x1lama)/x1baru)*100; galatx2:=abs((x2baru-x2lama)/x2baru)*100; galatx3:=abs((x3baru-x3lama)/x3baru)*100; x1lama:=x1baru; x2lama:=x2baru; x3lama:=x3baru; listbox1.Items.add(inttostr(i)); listbox2.Items.Add(format('%8.5f',[x1baru])); listbox3.Items.Add(format('%8.5f',[galatx1])); listbox4.Items.Add(format('%8.5f',[x2baru])); listbox5.Items.Add(format('%8.5f',[galatx2])); listbox6.Items.Add(format('%8.5f',[x3baru])); listbox7.Items.Add(format('%8.5f',[galatx3])); i:=i+1; end; edit1.Text:=format('%8.4f',[x1baru]); edit2.Text:=format('%8.4f',[x2baru]); edit3.Text:=format('%8.4f',[x3baru]); end; diatas merupakan algoritmauntuk metode jacobi dalam aplikasi delphi. adapun tampilannya adalah sebagai berikut :
• 11.
  C. KESIMPULAN 1.Algoritma metode Jacobi adalah , k=1,2,3..........n Dengan niai pendekatan awal x0 biasanya dipilih nol 2. Untuk menganalisis galat metode jakobi kita kita bisa menggunakan Di mana adalah toleransi kesalahan yang di kehendaki. artinya : absolut nilai x yang baru di kurang nilai x sebelumnya di bagi nilai x yang baru dan di kali 100% harus kurang dari toleransi kesalahan. 3. Dari persoalan sistem persaman linear 4b + 2a + y =11, -b + 2a + 3, 2b + a + 4Y = 11, dengan galat <0,01% penyelesaian dengan menggunakan metode iterasi Jacoby hasil untuk mendapatkan hasil ,b=1 galat b=0.008%, a= 2 galat a=0.005%, y=3 galat y=0.006%. memerlukan 12 iterasi.
• 12.
  DAFTAR PUSTAKA Rumita.2009.matrik persamaanlinier dan pemrograman linier. Bandung: Rekayasa Sains Munir, Renaldi.2008.metode numerik.bandung:informatika Anton, Howard.2003.dasar-dasar aljabar linear. Tanggerang: Binarup aksara publisher Luknanto, djoko.2001.metoda numerik. Yokyakarta : UGM Nugroho, susilo.2003.penyelesaian sistem persamaan linear dengan metode iteras.jurnal matematika.
• 13.
  PROGRAM STUDI MATEMATIKA FAKULTAR TARBIYAH INSTITUT AGAMA ISLAM NEGERI (IAIN) RADEN FATAH PALEMBANG KARTU BIMBINGAN SEMINAR MATEMATIKA Nama : Baidilah Nim : 09221008 Program study : Tadris Matematika Judul Seminar : penyelesaian sistem persamaan linear dengan Metode iterasi jacobi Pembimbing : Hartatiana M.Pd no Tanggal Saran Paraf