Pertemuan 2 limit dan kontinuitas

Pertemuan 2 limit dan kontinuitas

• 1.
  LIMIT DAN KONTINUITAS TIMPENGAJAR KALKULUS 2
• 2.
  LIMIT  Perhatikan fungsiyang ditentukan oleh rumus :  f(x) tidak terdefinisi pada x = 0, karena di titik ini f(x) bernilai 0/0 (tidak punya arti), tetapi kita masih dapat menanyakan apa yang terjadi pada f(x) bilamana x mendekati 0 atau apakah f(x) mendekati beberapa bilangan tertentu bilamana x mendekati 0 ?  Jawaban Limit (x2 – x)/2x untuk x mendekati 0 adalah –1/2. x xx xf 2 )( 2  
• 3.
  KONSEP LIMIT  Misalkany=f(x) suatu fungsi, a dan L bilangan riil sedemikian hingga: • Bila x dekat a tetapi tidak sama dg a (x≠a), f(x) dekat ke L • Bila x mendekati a tetapi x≠a, maka f(x) mendekati L • Misalkan f(x) dapat kita buat sedekat mungkin ke L dengan membuat x cukup dekat a tetapi tidak sama dengan a  Maka dapat dikatakan bahwa limit f(x) bila x mendekati a adalah L, LxfLim ax   )(
• 4.
  LIMIT FUNGSI 2VARIABEL  Misalkan f suatu fungsi dua variabel ,dan andaikan f didefinisikan pada setiap titik dalam daerah lingkaran dengan pusat (xo,yo) kecuali pada titik (xo,yo).  Menyatakan bahwa jika diberikan sebarang terdapat bilangan >0 sedemikian hingga f(x,y) memenuhi dimana jarak antara (x,y) dan (xo,yo) memenuhi Lyxf oo yxyx   ),(lim ),(),( ,0   Lyxf ),(  2 o 2 o )y-(y)x-(x0
• 5.
  LIMIT FUNGSI 3VARIABEL  Misalkan f suatu fungsi tiga variabel ,dan andaikan f didefinisikan pada setiap titik dalam daerah lingkaran dengan pusat (xo,yo,zo) kecuali pada titik (xo,yo,zo).  Menyatakan bahwa jika diberikan sebarang terdapat bilangan >0 sedemikian hingga f(x,y,z) memenuhi dimana jarak antara (x,y,z) dan (xo,yo,zo) memenuhi Lzyxf ooo zyxzyx   ),,(lim ),,(),,( ,0  Lzyxf ),,(  2 o 2 o 2 o )z-(z)y-(y)x-(x0
• 6.
  SIFAT-SIFAT LIMIT Theorema Jika dan, maka: a. , jika c suatu konstanta b. c. d. e. , jika L2 0 1 ),(),( ),(lim Lyxf oo yxyx   2 ),(),( ),(lim Lyxg oo yxyx   1 ),(),( ),(lim cLyxcf oo yxyx   21 ),(),( )],(),([lim LLyxgyxf oo yxyx   21 ),(),( )],(),([lim LLyxgyxf oo yxyx   21 ),(),( )],(),([lim LLyxgyxf oo yxyx   2 1 ),(),( ),( ),( lim L L yxg yxf oo yxyx   
• 7.
  SIFAT-SIFAT LIMIT Theorema Jika dan, maka: a. , jika c suatu konstanta b. c. d. e. , jika L2 0 1 ),,(),,( ),,(lim Lzyxf ooo zyxzyx   2 ),,(),,( ),,(lim Lzyxg ooo zyxzyx   21 ),,(),,( )],,(),,([lim LLzyxgzyxf ooo zyxzyx   21 ),,(),,( )],,(),,([lim LLzyxgzyxf ooo zyxzyx   21 ),,(),,( )],,(),,([lim LLzyxgzyxf ooo zyxzyx   2 1 ),,(),,( ),,( ),,( lim L L zyxg zyxf ooo zyxzyx    1 ),,(),,( ),,(lim cLzyxcf ooo zyxzyx  
• 8.
  KONTINUITAS  Suatu fungsidua variabel f disebut kontinu di titik (xo,yo) jika 1. f(xo,yo) terdefinisi 2. ada 3. ),(lim ),(),( yxf oo yxyx  ),(),(lim 00 ),(),( yxfyxf oo yxyx  
• 9.
  KONTINUITAS  Suatu fungsitiga variabel f disebut kontinu di titik (xo,yo,zo) jika 1. f(xo,yo,zo) terdefinisi 2. ada 3. ),,(lim ),,(),,( zyxf ooo zyxzyx  ),,(),,(lim 000 ),,(),,( zyxfzyxf ooo zyxzyx  
• 10.
  Theorema  Jika gdan h suatu fungsi satu variabel yang kontinu, maka f(x,y)=g(x)h(y) adalah suatu fungsi kontinu dari x dan y  Jika g suatu fungsi kontinu satu variabel dan h fungsi kontinu dari dua variabel, maka fungsi komposisi f(x,y) = g(h(x,y)) adalah fungsi kontinu dari x dan y
• 11.
  CONTOH  Fungsi kontinu,karena f(x,y) merupakan perkalian dua fungsi kontinu dan .  Fungsi adalah fungsi kontinu bersyarat, fungsi tersebut kontinu disetiap titik kecuali pada hyperbola xy=1.  Tunjukan bahwa fungsi kontinu pada titik (-1,2) 52 3),( yxyxf  2 3)( xxg  5 )( yyh  xy yx yxf   1 ),( 23 22 ),( yx xy yxf  
• 12.
  , jika fungsif(x,y) mendekati L pada saat (x,y)  (xo, yo) untuk semua kurva kontinu yang melalui titik (xo, yo). Jika dua kurva kontinu melalui titik (xo, yo) dimana mempunyai limit f(x,y) berbeda, atau jika sebarang kurva menyebabkan f(x,y) tidak mempunyai limit, maka tidak ada. Hal yang sama berlaku untuk fungsi tiga variabel. Lyxf oo yxyx   ),(lim ),(),( ),(lim ),(),( yxf oo yxyx 