Probability

DALIL-DALIL PROBABILITAS(SSTS 2305 / 3 sks)1Dra. Noeryanti, M.Si

2Pengantar:Teori probabilitas akan mempelajari tentang percobaan-percobaan yang sifatnya acak (atau tak tentu). Seperti contoh-contoh pada bab sebelumnya, walaupun secara teoritis dapat menghitung titik-titik pada ruang sampel, tetapi tidak pasti kapan akan munculnya titik-titik tersebut. Pokok bahasan disini memberikan konsep dasar probabilitas yang dapat digunakan dalam menarik kesimpulan dari suatu percobaan yang memuat suatu kejadian yang tidak-pasti. Yaitu suatu percobaan yang diulang-ulang dalam kondisi yang sama akan memberikan hasil yang berbeda-beda.

3Kompetensi:Setelahmempelajarimateripokokbahasandisini, mahasiswadiharapkan:Mampumenggunakankonsep-konsepdasarteoriProbabilitassecarabenar.Mampumelakukanoperasihitungan-hitungan yang berkaitandenganperubahacak, probabilitassuatukejadian, aturanpenjumlahan, probabilitasbersyarat, aturanperkaliandankaidahbayesTerampildalammengerjakansoal-soaltugasdanlatihan.

4Daftar Isi Materi: Perubah Acak Suatu Kejadian

Aturan Bayes2.1. Pengertian Perubah AcakPerubah acak (variabel random)X adalah suatu cara pemberian nilai angka kepada setiap unsur dalam ruang sampel S. Perubah acak diskrit adalah perubah acak yang nilainya sebanyak berhingga (sama banyaknya dengan bilangan cacah). Perubah acak kontinu adalah perubah acak yang nilainya sama dengan setiap nilai dalam sebuah interval. Dan distribusi peluang adalah sebuah tabel yang mencantumkan semua nilai perubah acak X beserta nilai peluangnya. 5

Ruang sampel diskritadalah ruang sampel yang memuat perubah acak diskrit, dimana banyaknya elemen dapat dihitung sesuai dengan bilangan cacah (digunakan untuk data yang. berupa cacahan). Misalnya: banyak produk yang cacat, banyaknya kecelakaan lalu lintas di suatu kota dan sebagainyaRuang sampel kontinu adalah ruang sampel yang memuat perubah acak kontinu, yaitu memuat semua bilangan dalam suatu interval (digunakan untuk data yang dapat diukur). Misalnya: indeks prestasi, tinggi badan, bobot, suhu, jarak, umur dan lain sebagainya 6

7Contoh(2.1):Kembalipadapercobaanpadacontoh (1.1) ruangsampelnyaMisalnya : X = perubah acak yang menyatakanjumlahtitikdadu yang munculJadi: X={2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}Ruang sampel kejadian ini dikatakan sebagai ruang sampel diskret

2.2. Probabilitas Suatu Kejadian Konsep probabilitas digunakan dalam menarik kesimpulan dari eksperimen yang memuat suatu kejadian yang tidak pasti. Misalnya: eksperimen yang diulang-ulang dalam kondisi yang sama akan memberikan hasil yang berbeda-beda. Hasil eksperimen ini, sangat bervariasi dan tidak tunggal. Probabilitas dalam ruang sampel berhingga adalah bobot yang diberi nilai antara 0 dan 1. Sehingga kemungkinan terjadinya suatu kejadian yang berasal dari percobaan statistik dapat dihitung. Tiap-tiap hasil eksperimen dianggap berkemungkinan sama untuk muncul, akan diberi bobot yang sama. Dan jumlah bobot semua unsur dalam ruang sampel S adalah 18

Definisi (2.1)Probabilitas suatu kejadian A dalam ruang sampel S dinyatakan dengan:Definisi (2.2)Jika suatu kejadian menghasilkan N-macam hasil yang berbeda, dimana masing-masing kejadian mempunyai kemungkinan yang sama, maka probabilitas kejadian A ditulis sebagai:Dimana: = banyaknya kemungkinan yang muncul pada kejadian A = banyaknya kemungkinan yang muncul pada ruang sampel S 9

Contoh (2.2): Pada pelemparan sepasang dadu contoh (1.1) dengan Misalnya: A = Kejadian munculnya jumlah ttk 7 B = Kejadian munculnya kedua titik sama C = Kejadian munculnya jumlah titik 11 Diperoleh:10

Contoh(2.3):Percobaanpadacontoh (1.2) dengan Misalnya : A = kejadianjikasemua pasien akan sembuh B = kejadianjikaada 50% lebihpasienygsembuhSehinggadiperoleh : dan11

122.3. Aturan PenjumlahanDi bawah ini diberikan suatu aturan penjumlahan yang sering dapat menyederhanakan perhitungan probabilitas..Teorema (2.1): BilaA dan B suatukejadiansembarang, makaAkibatnya:Jika A dan B kejadian yang terpisahmakaJikamerupakansuatusekatandariruangsampel S, dansalingterpisah, maka

13Teorema (2.2): Untuk tiga kejadian A, B dan C, makaContoh (2.4) : Bila probabilitas seseorang membeli mobil warna hijau 0.09, putih 0.15, merah 0.21 dan biru 0.23. Berapa probabilitas seseorang pembeli akan membeli mobil baru seperti salah satu dari warna tersebut?Jawab :Misalnya H= hijau, T=putih, M=merah dan B=biru

14Contoh(2.5):Probabilitasseseorangmahasiswa lulus matakuliahStatistika 2/3 danprobabilitas lulus matakuliahmatematika 4/9. Jika p robabilitas lulus keduamatakuliah 1/4, makatentukanprobabilitasmahasiswaakan lulus paling sedikitsatumatakuliah?Jawab: misalkan; A = himpunanmahasiswa yang lulus matakuliahstatistika, B = himpunanmahasiswa yang lulus matakuliahmatematika, himpunanmahasiswa yang lulus keduamatakuliahMakapeluangmahasiswaakan lulus paling sedikitsatumatakuliahadalah

15Contoh(2.6):Berapakahpeluanguntukmendapatkanjumlahtitikdadu yang muncul 7 atau 11 jikaduabuahdadudilantunkan?Jawab:Misal: A = kejadianmunculnyajumlahttk 7 ; B = Kejadianmunculnyajumlahtitik 11 ; kejadianmunculnyajumlahtitikdadu 7 atau 11Karena A dan B salingasing, atau , sehinggaJadiuntukmendapatkanjumlahtitikdadu yang muncul 7 atau 11 adalah

16Contoh(2.7):Jikaproabilitasseseorang yang membelimobilakantertarikmemilihwarnahijau, putih, merah, ataubiru yang masing-masingmempunyaiproabilitas 0,09; 0,15; 0,21; 0,23. Berapakahproabilitasbahwaseorangpembelitertentuakanmembelimobilbaruberwarnasepertisalahsatudariwarnatersebut?Jawab: misal, H = seseorangmemilihwarnamobilhijau T = seseorangmemilihwarnamobilputih M = seseorangmemilihwarnamobilmerah B = seseorangmemilihwarnamobilbiruKe-empatkejadiantersebutsalingterpisah.Jadiprobabilitasbahwaseorangpembeliakanmembelimobilberwarnasepertisalahsatudariwarnatersebutadalah

Teorema (2.3): Jika A dan dua kejadian yang beromplementer, makaContoh(2.8):Probabilitasseorangmontirmobilakanmemperbaikimobilsetiapharikerjaadalah 3, 4, 5, 6, 7, atau 8 lebihdenganprobabilitas 0,12; 0,19; 0,28; 0,24; 0,10; dan 0,07. Berapaprobabilitasbahwaseorangmontirmobilakanmemperbaiki paling sedikit 5 mobilpadaharikerjaberikutnya?Jawab:MisalE = kejadianbahwa paling sedikitada 5 mobil yang diperbaiki = kejadiankurangdari 5 mobil yang diperbaikiSehingga; dimanaJadi17

18Contoh(2.9):Duabuahbarangdipilihsecaraacakdari 12 barangdiantaranyaada 4 barangberkondisicacat (rusaK). Tentukanprobailitasbahwa: (a). keduabarangtersebutcacat (b). keduabarangberkondisibaik 4R 2 (c). paling sedikitsatubarangcacat 8BJawab: 12Banyaknyacarauntukmemilih 2 barangdari 12 barang =Dimisalkan : A = kejadianterpilihnyakeduabarangcacat B= kejadianterpilihnyakeduabarangbaikMaka

19a). Probabilitas untuk mendapatkan kedua barang cacat = b). Probabilitas untuk mendapatkan kedua barang baik = c). Misalkan; = probabilitas terpilihnya 0- barang yang cacat = probabilitas terpilihnya 1- barang yang cacat = probabilitas terpilihnya 2- barang yang cacat Probabilitas paling sedikit ada satu barang cacat = Probabilitas (1-barang yang cacat , 2- barang yang cacat) = P(1) + P(2) = Jadi probabilitas paling sedikit ada satu barang cacat adalah

202.4. Probabilitas BersyaratDefinisi (2.3): Probabilitas bersyarat kejadian B, jika kejadian A diketahui ditulis didefinisikan sebagai:Contoh(2.10):Ruangsampelmenyatakanpopulasiorangdewasa yang telahtamat SMU disuatukotatertentudikelompokanmenurutjeniskelamindan status bekerjasepertidalamtabelberikut:Tabel 2.1. PopulasiOrangDewasaTelahTamat SMU

21 Daerah tersebutakandijadikandaerahpariwisatadanseseorangakandipilihsecaraacakdalamusahapenggalakankotatersebutsebagaiobyekwisatakeseluruhnegeri. Berapaprobabilitaslelaki yang terpilihternyataberstatusbekerja?Jawab:Misalkan ; E = orang yang terpilihberstatusbekeja M = Lelaki yang terpilihProbabilitaslelaki yang terpilihternyataberstatusbekerjaadalah Dari tabeldiperoleh: danJadi:

22Definisi (2.4):Dua kejadian A dan kejadian B dikatakan bebas jika dan hanya dan . Jika tidak demikian, A dan B tidak bebas Contoh(2.11):Suatupercobaban yang menyangkutpengambilan 2 kartu yang diambilberturutandarisatu pack karturemidenganpengembalian. Jika A menyatakankartupertama yang terambil as, dan B menyatakankartukeduaskop(spade)Karenakartupertamadikembalikan, makaruangsampelnyatetap, yang terdiriatas 52 kartu, berisi 4As dan13skop.JadidandiperolehJadidikatakan A dan B bebas

232.5. Aturan PerkalianTeorema(2.4): Jika kejadian A dan B dapat terjadi secara serentak pada suatu percobaan, maka berlaku dan juga berlakuContoh(2.12):Sebuahkotakberisi 20 sekering, 5 diantaranyacacat. Bila 2 sekeringdikeluarkandarikotaksatudemisatusecaraacak (tanpadikembalikan) berapaprobabilitaskeduasekeringiturusak?Jawab:misalkan A = menyatakansekeringpertamacacat B = menyatakansekeringkeduacacat

24 = menyatakan bahwa kejadian A terjadi dan kemudian B terjadi setelah A terjadi Probabilitas mengeluarkan sekering cacat yang pertama =1/4 Probabilitas mengeluarkan sekering cacat yang ke-dua = 4/19 Jadi Contoh(2.13):Sebuahkantongberisi 4 bola merahdan 3 olahitam, kanongkeduaberisi 3 bola merahdan 5 bola hitam. Satu bola diambildarikantongpertama, dandimasukankekantongkeduatanpamelihathasilnya. Berapaprobabilitasnyajikakitamengambil bola hitamdarikantongkedua?.Jawab:Misalkan: masing-masing menyatakan pengamila 1 bola

25hitam dari kantong 1, 1 bola hitam dari kantong 2, dan 1 bola merah dari kantong 1. Kita ingin mengetahui gabungan dari kejadian terpisah dan .Berbagai kemunginan dan probabilitasnya digambar sbb: H=6/9 H=3/7 M=3/9 M=4/7 H=5/9 M=4/9 Kantong 23M, 6HKantong 14M,3HKantong 24M, 5HGambar (2.1). Diagram pohon untuk contoh (2.12)

26Jadi Teorema(2.4): Dua kejadian A dan B dikatakan bebas jika dan hanya jikaTeorema(2.5): Jika kejadian-kejadian yang bebas, maka

27Contoh(2.14): Dalamsebuahkotakterdapat 7-bolamberwarnamerahdan 5-berwarnaputih, jikasebuahbolamdiambildarikotaktersebutdiamatiwarnanyakemudiandikembalikanlagikedalamkotak, dandiulangicarapengambilannya. Makatentukanprobabilitasbahwadalampengambilanakandidapat 2 bolamberwarnaputihdalampengambilanpertamasetelahdiamatibolamtidakdikembalikandandiulangicarapengambilannya. Makatentukanprobabilitasbahwadalampengambilanpertamadiperolehbolammerahdan yang keduabolamputihJawab: 1 7M, 5P 12

28a). Misalnya: A = kejadian dalam Pengambilan I diperoleh bolam putih B = kejadian Pengambilan II diperoleh bolam putih maka ; dan A dan B adalah kejadian-kejadian yang bebas, jadi probabilitas bahwa dalam pengambilan akan diperoleh 2 bolam berwarna putih = b). Misal: C = pengambilan I diperoleh bolam merah, dan D = pengambilan II diperoleh bolam putih, maka dan Probabiliats pengambilan I merah dan pengambilan II putih =

292.6. Aturan Bayes Pandang diagram venn berikut: saling- terpisah, jadi Diperoleh rumusGambar (2.2). Diagram Venn untuk ejadian A,E dan

30Contoh (2.15) Ruang sampel menyatakan populasi orang dewasa yang telah tamat SMU di suatu kota tertentu dikelompokan menurut jenis kelamin dan status bekerja seperti pada contoh (2.9) tabel (2.1): Daerah ini akan dijadikan daerah pariwisata dan seseorang akan dipilih secara acak dalam usaha penggalakan kota tersebut sebagai obyek wisata keseluruh negeri. Dan diketahui bahwa ada 36 orang yang bersetatus bekerja dan 12 orang berstatus menganggur adalah anggota koperasi. Berapa peluang orang yang terpilih ternyata anggota koperasi?

31 Jawab: Misal: E = orang yang terpilih berstatus bekeja A = orang yang terpilih anggota koperasi Dari tabel diperoleh: Jadi peluang orang yang terpilih anggota koperasi adalah

Probability

More Related Content

What's hot

Viewers also liked

Similar to Probability

Recently uploaded

Probability