Random Quantity - Đại lượng ngẫu nhiên ( tiếp )

Random Quantity - Đại lượng ngẫu nhiên ( tiếp )

• 1.
  4) Phân bốchuẩn/Phân bố Gauss (Normal distribution) Đại lượng ngẫu nhiên liên tục được gọi là có phân bố chuẩn nếu có hàm mật độ 𝑓 (𝑥 )= 1 𝜎 √2 𝜋 𝑒 − ( 𝑥 −𝜇) 2 2 𝜎 2 Trong đó là các số thực, Ký hiệu là tập hợp các đại lượng ngẫu nhiên có phân bố chuẩn ứng với Tức là, nếu có hàm mật độ xác suất 𝑓 (𝑥 )= 1 𝜎 √2 𝜋 𝑒 − ( 𝑥 −𝜇) 2 2 𝜎 2 thì ta viết Khi đó hàm phân bố xác suất là 𝐹 ( 𝑥)=∫ − ∞ 𝑥 𝑓 (𝑡) 𝑑𝑡=¿ 1 𝜎 √2𝜋 ∫ − ∞ 𝑥 𝑒 − (𝑡− 𝜇) 2 2𝜎 2 𝑑𝑡 ¿ Khi thì người ta chứng minh được: (i) Kỳ vọng (ii) Phương sai (iii) Độ lệch chuẩn
• 2.
  Nếu thì hàmmật độ xác suất là 𝜑 ( 𝑥)= 1 √2 𝜋 𝑒 − 𝑥 2 2 Khi đó hàm phân bố xác suất là Φ (𝑥)=∫ − ∞ 𝑥 𝜑(𝑡 )𝑑𝑡=¿ 1 √2𝜋 ∫ − ∞ 𝑥 𝑒 − 𝑡 2 2 𝑑𝑡 ¿ Người ta tính được tích phân Poisson Vì là hàm chẵn nên suy ra Và (Đổi biến và do là hàm chẵn) Giữa và có liên hệ sau: 𝐹 ( 𝑥 )=Φ (𝑥 −𝜇 𝜎 )
• 3.
  Khi là đạilượng ngẫu nhiên với phân bố chuẩn, thì ta có thể giải các bài toán tìm xác suất bằng cách ứng dụng các công thức sau: Trong phần về hàm phân bố xác suất, ta đã biết nếu là đại lượng ngẫu nhiên liên tục thì:  𝑃 ( 𝑋 < 𝑥 ) = 𝐹 ( 𝑥 ) 2) Trong việc tính các xác suất trên, cần tính giá trị của hàm tại với đã cho Để tính, ta có các cách sau:
• 4.
  Cách 1: Dùngmáy tính cầm tay (Chẳng hạn Casio Fx-570VN PLUS) Bước 2: Bấm Shift - 1 1:Type 2: Data 3: Sum 4: Var 5: Distr 6: MinMax Bước 3: Bấm 5 1: P( 2: Q( 3: R( 4:t Bước 4: Bấm 1 P( Bước 5: Ví dụ: Bước 1: Bấm Mode, chọn 3, bấm AC Nhập rồi bấm phím “=“ Cách 2: Dùng EXCEL Sử dụng hàm Ví dụ: Trong một ô trống nào đó, ta gõ Kết quả sẽ nhận được 0,9750021 Cách 3: Tra bảng tính sẵn. Trong tất cả các sách về Xác suất Thống kê đều in bảng “Hàm phân bố chuẩn ”
• 5.
  Khi , nếuđã biết mà cần tìm ta có các cách sau: Cách 1: Dùng máy tính cầm tay (Chẳng hạn Casio Fx-570VN PLUS) Bước 1: Bấm Mode 1: COMP 2: CMPLX 3: STAT 4: BASE-N 5: EQN 6: MATRIX 7: TABLE 8: VECTOR Bước 2: Bấm  trong phím Replay 1: INEQ 2: RATIO 3: DIST Bước 3: Bấm 3 1: Normal PD 2: Normal CD 3: Inverse Normal 4: Binomial PD Bước 4: Bấm 3 InvrNormal: Area? Bước 5: Nhập rồi bấm “=“ InvrNorm: InvrNorm: Dưới màn hình ghi “1” thì bấm “=“ Dưới màn hình ghi “0” thì bấm “=“ Cách 2: Dùng EXCEL Sử dụng hàm Ví dụ: Trong một ô trống nào đó, ta gõ Kết quả sẽ nhận được 1,9599991,96
• 6.
  Đại lượng ngẫunhiên với phân bố chuẩn là đại lượng ngẫu nhiên thường gặp nhất trong tự nhiên, kỹ thuật, xã hội, kinh tế, . . . . Đồ thị của hàm mật độ của đại lượng ngẫu nhiên này có dạng “hình chuông” * Ghi chú: Đối với đại lượng ngẫu nhiên với phân bố chuẩn, ta đã biết công thức: Với ta được ) . Như vậy việc ; ) gần như chắc chắn. Có nghĩa là khoảng ; ) chứa hầu hết giá trị của . Người ta gọi đây là “công thức .
• 7.
  BÀI T P Ậ
• 8.
  Bài tập 1:Có 2 hộp, mỗi hộp có 10 lá phiếu. Hộp thứ nhất có 3 phiếu trúng thưởng, hộp thứ hai có 4 phiếu trúng thưởng. Người ta lấy ngẫu nhiên 2 phiếu từ hộp thứ nhất bỏ sang hộp thứ hai, trộn kỹ hộp thứ 2 rồi lấy ngẫu nhiên từ đây ra 3 phiếu. Tìm xác suất 3 phiếu lấy từ hộp thứ hai này đều trúng thưởng Gọi là biến cố “2 phiếu lấy ở hộp thứ nhất đều không trúng thưởng” là biến cố “2 phiếu lấy ở hộp thứ nhất có 1 phiếu trúng thưởng” là biến cố “2 phiếu lấy ở hộp thứ nhất đều trúng thưởng” Hệ 3 biến cố , là một hệ đầy đủ, xung khắc Gọi là biến cố “3 phiếu lấy ở hộp thứ hai đều trúng thưởng” Theo công thức xác suất đầy đủ ) Ta thấy: Số cách lấy 2 phiếu bất kỳ từ 10 phiếu ở hộp thứ nhất là 𝐶10 2 Số cách lấy 2 phiếu không trúng thưởng từ 10 phiếu ở hộp thứ nhất là 𝐶 7 2 Số cách lấy 2 phiếu từ 10 phiếu ở hộp thứ nhất mà có 1 phiếu trúng thưởng là𝐶3 1 𝐶 Số cách lấy 2 phiếu từ 10 phiếu ở hộp thứ nhất mà cả 2 đều trúng thưởng là 𝐶 3 2 Suy ra , ,
• 9.
  - Nếu biếncố đã xảy ra thì hộp thứ hai có 12 lá phiếu, trong đó có 4 phiếu trúng thưởng Số cách lấy ra 3 phiếu bất kỳ từ 12 phiếu của hộp thứ hai là𝐶12 3 Số cách lấy ra 3 phiếu trúng thưởng từ 12 phiếu của hộp thứ hai là𝐶4 3 Vì vậy ) ¿ 𝐶 4 3 𝐶 12 3 - Nếu biến cố đã xảy ra thì hộp thứ hai có 12 lá phiếu, trong đó có 5 phiếu trúng thưởng Số cách lấy ra 3 phiếu bất kỳ từ 12 phiếu của hộp thứ hai là𝐶12 3 Số cách lấy ra 3 phiếu trúng thưởng từ 12 phiếu của hộp thứ hai là𝐶5 3 Vì vậy ) ¿ 𝐶 5 3 𝐶 12 3 - Nếu biến cố đã xảy ra thì hộp thứ hai có 12 lá phiếu, trong đó có 6 phiếu trúng thưởng Số cách lấy ra 3 phiếu bất kỳ từ 12 phiếu của hộp thứ hai là𝐶12 3 Số cách lấy ra 3 phiếu trúng thưởng từ 12 phiếu của hộp thứ hai là 𝐶6 3 Vì vậy ) ¿ 𝐶 6 3 𝐶 12 3 Thay vào công thức, ta suy ra . . ¿ ?
• 10.
  Bài tập 2:Có 65% người dân Việt Nam thích xem bóng đá. Chọn ngẫu nhiên 12 người. a) Tìm xác suất trong 12 người được chọn, có đúng 5 người thích xem bóng đá. b) Tìm xác suất trong 12 người được chọn, có ít nhất 1 người thích xem bóng đá. Xem đây là dãy thử độc lập Bernoulli gồm lần thử a) Suy ra xác suất cần tìm là b) ? ?
• 11.
  Bài tập 3:Tuổi thọ của một bóng đèn led Điện Quang là đại lượng ngẫu nhiên với phân bố mũ. Cho biết tuổi thọ trung bình của bóng đèn led Điện Quang là 10.000 giờ. a) Tìm xác suất 1 bóng đèn led Điện Quang có tuổi thọ ít hơn giờ. b) Tìm xác suất 1 bóng đèn led Điện Quang có tuổi thọ từ 11.000 đến 11.500 giờ. mà 10.000 a) 0,67 b) D ⇒ 𝑃(11000 ≤ 𝑋 ≤11500)=𝐹 (11500)−𝐹 (11000) ] 𝑒−1,10 −𝑒−1,15 =0,016
• 12.
  Bài tập 4:“Tuổi thọ” của một loại màn hình SamSung là đại lượng ngẫu nhiên với phân bố mũ có giá trị trung bình là 10.000 giờ. a) Tính xác suất để một màn hình có tuổi thọ  12.000 giờ. b) Tính xác suất để trong số 5 màn hình chọn ngẫu nhiên, có 2 màn hình có tuổi thọ từ 10.500 giờ đến 12.000 giờ. mà 10.000 a) b) Gọi là biến cố “một màn hình được chọn có tuổi thọ từ 10.500 giờ đến 12.000 giờ” 𝑃 ( 𝐴)=𝑃 (10.500 ≤ 𝑋 ≤12.000)=𝐹 (12.000)−𝐹 (10,500) ¿ (1 − 𝑒 − 1 10000 12000 )−(1 −𝑒 − 1 10000 10500 )=𝑒 −1,05 −𝑒 −1,20 ≈ 0,049 Coi đây là dãy phép thử Bernoulli gồm lần thử, ta cần tìm xác suất để xảy ra lần, trong đó xác suất xảy ra trong mỗi lần thử là 𝐵 (2 ; 5 ; 0,049)= 𝐶5 2 ( 0,049)2 (1 − 0,049)3 ≈ 0,02
• 13.
  Bài tập 5:Trong đợt dịch Covid 19, trung bình 1 ngày ở một phòng khám có 5 người dương tính. Tìm xác suất trong 1 ngày phòng khám đó có không quá 4 người dương tính. (Số người dương tính đến 1 phòng khám là đại lượng ngẫu nhiên với phân bố Poisson) Do mà Bài tập 6: Chiều cao nam giới Việt Nam là đại lượng ngẫu nhiên với phân bố chuẩn . a) Chọn ngẫu nhiên 5 người. Tìm xác suất ít nhất có 1 người có chiều cao 166cm. b) Chọn ngẫu nhiên 10 người. Tìm xác suất trong số này có 4 người có chiều cao trong khoảng từ 158 đến 170cm. Giải: Gọi là đại lượng ngẫu nhiên chiều cao nam thanh niên. Từ giả thiết .
• 14.
  Coi là dãyphép thử Bernoulli gồm lần thử. a) Gọi là biến cố “” b) Gọi là biến cố “” ) ¿ 1 − Φ (1 )=1 − 0,84 = 0,16 1−𝐹 (166)¿1 −Φ(166 −160 6 ) Xác suất để xảy ra ít nhất lần” 𝑝=𝑃( 𝐴)=𝑃 (158≤ 𝑋 ≤170)=𝐹 (170)−𝐹 (158) ) 0,37 X lần thử, xảy ra 4 lần Coi là dãy phép thử Bernoulli gồm lần thử.
• 15.
  Bài tập 7:Cường độ chịu nén của các tấm panel là đại lượng ngẫu nhiên với phân bố chuẩn. Cho biết: Xác suất để một tấm panel có độ chịu nén  250 Kg/cm2 là 0,02275. Xác suất để một tấm panel có độ chịu nén < 175 Kg/cm2 là 0,15866. a) Tìm cường đô chịu nén trung bình  và độ lệch chuẩn của đại lượng ngẫu nhiên . b) Chọn ngẫu nhiên 10 tấm panel. Tìm xác suất trong 10 tấm đó có 3 tấm mà độ chịu nén từ 180Kg/cm2 đến 210 Kg/cm2 .  250 ) ⇒ 𝐹 (250)=0,97725 ⇒ Φ(250−𝜇 𝜎 )=0,97725 ⇒ 250− 𝜇 𝜎 =2,000002488 ≈ 2 ) ⇒ Φ (175− 𝜇 𝜎 )=0,15866 ⇒ 175− 𝜇 𝜎 =− 0,9999796004 ≈ − 1 Tóm lại, ta có hệ phương trình {𝜇+2𝜎 ≈ 250 𝜇 −𝜎 ≈ 175 ⇒ {𝜎 ≈ 25 𝜇≈ 200
• 16.
  Gọi là biếncố “Một tấm panel được chọn có độ chịu nén từ 180Kg/cm2 đến 210 Kg/cm2” 𝑝= 𝑃( 𝐴)=P(180≤ 𝑋 ≤210) Coi là dãy phép thử Bernoulli gồm lần thử. 56 X lần thử, xảy ra 3 lần.0,1765450172