Scomposizione polinomi

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Cosa vuol dire scomporre un polinomio? Prof.Mapelli Rosangela Scomporre un polinomio significa trasformare il polinomio dato nel prodotto di più polinomi e/o monomi di grado inferiore al polinomio dato, che sono irriducibili. Si dice: riducibile qualsiasi polinomio che può essere scomposto irriducibile qualsiasi polinomio che non può essere scomposto

Come si scompone un polinomio? Prof.Mapelli Rosangela Per scomporre un polinomio non c’è una regola precisa, possiamo dire che si scompone per tentativi. Un possibile modo è quello di basarsi sul numero dei termini che compongono il polinomio.

Raccoglimento a fattor comune Prof.Mapelli Rosangela Se i termini di un polinomio hanno tutti in comune uno o più fattori, questi possono, per la proprietà distributiva del prodotto rispetto alla somma: venire raccolti o messi in evidenza

Scomponiamo in fattori il polinomio: a 3 - 2a 2 b + 3a 4 – 5a= Mettendo in evidenza il fattore a avremo: a ( a 2 - 2ab + 3a 3 –5) Scomponiamo in fattori il polinomio: 5a (a + b) + 3b (a + b) – a 2 (a + b) = Mettendo in evidenza il fattore polinomiale (a + b) , comune a tutti i termini del polinomio, avremo: (a +b) (5a + 3b -a 2 ) Esempi (raccoglimento totale) Prof.Mapelli Rosangela

Binomio Prof.Mapelli Rosangela Se il polinomio dato è un binomio allora si possono applicare le seguenti regole: Differenza di due quadrati: a 2 – b 2 = (a + b) (a – b) Somma di due cubi: a 3 + b 3 = ( a + b) (a 2 – ab + b 2 ) Differenza di due cubi: a 3 – b 3 =(a – b) (a 2 + ab + b 2 )

Scomponiamo in fattori il polinomio: 4x 2 –25y 2 si può vedere come (2x) 2 -(5y) 2 =(2x+5y)(2x-5y) Scomponiamo in fattori il polinomio: 16a 4 -1 si può vedere come (4a 2 ) 2 -(1) 2 =(4a 2 +1)(4a 2 -1) Che si può ancora scomporre in =(4a 2 +1)(2a -1)(2a+1) Esempi (differenza di due quadrati) Scomponiamo in fattori il polinomio: 9x 2 +16y 2 non si può scomporre !!!Attenzione: se l’esponente dei due monomi è pari e i segni dei coefficienti sono uguali, il binomio non è scomponibile Prof.Mapelli Rosangela

Scomponiamo in fattori il polinomio: 8x 3 –27y 3 si può vedere come (2x) 3 -(3y) 3 =(2x-3y)(4x 2 +6xy+9y 2 ) Scomponiamo in fattori il polinomio: 125a 3 +1 si può vedere come (5a) 3 +(1) 3 =(5a+1)(25a 2 -5a+1) Esempi ( somma e differenza di due cubi) Prof.Mapelli Rosangela

2x 2 -9y 2 =(2x+3y 2 )(2x-3y 2 )  Errato , il primo coefficiente non è un quadrato perfetto 4a 2 +25b 2 =(2a+5b)(2a-5b)  Errato , la somma dei quadrati non è scomponibile 49s 2 t 4 -16r 2 =(49st 2 +16r)(49st 2 -16r)  Errato , si sono scomposte le lettere e non i numeri 4t 2 -9s 4 =(2t-3s 2 ) 2  Errato , si è scambiata la differenza di quadrati con il quadrato del binomio !!! ATTENZIONE errori da evitare Prof.Mapelli Rosangela

Trinomio Prof.Mapelli Rosangela Se il polinomio dato è un trinomio allora si possono applicare le seguenti regole: Quadrato di binomio: a 2 + 2ab + b 2 = (a + b) 2 Trinomio speciale: x 2 + sx + p = (x + x 1 ) (x + x 2 ) Dove s =x 1 + x 2 (somma) p = x 1 * x 2 (prodotto)

Scomponiamo in fattori il polinomio: 4x 2 + 20x + 25 = (2x+5) 2 (+2x) 2 2(+2x)(+5) (+5) 2 Un trinomio di 2° grado ordinato e completo si può scomporre nel quadrato di binomio se ha queste caratteristiche Esempi (quadrato del binomio) Scomponiamo in fattori il polinomio: 9b 2 x 2 + 16c 2 – 24bcx = (3bx-4c) 2 = (4c-3bx) 2 (+3bx) 2 o (-3bx) 2 2(-4c)(+3bx) o 2(+4c)(-3bx) (-4c) 2 o (+4c) 2 Prof.Mapelli Rosangela

Scomponiamo in fattori il polinomio: x 2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3) 6 = 1*6 6 = 2*3 5=2+3 Un trinomio di 2° grado si chiama “ caratteristico ” quando il termine noto non è un quadrato e il termine di 1° grado non è un doppio prodotto degli altri due Esempi (trinomio caratteristico) Scomponiamo in fattori il polinomio: x 4 + 3bx 2 - 4b 2 = (x + 2b)(x + 3b) -4b = 1b*(-4b) -4b = (-1b)*4b 5b=4b-1b Prof.Mapelli Rosangela

Quadrinomio Prof.Mapelli Rosangela

Scomponiamo in fattori il polinomio: ax 2 + ay 2 – bx 2 – by 2 = =a(x 2 + y 2 )-b(x 2 + y 2 )= =(a – b) (x 2 + y 2 ) Un quadrinomio o un polinomio con una quantità di elementi pari, può essere scomposto con il RACCOGLIMENTO PARZIALE se esistono coppie di monomi che hanno un fattore comune Esempi (raccoglimento parziale) Scomponiamo in fattori il polinomio: 12acx 2 + 4acy 2 – 6bx 2 – 2by 2 = =4ac(3x 2 + y 2 )-2b(3x 2 + y 2 )= =(4ac – 2b) (x 2 + y 2 ) Prof.Mapelli Rosangela

Scomponiamo in fattori il polinomio: a 3 +6a 2 b+12ab 2 +8b 3 Si può vedere come (a) 3 +3(a) 2 (2b)+3(a)(2b) 2 +(2b) 3 = (a+2b) 3 Scomponiamo in fattori il polinomio: 1-9a+27a 2 –27a 3 Si può vedere come (1) 3 +3(1) 2 (-3a)+3(1)(-3a) 2 +(-3a) 3 =(1-3a) 3 Esempi (cubo del binomio) Prof.Mapelli Rosangela

Scomponiamo in fattori il polinomio: 4x 2 +4x+1-25y 4 =(2x+1) 2 -25y 4 = (2x+1+5y 2 )(2x+1-5y 2 ) (2x) 2 2(2x)1 1 2 (5y) 2 (2x+1) 2 Esempi (Differenza tra quadrato del binomio e quadrato monomio) Scomponiamo in fattori il polinomio: 36b 4 -x 2 +4x-4 =36b 4 -(x-2) 2 = (6b 2 +x-2)(6b 2 -x+2) (x) 2 2(-2x)1 2 2 (6b 2 ) 2 (x-2) 2 Prof.Mapelli Rosangela

Polinomio con 6 termini Prof.Mapelli Rosangela Se il polinomio dato è formato da sei monomi allora si possono applicare le seguenti regole: 1. Raccoglimento parziale : a m + a n + a c + b m + b n + b c = a (m + n + c)+ b ( m + n + c) = ( a + b ) (m + n + c ) 2. Quadrato di trinomio: a 2 + b 2 + c 2 +2ab + 2ac + 2ba = (a + b +c ) 2 3. Differenze di due quadrati particolari: a 2 + 2ab + b 2 - x 2 - 2cx – c 2 = (a + b) 2 –(x+c) 2 =(a+b+x+c)(a+b-x-c)

Scomponiamo in fattori il polinomio: ax 2 + ay 2 -3a – bx 2 – by 2 +3b = a(x 2 + y 2 -3)-b(x 2 + y 2 -3)= =(a – b) (x 2 + y 2 -3) Esempi (raccoglimento parziale) Scomponiamo in fattori il polinomio: 12acx 2 + 4acy 2 – 6bx 2 – 2by 2 +9bcx 2 +3bcy 2 =4ac(3x 2 + y 2 )-2b(3x 2 + y 2 ) +3bc(3x 2 + y 2 ) = =(4ac – 2b +3bc) (x 2 + y 2 ) Prof.Mapelli Rosangela

Scomponiamo in fattori il polinomio: 4b 2 +9a 2 +c 2 +8ba+4bc+6ac Si può vedere come (2b) 2 +(3a) 2 +(c) 2 +2(2b)(3a)+2(2b)(c)+2(c)(3a) = (2b+3a+c) 2 Scomponiamo in fattori il polinomio: 1+16b 2 +9a 2 +4b–6a-12a Si può vedere come (1) 2 +(4b) 2 +(-3a) 2 +2(1)(2b)+2(1)(-3a)+ 2(2b)(-3a) =(1+2b -3a) 2 Esempi (quadrato del trinomio) Prof.Mapelli Rosangela

Scomponiamo in fattori il polinomio: 4x 2 + 4x + 1 - 16 - 40y 2 -25y 4 =(2x+1) 2 -(4+5y 2 ) 2 = (2x+1+4+5y 2 )(2x+1-4-5y 2 ) (2x) 2 2(2x)1 1 2 (5y) 2 (2x+1) 2 Esempi (Differenza tra due quadrati particolari) Scomponiamo in fattori il polinomio: 36b 2 + 1 - 12b - x 2 + 4x – 4 =(6b -1) - (x-2) 2 = (6b-1+x-2)(6b-1-x+2) (x) 2 2(-2x)1 2 2 (6b) 2 (x-2) 2 4 2 2(5y 2 )4 (4+5y 2 ) 2 2(-6x)1 1 2 (6b-1) 2 Prof.Mapelli Rosangela

Ultimo Tentativo Prof.Mapelli Rosangela Se non è possibile applicare nessuna delle regole viste in precedenza allora si cerca di applicare,indipendentemente dal tipo di polinomio, la regola di Ruffini : a 3 +2a 2 -5a- 6=(a+1)(a 2 +a-6)

Regola di Ruffini Prof.Mapelli Rosangela Scomponi il polinomio P(x) = x 3 -2x 2 +4x-3. Cerchiamo i divisori del termine noto: ± 1, ± 3 Sostituiamo alla variabile x il valore numerico 1 P(1)=1 3 -2*1 2 +4*1-3=0. Il polinomio è quindi divisibile per il binomio x -1. Eseguiamo la divisione con la regola di Ruffini Troviamo che x 3 -2x 2 +4x-3 = (x-1) (x 2 -x+3) 1 -1 3 // 1 3 -1 1 Si cambia di segno la radice Coefficienti del polinomio quoziente Coefficienti del polinomio da scomporre 1 -2 4 -3

Riassumendo Controlla se è possibile eseguire un raccoglimento totale È un binomio È un trinomio È un quadrinomio È un polinomio con 6 termini Differenza di quadrati Somma per differenza Somma o differenza di cubi Usa le formule Quadrato del binomio Trinomio caratteristico Somma e prodotto … Ruffini Cubo del binomio Raccoglimento parziale Ruffini Differenza tra il quadrato di un binomio e di un monomio Ruffini Quadrato del trinomio Raccoglimento parziale Differenza tra il quadrato di due binomi un polinomio composto da più di 6 monomi Ruffini Se il numero dei monomi è pari raccoglimento parziale Prof.Mapelli Rosangela

Prof.Mapelli Rosangela A cura di Rosangela Mapelli www.nonsolomatematica.it

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