Методична розробка навчальних завдань у контексті оновленої таксономії Б. Блума з розділу “Похідна функції та її застосування”

Методична розробка навчальних завдань у контексті оновленої таксономії Б. Блума з розділу “Похідна функції та її застосування”

• 1.
  Методична розробка навчальнихзавдань у контексті оновленої таксономії Б. Блума з розділу “Похідна функції та її застосування” (укладач Воронкін О.С.) Завдання 1 рівня – запам’ятовування Згадай навчальний матеріал і допиши речення: - Похідною функції f(x) у точці х0 називають… - Похідна сталої дорівнює… - Похідна степеню з натуральним показником дорівнює… - Похідна оберненої функції обчислюється за формулою… - Похідна суми (різниці) двох функцій 𝑈𝑈 і 𝑉𝑉, кожна з яких має похідну, дорівнює… - Похідна добутку двох функцій 𝑈𝑈 і 𝑉𝑉, кожна з яких має похідну, дорівнює… - Похідну частки двох функцій 𝑈𝑈 і 𝑉𝑉, кожна з яких має похідну і 𝑉𝑉 ≠ 0, знаходять за формулою… - Дія знаходження похідної функції називається… - Напиши загальну схему дослідження функції. Завдання 2 рівня – розуміння - Поясни, що розуміють, кажучи “похідна – це кутовий коефіцієнт дотичної”. - Наведи приклади задач із математики, фізики та хімії, які приводять до поняття похідної. - Користуючись правилом диференціювання добутку двох функцій, поясни чому сталий множник при диференціюванні виноситься за знак похідної. - Користуючись границею відношення приросту функції до приросту аргументу, покажи, що для функції 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥3 похідною є функція 𝑦𝑦′ = 3𝑥𝑥2 . - За допомогою формули похідної частки розкрий похідну функції 𝑦𝑦 = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐. - Сформулюй своїми словами означення мінімуму функції в точці? - Якою є функція y = f (x) на інтервалі, якщо її похідна від’ємна?
• 2.
  Завдання 3 рівня– застосування - Знайди приріст функції 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 2𝑥𝑥 − 3 у точці 𝑥𝑥0 = 1 при вказаному прирості аргументу 𝛥𝛥𝛥𝛥 = 0,1. - Знайди границю lim 𝑥𝑥→3 2𝑥𝑥−6 𝑥𝑥2−9 . - Знайди кутовий коефіцієнт дотичної до пораболи 𝑦𝑦 = 2𝑥𝑥2 у точці з абсцисою 𝑥𝑥0 = 1 - Знайди похідну функції: a) 𝑦𝑦 = 1 3 𝑥𝑥3 − 2𝑥𝑥2 − 4𝑥𝑥 + 1; б) 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥3 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐; в) 𝑦𝑦 = 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑥𝑥+3 𝑥𝑥3 ; г) 𝑦𝑦 = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 ∙ 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡. - Побудуй графік похідної функції: a) 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥3 ; б) 𝑦𝑦 = 1 − 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐; в) 𝑦𝑦 = cos( 𝜋𝜋 2 ). - Відомо, що точка рухається за законом s(t) = 6t2 + t + 5, де s – шлях в метрах, t – час у секундах. Знайди швидкість точки в момент часу 𝑡𝑡 = 2 с. - Кількість речовини, що вступила в хімічну реакцію задано залежністю 𝑝𝑝(𝑡𝑡) = 𝑡𝑡2 2 + 4𝑡𝑡 − 4 (моль). Знайди швидкість хімічної реакції через 4 секунди. - Знайди похідну складеної функції: а) 𝑦𝑦 = sin(2𝑥𝑥) 2 ; б) 𝑦𝑦 = 𝑒𝑒√𝑥𝑥 ; в) 𝑦𝑦 = cos(𝑥𝑥2 ); г) 𝑦𝑦 = 1 (6𝑥𝑥−2)3 . - Знайди точки екстремумів та екстремальні значення функції: а) 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥 + 4 𝑥𝑥2 ; б) 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = √9 − 𝑥𝑥2. - Розв’яжи рівняння𝑓𝑓′(𝑥𝑥) = 0, якщо 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 4𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 − 2√3𝑥𝑥. Завдання 4 рівня – аналіз - Визнач похідну функції двома способами: а) y=(x-2)(x+2); б) 𝑦𝑦 = (𝑥𝑥2 − 1)𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠; в) 𝑦𝑦 = sin 2𝑥𝑥. - Покажи відмінність у знаходженні похідних функцій 𝑦𝑦 = tg2 𝛼𝛼 і 𝑦𝑦 = 𝑡𝑡𝑡𝑡2 𝛼𝛼. - Постав кожній функції (а–в) у відповідність значення її похідної (1–3) у точці x0=1: а) 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥3+3𝑥𝑥 𝑥𝑥 + 3𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝜋𝜋 2 ; б) 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 48√𝑥𝑥 + 4𝑥𝑥 + 5; в) 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 7𝑒𝑒𝑥𝑥−1 + 3𝑥𝑥 + 4 1) 𝑓𝑓′ (1) =10; 2) 𝑓𝑓′ (1) = 28; 3) 𝑓𝑓′ (1) = 2.
• 3.
  - Тіло рухаєтьсятак, що його швидкість 𝜈𝜈 (метри в секунду) змінюється за законом 𝜈𝜈(𝑡𝑡) = 𝑡𝑡2 − 8𝑡𝑡 + 5. Яку швидкість матиме тіло в момент, коли його прискорення дорівнюватиме 12 м/с2 . - Досліди функцію x x y − = 5 5 1 та побудуй її графік. Завдання 5 рівня – оцінювання - Оціни, чи правильно знайдені наступні похідні: а) 𝑦𝑦′ = (𝑒𝑒𝑥𝑥 ∙ 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠)′ = 𝑒𝑒𝑥𝑥′ ∙ 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠′ = 𝑒𝑒𝑥𝑥 ∙ 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐; б) 𝑦𝑦′ = (𝑥𝑥2 ∙ (𝑥𝑥 − 2)2)′ = �𝑥𝑥2(𝑥𝑥2 − 4𝑥𝑥 + 4)� ′ = (𝑥𝑥4 − 4𝑥𝑥3 + 4𝑥𝑥2)′ = 4𝑥𝑥3 − 12𝑥𝑥2 + 8𝑥𝑥; в) 𝑦𝑦′ = � 1 (5𝑥𝑥−1)2� ′ = 1′(5𝑥𝑥−1)−1(5𝑥𝑥−1)′ ((5𝑥𝑥−1)2)2 = − 5 (5𝑥𝑥−1)4 . - Оціни, наскільки раціонально знайдено похідну функції y′ = � 2tgα 1−tg2 α � ′ = (2tgα)′(1−tg2 α)−2tgα(1−tg2 α)′ (1−tg2 α)2 = 2�1−tg2 α� cos2 α + 2tgα∙2tgα cos2 α (1−tg2 α)2 = 2−2 tg2 α+4 tg2 α cos2 α∙(1−tg2 α)2 = 2+2 tg2 α cos2 α∙(1−tg2 α)2 = 2 cos4 α∙(1−tg2 α)2 = 2 cos4 α∙ cos22 α cos4 α = 2 cos22 α . - Використовуючи критичні зауваження щодо попереднього прикладу, порекомендуй інший спосіб знаходження похідної. Завдання 6 рівня – створення - За допомогою веб-сервісу wolframalpha відтвори графік функції 𝑦𝑦 = 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 ∙ 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑥𝑥2 та знайди похідну функції. - За допомогою веб-сервісу wolframalpha обчисли екстремуми функції 𝑦𝑦 = 4𝑥𝑥3 − 2𝑥𝑥2 + 4 на інтервалі [-1; 6]. - Склади складену функцію, при знаходженні похідної якої використовуються такі правила диференціювання як сума, добуток, частка. - Використовуючи базове означення похідної, розроби алгоритм для знаходження похідної функції 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥). - Запропонуй критерії, що дозволили б враховувати складність знаходження похідних при оцінюванні контрольних робіт інших учнів.