1. ΣΑΛΑΝΣΩΗ ΔΙΑΣΟΜΙΚΟΤ ΜΟΡΙΟΤ
Ας θεωρήσουμε ότι για κάποιο διατομικό μόριο, η δύναμη μεταξύ των
ατόμων του μπορεί να προσεγγισθεί από τη σχέση:
C
r2
F
D
r3
(1),
όπου r η απόσταση μεταξύ των δύο ατόμων και όπου τα C και D είναι θετικές
σταθερές:
α) χεδιάστε προσεγγιστικά την F F (r )
β) Βρείτε τη θέση ισορροπίας ( r0 )
γ) Αν Δr = r-r0 , με
ισορροπίας,
r
r0 , είναι μια μικρή μετατόπιση από τη θέση
δείξτε ότι η κίνηση για τέτοιες μετατοπίσεις είναι γραμμική
αρμονική ταλάντωση. (Θεωρούμε ότι τα δύο άτομα «απομακρύνονται» από τη
θέση ισορροπίας τους και αφήνονται ελεύθερα να κινηθούν).
δ) Βρείτε τη σταθερά του «ελατηρίου»
ε) Προσδιορίστε την περίοδο των ταλαντώσεων.
ΑΠΑΝΣΗΗ
α) Προκειμένου να παραστήσουμε προσεγγιστικά τη δύναμη σε σχέση με την
απόσταση, κάνουμε τις παρακάτω σκέψεις:
i) Για r
0 , «κυριαρχεί» ο όρος
D
και η δύναμη προσδιορίζεται από τη
r3
σχέση:
F (r )
D
r3
(1)
2. ii) Για r
C
και η δύναμη περιγράφεται
r2
, κυρίαρχος όρος είναι ο όρος
από τη σχέση:
C
r2
F (r )
(2)
iii) Η δύναμη μηδενίζεται σε απόσταση r0 , για την οποία ισχύει:
C
r0 2
D
r03
ή
0
D
C
r0
(3)
iv) Η παράγωγος της δύναμης ως προς r, δίνει:
dF
dr
2
C
r3
3
D
r4
(4),
που μηδενίζεται για :
dF
dr
2
C
r3
3
D
r4
0
3D
,
2C
r1
και με χρήση της (3):
r1
3
r0
2
(5)
τη θέση λοιπόν r1 , έχουμε ακρότατο. Η δεύτερη παράγωγος, στο σημείο
αυτό, παίρνει την τιμή:
d 2F
dr 2
r r1
32 C 5
81 D 4
0
(6)
Δηλαδή στο συγκεκριμένο σημείο έχουμε ελάχιστο, όπως άλλοστε θα
περιμέναμε και από την ασυμπτωτική ανάλυσή μας. το συγκεκριμένο σημείο
η δύναμη είναι:
F1
4 C3
.
27 D2
3. Με βάση τα παραπάνω προκύπτει η γραφική παράσταση:
0.6
0.4
0.2
1
2
3
4
5
D
, το 2 στο 2r0 , κλπ.
C
τον οριζόντιο άξονα το 1 αντιστοιχεί στο r0
β) Όπως ήδη βρήκαμε στην παρατήρηση iii του α ερωτήματος η δύναμη
μηδενίζεται στη θέση (θέση ισορροπίας):
r0
γ) Τποθέτοντας ότι
D
C
r r0 είναι πολύ μικρή μετατόπιση ( r
r
r0 ), θα
δείξουμε ότι για μια τέτοια μετατόπιση η κίνηση μπορεί να θεωρηθεί γραμμική
αρμονική ταλάντωση. Για το σκοπό αυτό θα υπολογίσουμε τη δύναμη στο
r
r0
F (r0
r . Έχουμε λοιπόν:
C
r)
Cr0 2 (1
(r0
r
r0
)
2
D
r)
2
Dr0 3 (1
r )3
(r0
r
r0
)
3
C (r0
r)
2
D(r0
r)
C
r
D
r
(1 2 ) 3 (1 3 )
2
r0
r0
r0
r0
3
4. C
r D
r
[r (1 2 )
(1 3 )]
3 0
r0
r0
C
r0
C
[ r0 2 r r0 3 r ]
r03
C
r ,
r03
όπου καναμε χρήση της προσέγγισης για το διώνυμο και της σχέσης: r0
D
C
Δηλαδή τελικά:
F (r0
C
r
r03
r)
(7)
Η δύναμη λοιπόν είναι ανάλογη της μετατόπισης και έχει αντίθετη φορά, άρα
(σε συνδυασμό με τις αρχικές μας συνθήκες) έχουμε γραμμική αρμονική
ταλάντωση.
δ) Η σταθερά του “ελατηρίου” είναι:
F
kx
k r
K
F
C
r03
C4
D3
(8)
C
r
r03
ε) Η περίοδος των ταλαντώσεων θα είναι:
T
2
m
,
k
T
οπότε μέσω της (8)
2
C2
mD 3
(9)
τη σχέση (9) m είναι η ανηγμένη μάζα του συστήματος, δηλαδή το μισό της
μάζας κάθε ατόμου.
5. ΠΑΡΑΣΗΡΗΕΙ
i) Αν δεν ζητηθεί η πρώτη ερώτηση (γραφική παράσταση), δοθεί η προσέγγιση
του διωνύμου και πούμε στο μαθητή να θεωρήσει «ακίνητο» το ένα άτομο, η
άσκηση ίσως είναι «αντιμετωπίσιμη» και από το μαθητή της Γ λυκείου.
ΕΤΧΑΡΙΣΙΕ
Σο συνάδελφο και φίλο Θρασύβουλο Μαχαίρα ευχαριστώ πολύ για τις
σημαντικές επισημάνσεις-υποδείξεις του. Επίσης το συνάδελφο Βαγγέλη
Κουντούρη για τις εύστοχες παρατηρήσεις του.
ΦΙΟΡΕΝΤΙΝΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ