Εκπαιδευτικό σενάριο στα μαθηματικά: «Περιστρέφοντας τα τετράγωνα»

«Η εκπαίδευση στην εποχή των ΤΠΕ»
Ίδρυμα Ευγενίδου, 22 – 23 Νοεμβρίου 2014
Εκπαιδευτικό σενάριο στα
μαθηματικά:
«Περιστρέφοντας τα
τετράγωνα»
Δημήτριος Καλογεράς
M.Sc. Μαθηματικός
dkaloger@teimes.gr
Κωνσταντίνος Δραγογιάννης
Μεταπτυχιακός φοιτητής Παιδαγωγικού Τμήματος Δημοτικής Εκπαίδευσης
Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήμιο Αθηνών
kdragogiannis@sch.gr
Λαμπρινή Σερεμέτη
M.Sc. Μαθηματικός
kseremeti@hol.gr

1. Εισαγωγή
 Χαρακτηριστικά Μαθηματικών
 αφορούν αφηρημένες γνώσεις
 συνδέονται με εξειδικευμένη τυπική γλώσσα, η οποία επιβάλλει περιορισμούς στη σύνταξη και τη σημασιολογία και
 η τυπική γλώσσα τους εκφράζει ένα παιχνίδι εναλλαγής μεταξύ σημαίνοντος και σημαινόμενου, λειτουργώντας
ταυτόχρονα ως όργανο και ως αντικείμενο (Resnick et al., 1995).
 Κατά τη διδασκαλία της Γεωμετρίας
 αναπτύσσεται στη σχολική τάξη μια ειδική ορολογία για την περιγραφή των γεωμετρικών εννοιών,
 προκαλεί δυσκολίες στην κατανόηση των εννοιών αυτών από τους περισσότερους μαθητές (Τουμάσης, 2004).
 Σκοποί Γεωμετρίας
 η εξέλιξη της χωρικής γνώσης, της γεωμετρικής διαίσθησης και της ικανότητας οπτικοποίησης,
 η ανάπτυξη του συμπερασματικού λογισμού και της απόδειξης,
 η μελέτη των αντικειμένων του χώρου (Jones, 2000; Κολέζα, 2009).
 Γεωμετρική σκέψη
 το σύνολο των γνωστικών διαδικασιών με τις οποίες ο μαθητής κατασκευάζει και διαχειρίζεται νοητικές αναπαραστάσεις
 των αντικειμένων του χώρου,
 των σχέσεων και
 των μετασχηματισμών τους (Κολέζα, 2009).
"Η εκπαίδευση στην εποχή των ΤΠΕ", Ίδρυμα Ευγενίδου, 22 - 23 Νοεμβρίου 2014
2

2. Ταυτότητα σεναρίου
Θέμα
 Το παρόν σενάριο
 υπάγεται
 γενικά στη γνωστική περιοχή των Μαθηματικών και
 ειδικά στη Γεωμετρία.
 Θέμα
 Μελέτη ιδιοτήτων τετραγώνου
 Τίτλος
 «Περιστρέφοντας τα τετράγωνα».
 Τετράγωνο
 αποτελεί δομικό λίθο για την κατασκευή γεωμετρικών αναπαραστάσεων φυσικών
αντικειμένων
 Ιδιότητες τετραγώνου
 οι πλευρές του είναι ίσες
 οι γωνίες του είναι ορθές
3

Βασική ιδέα
 Πειραματισμός με τεθλασμένη γραμμή από πρόγραμμα της Logo
 κινώντας την και μετατρέποντας την σε ένα δυναμικό σχήμα με συγκεκριμένες ιδιότητες.
 Λογισμικό Χελωνόκοσμος
(http://etl.ppp.uoa.gr/_content/download/eslate_kits.htm)
 είναι ένα εργαλείο συμβολικής έκφρασης για μαθηματική δραστηριότητα
 βοηθά τους μαθητές
 να κατασκευάσουν,
 να αναγνωρίσουν,
 να κατανοήσουν
 να χρησιμοποιήσουν
 τις ιδιότητες του τετραγώνου μέσα από πειραματισμό και ομαδική εργασία,
 Με την δραστηριότητα αυτή οι μαθητές
 τροποποιούν τις τεθλασμένες γραμμές που δημιουργεί το πρόγραμμα,
 στο οποίο έχει αφαιρεθεί μία βασική ιδιότητα που χρειάζεται να ανακαλύψουν.
4

…Βασική ιδέα
 Για το σκοπό αυτό θα χρησιμοποιήσουν
 προγράμματα Logo που δημιουργήθηκαν στον Χελωνόκοσμο του Αβάκιου,
 έχουν σαν αποτέλεσμα τη δημιουργία τεθλασμένων γραμμών
 οι μαθητές κάνουν πειράματα μέχρι να φτάσουν στην ιδιότητα του τετραγώνου
 Το γεωμετρικό σχήμα δεν είναι στατικό,
 αποκτά μια δυναμική διάσταση με την οποία οι μαθητές εμπλέκονται και με άλλες
έννοιες όπως
 μεγέθυνση, σμίκρυνση, ομοιότητα, ομοιοθεσία,
 Στο τέλος,
 θα χρησιμοποιήσουν τα εμπλουτισμένα προγράμματα Logo για να
 δημιουργήσουν σχέδια της δικής τους επιλογής βασισμένα στο τετράγωνο.
 Έτσι, τα γεωμετρικά σχήματα βρίσκουν πεδίο εφαρμογής και σε άλλα γνωστικά
αντικείμενα
 όπως στα μαθήματα αισθητικής αγωγής.
5

3. Σκεπτικό σεναρίου
 Καινοτομίες
 Οι μαθητές
 Πειραματίζονται με τις αναπαραστάσεις των σχετικών εννοιών (συμβολική γλώσσα
προγραμματισμού, γραφικό αποτέλεσμα των εντολών στον υπολογιστή),
 Χειρίζονται δυναμικά τα γραφήματα
 Αναπτύσσουν συνεργατικές και κοινωνικο-μαθησιακές διαδικασίες
 Προστιθέμενη αξία
 Οι μαθητές κάνουν πειράματα για να ανακαλύψουν μετρικές σχέσεις μέσα από
την κατασκευή τους.
 Θα βελτιώσουν τα προγράμματα που θα κάνουν στη Logo,
 ώστε να δημιουργούν πάντα τετράγωνα με αυτά
 Χρησιμοποιούν τα προγράμματα για να φτιάξουν σχέδια δικής τους επιλογής
 βασισμένα στο δομικό γεωμετρικό στοιχείο τετράγωνο
6

3. Σκεπτικό σεναρίου
 Γνωστικά – διδακτικά προβλήματα
 Οι μαθητές των πρώτων τάξεων του Γυμνασίου, με τις παραδοσιακές μεθόδους
διδασκαλίας:
 αποστηθίζουν έναν ορισμό για το τετράγωνο που περιέχει τις ιδιότητές του.
 Αναγνωρίζουν ένα τετράγωνο, αλλά δεν εντοπίζουν
 τις καθετότητες, τις παραλληλίες και τις ισότητες των πλευρών και των γωνιών του.
 Δε θεωρούν αναγκαίο ότι πρέπει να αποδείξουν αυτό που βλέπουν ως προφανές
 Η αντίληψη της θέσης και του προσανατολισμού ενός σχήματος στο επίπεδο.
 Αναμενόμενα αποτελέσματα
 Οι μαθητές από αποδέκτες γεωμετρικών κανόνων γίνονται δημιουργοί της
γνώσης,
 μέσα από μία προγραμματιστική διαδικασία ανακαλύπτοντας, κατανοώντας και
χρησιμοποιώντας την εννοιολογική διάσταση του τετραγώνου.
7

4. Πλαίσιο εφαρμογής
 Ομάδα στόχος
 Μαθητές της Α΄ Γυμνασίου,
 αλλά με κατάλληλες τροποποιήσεις και προσαρμογές, μπορεί να συνδυαστεί με γεωμετρικές έννοιες και των άλλων τάξεων,
 Χρόνος υλοποίησης
 Τρείς (3) διδακτικές ώρες.
 Χώρος υλοποίησης
 Εργαστήριο υπολογιστών σχολείου
 αλλά και με τη χρήση διαδραστικού πίνακα, στον οποίο θα αλληλεπιδρούν οι μαθητές σε μία κοινή επιφάνεια εργασίας, γράφοντας η κάθε ομάδα τον κώδικα, ο
οποίος μπαίνει σε συλλογική διαπραγμάτευση και επαλήθευση στον κοινόχρηστο υπολογιστή.
 Μέσα – Υλικά
 ηλεκτρονικοί υπολογιστές,
 διαδραστικός πίνακας,
 το λογισμικό Χελωνόκοσμος,
 φύλλα εργασίας και
 τετράδιο σημειώσεων.
 Προαπαιτούμενες γνώσεις
 Γνώση των εννοιών:
 της ισότητας ευθυγράμμων τμημάτων,
 της ισότητας γωνιών και
 την ορθή γωνία.
 Εμπειρία στις βασικές λειτουργίες του Χελωνόκοσμου καθώς και τις απλές εντολές της γλώσσας Logo.
8

4. Πλαίσιο εφαρμογής
 Κοινωνική ενορχήστρωση τάξης
 Μαθητές
 μοιράζονται τους υπολογιστές του εργαστηρίου χωρισμένοι σε ομάδες των τριών (3) μαθητών
 ή συνεργάζονται στα πλαίσια της ομάδας με τη χρήση του διαδραστικού πίνακα
 και έχουν κοινό φύλλο εργασίας.
 Εκπαιδευτικός
 δρα επικουρικά και συνεργάζεται με τις ομάδες των μαθητών
 Σκοπός – στόχοι σεναρίου
 Δυνατότητα στους μαθητές
 να εμβαθύνουν την έννοια της ιδιότητας κανονικών γεωμετρικών σχημάτων
 να μπορούν να χρησιμοποιήσουν τις ικανότητές τους για να δημιουργήσουν και να κινούν τα
δικά τους σχέδια.
 Να διαμορφώσουν άποψη για την εκπαιδευτική χρήση της τεχνολογίας στα πλαίσια της
μάθησης
 Ειδικότερος στόχος
 Να διερευνήσουν οι μαθητές τις βασικές ιδιότητες του τετραγώνου
9

5. Ανάλυση δραστηριοτήτων
1η δραστηριότητα
 Δίνεται
 μία παραμετρική διαδικασία, με μεταβλητή θ.
 Ζητείται
 να την εκτελέσουν δίνοντας τυχαίες τιμές στις σε αυτήν.
 Αποτέλεσμα
 Τεθλασμένη γραμμή με ίσες πλευρές.
 η διαισθητική αλλαγή της τιμής της μεταβλητής, ώστε να προκύψει τετράγωνο.
 Διατύπωση συμπερασμάτων όπως:
 οι γωνίες του τετραγώνου είναι ίσες και
 οι γωνίες του τετραγώνου είναι ορθές.
10

 Δίνεται
 μία παραμετρική διαδικασία, με μεταβλητές χ, ψ, ζ και ω
 να την εκτελέσουν δίνοντας τυχαίες τιμές
 στις μεταβλητές χ, ψ, ζ και ω.
 Αποτέλεσμα
 Τεθλασμένη γραμμή
 να κάνουν πειράματα ώστε να προκύψει τετράγωνο.
 να παρατηρήσουν τη σχέση που υπάρχει μεταξύ των πλευρών
 να διατυπώσουν σχετικό κανόνα.
 να χρησιμοποιούν τον κανόνα, για να κατασκευάσουν τετράγωνο
11

 Οι μαθητές θα χρησιμοποιήσουν και τις δύο διαδικασίες
 για να κατασκευάσουν τετράγωνα
 μεταβάλλοντας το μήκος της πλευράς του.
 Η φάση ολοκληρώνεται
 με τον καθορισμό από όλες τις ομάδες της μιας μεταβλητής του τετραγώνου που
είναι η πλευρά του.
12

 Οι μαθητές χρησιμοποιήσουν επαναληπτικές διαδικασίες, ώστε
χρησιμοποιώντας το τετράγωνο
 να δημιουργήσουν σχήματα όπως το επόμενο.
13

Φύλλο δραστηριοτήτων
 Δίνονται οι παραμετρικές διαδικασίες
 να τις εκτελέσουν,
 να διατυπώσουν εικασίες για τα σχήματα που προκύπτουν,
 να τις βελτιώσουν με λιγότερες παραμέτρους,
 να κατασκευάσουν δικές τους και
 να χρησιμοποιήσουν το τετράγωνο σαν δομικό στοιχείο για την κατασκευή άλλων σχημάτων.
14
Διαδικασία Α
για άγνωστο1 :θ
μ 100 α :θ μ 100 α :θ μ 100 α :θ μ 100 α :θ
τέλος
άγνωστο1 110
Διαδικασία Β
για άγνωστο2 :χ :ψ :ζ :ω
μ :χ α 90 μ :ψ α 90 μ :ζ α 90 μ :ω α 90
τέλος
άγνωστο2 20 60 70 110
Διαδικασία Γ
για τετράγωνο :α
επανάλαβε 4 [ μ :α δ 90]
τέλος
τετράγωνο 100
Διαδικασία Δ
για τρίπτερο :α
επανάλαβε 3 [τετράγωνο :α δ 120]
τέλος
τρίπτερο 100

6. Προτάσεις – Επέκταση σεναρίου
 Τροποποίηση ως προς τη χρήση του λογισμικού
 Αντί του λογισμικού Χελωνόκοσμος,
 διαφορετικό λογισμικό,
 όπως το MicroWorlds Pro
 Ενδιαφέρον θα παρουσίαζε
 η υλοποίηση παρεμφερούς σεναρίου για άλλα γεωμετρικά σχήματα, όπως:
 τραπέζια,
 ισοσκελή και
 ισόπλευρα τρίγωνα
 δεδομένου ότι ειδικά για τα τρίγωνα πολύ ισχυρή νοητική εικόνα, που αφορά αρκετούς μαθητές
είναι ότι η βάση του τριγώνου πρέπει να είναι οριζόντια (Cutugno & Spagnolo,2002).
15

7. Βιβλιογραφία
 Borasi, R. (1996). Reconveining mathematics instruction: A focus on errors. Norwood, NJ : Ablex publishing corporation.
 Cutugno, P. & Spagnolo, F. (2002). Misconceptions about triangle in Elementary school. Re-trieved June 2014, from
http://math.unipa.it/~grim/SiCutugnoSpa.PDF
 Hall, R. (2002). An analysis of errors made in solutions of simple linear equations. Philoso-phy of Mathematics Education
Journal, 15.
 Jones, K. (2000). Critical Issues in the Design of the Geometry Curriculum. In: Bill Barton (Ed), Readings in Mathematics
Education. Auckland, New Zealand: University of Auckland (pp. 75-90).
 Nikoloudakis, E. (2009). A Proposed Model to Teach Geometry to First-Year Senior High School Students. International Journal
for mathematics Education (HMS iJME), Vol. 2, pp. 17–45 Athens.
 Resnick, L.B., Cauzinille-Marmeche, E., Mathieu, J. (1995). Η Κατανόηση της Άλγεβρας. Α-ναφέρεται στο Βοσνιάδου, Σ. (1995).
Η Ψυχολογία των Μαθηματικών. Αθήνα: Gutenberg.
 Van Hiele, P. (1986). Structure and insight. Orlando, FL: Academic.
 Voigt, J. (1994). Negotiation of mathematical meaning and learning mathematics, in L. Stef-fe. P. Necher, P. Cobb, G.
Goldin, B. Greer, (eds). Theories of Mathematical Learnig. Lawrence Erlbaum Associates, New Jersey.
 Κολέζα, Ε.(2006). Μαθηματικά και σχολικά μαθηματικά Επιστημολογική και κοινωνιολο-γική προσέγγιση της μαθηματικής
εκπαίδευσης, Αθήνα: Ελληνικά Γράμματα.
 Κυνηγός, Χ., Ψυχάρης, Γ., Γαβρίλης, Κ. & Κεΐσογλου, Σ.. (2014) Επιμορφωτικό Υλικό για την επιμόρφωση των εκπαιδευτικών στα
Κέντρα Στήριξης Επιμόρφωσης. Αθήνα: ΙΤΥΕ.
 Τουμάσης, Μ. (2004). Σύγχρονη διδακτική των Μαθηματικών. Αθήνα: Gutenberg.
16

Εκπαιδευτικό σενάριο στα μαθηματικά: «Περιστρέφοντας τα τετράγωνα»

More Related Content

What's hot (20)

Viewers also liked (17)

Similar to Εκπαιδευτικό σενάριο στα μαθηματικά: «Περιστρέφοντας τα τετράγωνα» (20)

Recently uploaded (14)

Εκπαιδευτικό σενάριο στα μαθηματικά: «Περιστρέφοντας τα τετράγωνα»