Tom tat cong thuc xstk

LT XSTK -1- Tóm tắt công thức

Tóm tắt công thức LT Xác Suất - Thống Kê
I. Phần Xác Suất
1. Xác suất cổ điển
 Công thức cộng xác suất: P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB).
 A1, A2,…, An xung khắc từng đôi  P(A1+A2+…+An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An).
 Ta có
o A, B xung khắc  P(A+B)=P(A)+P(B).
o A, B, C xung khắc từng đôi  P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C).
o P ( A)  1  P( A) .
P( AB) P( AB)
 Công thức xác suất có điều kiện: P( A / B)  , P( B / A)  .
P( B) P( A)
 Công thức nhân xác suất: P(AB)=P(A).P(B/A)=P(B).P(A/B).
 A1, A2,…, An độc lập với nhau  P(A1.A2.….An)=P(A1).P(A2).….P( An).
 Ta có
o A, B độc lập  P(AB)=P(A).P(B).
o A, B, C độc lập với nhau  P(A.B.C)=P(A).P(B).P(C).
 Công thức Bernoulli: B(k ; n; p)  Cn p k q nk , với p=P(A): xác suất để biến cố A
k

xảy ra ở mỗi phép thử và q=1-p.
 Công thức xác suất đầy đủ - Công thức Bayes
o Hệ biến cố gồm n phần tử A1, A2,…, An được gọi là một phép phân
 A . A  i  j;i, j 1, n

hoạch của    i j
 A1  A2  ...  An  

o Công thức xác suất đầy đủ:
n
P ( B )   P ( Ai ).P ( B / Ai ) P ( A1 ).P ( B / A1 )  P ( A2 ).P ( B / A2 )  ...  P( An ).P( B / An )
i 1

o Công thức Bayes:
P( Ai ).P( B / Ai )
P( Ai / B) 
P( B)
với P ( B )  P ( A1 ).P ( B / A1 )  P ( A2 ).P( B / A2 )  ...  P( An ).P( B / An )
2. Biến ngẫu nhiên
a. Biến ngẫu nhiên rời rạc
 Luật phân phối xác suất
X x1 x2 … xn
P p1 p2 … pn với pi  P ( X  xi ), i  1, n.
Ta có:
n
 pi  1 và P{a  f(X)  b}=  pi
i 1 a f(xi b

ĐHNH TPHCM -1- Nguyễn Ngọc Phụng


 Hàm phân phối xác suất
FX ( x )  P ( X  x)   pi
xi  x

 Mode
ModX  x0  p0  max{ pi : i  1, n}
 Median
  pi  0,5
 P ( X  xe )  0, 5  x x
MedX  xe   i e
 P ( X  xe )  0,5   pi  0, 5
 xi  xe
 Kỳ vọng
n
EX   ( xi . pi ) x1. p1  x2 . p2  ...  xn . pn
i 1
n
E ( ( X ))   ( ( xi ). pi )  ( x1 ). p1   ( x2 ). p2  ...   ( xn ). pn
i 1
 Phương sai
VarX  E ( X 2 )  ( EX )2
n
với E ( X )   ( xi2 . pi ) x1 . p1  x2 . p2  ...  xn . pn
2 2 2 2

i 1
b. Biến ngẫu nhiên liên tục.

 f(x) là hàm mật độ xác suất của X   f ( x)dx  1 ,

b
P{a  X  b}   f ( x).dx
a
 Hàm phân phối xác suất
x

FX ( x )  P ( X  x )  

f (t )dt

 Mode
ModX  x0  Hàm mật độ xác suất f(x) của X đạt cực đại tại x0.
 Median
xe
1 1
MedX  xe  FX ( xe )    f ( x )dx  .
2  2
 Kỳ vọng

EX   x. f ( x)dx .


E ( ( X ))    ( x). f ( x)dx




 Phương sai

VarX  E ( X 2 )  ( EX )2 với EX 2   x 2 . f ( x)dx .

c. Tính chất
 E (C )  C ,Var (C )  0 , C là một hằng số.
 E (kX )  kEX ,Var (kX )  k 2VarX
 E (aX  bY )  aEX  bEY
 Nếu X, Y độc lập thì E ( XY )  EX .EY ,Var (aX  bY )  a 2VarX  b 2VarY
  ( X )  VarX : Độ lệch chuẩn của X, có cùng thứ nguyên với X và EX.
3. Luật phân phối xác suất
a. Phân phối Chuẩn ( X ~ N (;  2 ))
 X ()   , EX=ModX=MedX=  , VarX   2
( x  )2
1 
 Hàm mđxs f ( x,  ,  )  e 2 2  Với   0,  1:
 2
x2
1 2
f ( x)  e (Hàm Gauss)
2
x t2
b  a  1 2
 P (a  X  b)  ( )  ( ) với ( x)   e dt (Hàm Laplace)
  0
2
Cách sử dụng máy tính bỏ túi để tính giá trị hàm Laplace, hàm phân phối
xác suất của phân phối chuẩn chuẩn tắc
Tác vụ Máy 570MS Máy 570ES Máy 570 ES Plus
Khởi động gói Thống kê Mode Mode Mode STAT 1-Var Mode STAT 1-Var
SD AC AC
Tính
z x2
1 2 Shift 1 5 2 z ) =
( z )   e dx Shift 3 2 z ) = Shift 1 7 2 z ) =
0
2

z x2
1 2 Shift 3 1 z ) = Shift 1 7 1 z ) = Shift 1 5 1 z ) =
F ( z)   e dx

2
Thoát khỏi gói Thống Mode 1 Mode 1 Mode 1
kê

Lưu ý: F ( z )  0,5  ( z )

b. Phân phối Poisson ( X ~ P())
 X ()   , EX  VarX   .ModX=k   -1  k  



k
 P(X=k)=e  ,k  
k!
c. Phân phối Nhị thức ( X ~ B(n; p ))
 X ()  {0..n} , EX=np, VarX=npq, ModX=k  (n  1) p  1  k  (n  1) p
 P(X=k)=Ck . p k .q nk ,q   p0  k  n,k  
n
 Nếu (n  30;0,1  p  0,9; np  5, nq  5) thì X ~ B (n; p)  N (;  2 ) với
  n. p,  npq
1 k 
 P (X=k)  f ( ),0  k  n,k  
 
b  a 
 P (a  X<b)  ( )  ( )
 
 Nếu (n  30, p   np  5) thì X ~ B(n; p)  P() với   np
k
 P(X=k)  e  ,k  
k!
 Nếu (n  30, p  0,9, nq  5)
 n k
P (X=k)  e ,k   với   nq
(n  k )!

d. Phân phối Siêu bội ( X ~ H ( N ; N A ; n))
 X ()  {max{0; n  ( N  N A )}..min{n;N A}}
N n N
 EX=np, VarX=npq với p  A , q=1-p.
N 1 N
( N A  1)(n  1)  2 ( N  1)(n  1)  2
 ModX  k  1  k  A .
N 2 N 2
C N A C NkN A
k n

 P(X=k)= n
,k  X ()
CN
N N
 Nếu  20 thì X ~ H ( N ; N A ; n)  B(n; p ) với p  A .
n N
k k nk
P(X=k)  Cn . p .q ,k  X (),q  1  p .



Sơ đồ tóm tắt các dạng phân phối xác suất thông
dụng:

Siêu bội: X~H(N;NA;n)

C N A .C N kN A
k n

P( X  k )  n
CN

N>20n
N
p= A , q=1-p
N
n30, p0,1
Nhị thức: X~B(n;p) np<5 Poisson: X~ P ( )
 =np
 k 
k
P ( X  k )  C . p .q k n k P( X  k )  e
n k!

n30, 0,1<p<0,9
np  5 , nq  5
1 k
P( X  k )  f( )
 
b a
P ( a  X  b)   ( ) ( )
 
với   np,  npq
X 
Chuẩn: X~ N (  ;  2 ) Y Chuẩn chuẩn tắc: Y~ N(0;1)
 y2
1 
( x   )2 1 

f ( x;  ;  )  .e 2 2 f ( y)  .e 2
 2 2



II. Phần Thống Kê.
1. Lý thuyết mẫu.
a. Các công thức cơ bản.
Các giá trị đặc trưng Mẫu ngẫu nhiên Mẫu cụ thể
Giá trị trung bình X 1  ...  X n x  ...  xn
X x 1
n n
Phương sai không hiệu chỉnh 2 2
( x  x )  ...  ( xn  x )2
2
ˆ 2  ( X 1  X )  ...  ( X n  X )
SX 2
ˆx  1
s
n n
Phương sai hiệu chỉnh 2
2
( X  X )  ...  ( X n  X ) 2
2 ( x  x )  ...  ( xn  x )2
2
SX  1 sx  1
n 1 n 1
b. Để dễ xử lý ta viết số liệu của mẫu cụ thể dưới dạng tần số như sau:
xi x1 x2 … xk
ni n1 n2 … nk
Khi đó
Các giá trị đặc trưng Mẫu cụ thể
x n  ...  xk nk
Giá trị trung bình x 1 1
n
Phương sai không hiệu chỉnh ( x  x ) n1  ...  ( xk  x ) 2 nk
2
ˆ2
sx  1
n
2 ( x1  x ) n1  ...  ( xk  x ) 2 nk
2
Phương sai hiệu chỉnh sx 
n 1

c. Phân tổ thống kê
- Việc phân tổ thống kê chủ yếu dựa vào phân tích và kinh nghiệm. Tuy nhiên
thông nếu kích thước mẫu khảo sát là n thì ta có thể phân làm k tổ với
k   3 2n   1 , với  x  là phần nguyên của x.
 
 
x  xmin
- Trường hợp phân tổ đều ta được khoảng cách mỗi tổ là h  max .
k
d. Sử dụng máy tính bỏ túi để tính các giá trị đặc trưng mẫu

- Nếu số liệu thống kê thu thập theo miền [a; b) hay (a; b] thì ta sử dụng giá
ab
trị đại diện cho miền đó là để tính toán.
2



Tác vụ 570MS 570ES
Bật chế độ nhập tần số Không cần Shift Mode  4 1
Khởi động gói Thống kê Mode Mode SD Mode STAT 1-Var
x1 Shift , n1 M+
 X FREQ
xk Shift , nk M+ x1 = n1 =
Nhập số liệu  
Nếu ni  1 thì chỉ cần xk = nk =
nhấn
xi M+
Xóa màn hình hiển thị AC AC
Xác định:
 Kích thước mẫu (n) Shift 1 3 = Shift 1 5 1 =
 Giá trị trung bình
(x ) Shift 2 1 = Shift 1 5 2 =
 Độ lệch chuẩn không
ˆ
hiệu chỉnh ( s x ) Shift 2 2 = Shift 1 5 3 =
 Độ lệch chuẩn hiệu Shift 2 3 = Shift 1 5 4 =
chỉnh ( s x )
Thoát khỏi gói Thống kê Mode 1 Mode 1

2. Khoảng tin cậy.
a) Khoảng tin cậy cho giá trị trung bình của tổng thể.
Trường hợp 1. (  đã biết)
 Khoảng tin cậy đối xứng.
1  
 ( z )   z    z  .   x  ; x  )
2 n
2 2 2
 Khoảng tin cậy bên trái.

 ( z )  0,5    z    z .  ; x  )
n
 Khoảng tin cậy bên phải.

 ( z )  0,5    z    z .   x   )
n
Trường hợp 2. (  chưa biết, n  30 )
1  s
 ( z )   z    z  .   x  ; x  )
2 n
2 2 2



s
 ( z )  0,5    z    z .  ; x  )
n
s
 ( z )  0,5    z    z .   x   )
n
Trường hợp 3. (  chưa biết, n<30)
 s
1    t  t  .   x  ; x  )
2 ( n 1; ) ( n 1; ) n
2 2
s
1      t( n1; )    t( n1;) .  ; x  )
n
s
1      t( n1; )    t( n1;) .   x  ;  )
n
b) Khoảng tin cậy cho tỉ lệ của tổng thể.
1  f (1  f )
 ( z )   z    z  .   f  ; f  )
2 n
2 2 2
f (1  f )
 ( z )  0,5    z    z .  ; f  )
n
f (1  f )
 ( z )  0,5    z    z .   f  )
n
c) Khoảng tin cậy cho phương sai của tổng thể.
Trường hợp 1. (  chưa biết)
- Nếu đề bài chưa cho s mà cho mẫu cụ thể thì phải xác định s2 (bằng máy
tính bỏ túi).
 Khoảng tin cậy 2 phía.
  1   2
2 2
 , 2  
2

( n 1;1 ) ( n 1; )
2 2
(n  1) s 2 (n  1)s 2
( ; )
22 12

(n  1) s 2
  1   2( n1;1)  (0;
2
2
)
1



Khoảng tin cậy bên phải.
2 2 (n  1) s 2
   2   ( n1; )  ( ; )
22
Trường hợp 2. (  đã biết)
k
- Tính (n  1) s 2   ni .( xi  ) 2
i 1
 Khoảng tin cậy 2 phía.
   2   2  , 1   2
2
2

( n; ) ( n;1 )
2 2
(n  1) s 2 (n  1)s 2
( ; )
22 12

(n  1) s 2
  1   2( n;1)  (0;
2
2
)
1
(n  1)s 2
   2   2( n; )  (
2 ; )
22

3. Kiểm định giả thuyết thống kê.
a) Kiểm định giả thuyết thống kê về giá trị trung bình của tổng thể.
Trường hợp 1. (  đã biết)
 H o :   o , H1 :   o
1  x  o
 ( z )   z  , z  . n
2 
2 2
- Nếu z  z  : Bác bỏ Ho.
2
- Nếu z  z  : Chấp nhận Ho.
2
 H o :   o , H1 :   o
x  o
 ( z )  0, 5    z , z  . n

- Nếu z   z : Bác bỏ Ho.
- Nếu z   z : Chấp nhận Ho.
 H o :   o , H1 :   o
x  o
 ( z )  0, 5    z , z  . n

- Nếu z  z : Bác bỏ Ho.
- Nếu z  z : Chấp nhận Ho.


LT XSTK - 10 - Tóm tắt công thức

Trường hợp 2. (  chưa biết, n  30 )
 H o :   o , H1 :   o
1  x  o
 ( z )   z  , z  . n
2 s
2 2
2
2
 H o :   o , H1 :   o
x  o
 ( z )  0, 5    z , z  . n
s
 H o :   o , H1 :   o
x  o
 ( z )  0, 5    z , z  . n
s
Trường hợp 3. (  chưa biết, n<30)
 H o :   o , H1 :   o
 x  o
 t  ,t  . n
2 ( n 1; ) s
2
- Nếu t  t  : Bác bỏ Ho.
( n 1; )
2
- Nếu t  t  : Chấp nhận Ho.
( n 1; )
2
 H o :   o , H1 :   o
x  o
  t( n1;) ,t  . n
s
- Nếu t  t( n1; ) : Bác bỏ Ho.
- Nếu t  t( n1; ) : Chấp nhận Ho.
 H o :   o , H1 :   o
x  o
  t( n1;) ,t  . n
s
- Nếu t  t( n 1; ) : Bác bỏ Ho.
- Nếu t  t( n1;) : Chấp nhận Ho.
b) Kiểm định giả thuyết thống kê về tỉ lệ của tổng thể.

ĐHNH TPHCM - 10 - Nguyễn Ngọc Phụng


 H o : p  po ,H1 : p  po
1  k f  po
 ( z )   z  , f  , z  . n
2 n po (1  po )
2 2
2
2
 H o : p  po ,H1 : p  po
k f  po
 ( z )  0,5    z , f  ,z  . n
n po (1  po )
 H o : p  po ,H1 : p  po
k f  po
 ( z )  0,5    z , f  ,z  . n
n po (1  po )
c) Kiểm định giả thuyết thống kê về phương sai của tổng thể.
Trường hợp 1. (  chưa biết)
- Nếu đề chưa cho s mà cho mẫu cụ thể thì phải sử dụng máy tính để xác
định s.
 H o : 2  o , H1 :2  o
2 2

(n  1) s 2
  1   2
2
, 2   2
2  , 2  2
( n 1;1 ) ( n 1; ) o
2 2
2
   2 2
- Nếu  : Bác bỏ H0.
 2  1

2

- Nếu 1   2  2 : Chấp nhận Ho.
2
2
 H o :   o ,H1 :2  2
2 2
o
(n  1) s 2
  1   2( n1;1 ) ,  2 
2
2
o
- Nếu 2  1 : Bác bỏ H0.
2

- Nếu 2  1 : Chấp nhận Ho.
2

 H o : 2  o ,H1 :2  o
2 2

(n  1) s 2
   2   2( n1; ) ,  2 
2 2
o



- Nếu 2   2 : Bác bỏ H0.
2
- Nếu 2  2 : Chấp nhận Ho.
2
4. Kiểm định giả thuyết thống kê: So sánh tham số của 2 tổng thể.
a) Kiểm định giả thuyết thống kê: So sánh giá trị trung bình của 2 tổng thể.
Trường hợp 1. ( 1, 2 đã biết)
 H o : 1   2 ,H1 : 1   2
1  x x
 ( z )   z  , z  1 2
2 2
1 22
2 2

n1 n2
2
2
 H o : 1   2 ,H1 : 1   2
x1  x2
 ( z )  0, 5    z , z 
2 2
1 2

n1 n2
 H o : 1   2 ,H1 : 1   2
x x
 ( z )  0, 5    z , z  1 2
2 2
1 2

n1 n2
Trường hợp 2. ( 1, 2 chưa biết, n1n2  30 )
 H o : 1   2 ,H1 : 1   2
1  x x
 ( z )   z  , z  1 2
2 2
s1 s2 2
2 2

n1 n2
2
2



 H o : 1   2 ,H1 : 1   2
x1  x2
 ( z )  0,5    z , z 
2 2
s1 s2

n1 n2
 H o : 1   2 ,H1 : 1   2
x x
 ( z )  0,5    z , z  1 2
2 2
s1 s2

n1 n2
Trường hợp 3. ( 1  2 chưa biết, n1 ,n2  30 )
 H o : 1   2 ,H1 : 1   2
2 2
 x1  x2 (n  1).s1  (n2  1).s2
 t  ,t  , với s 2  1
2 ( n1  n2  2; ) 1 1 n1  n2  2
2 s2 (  )
n1 n2
( n1  n2  2; )
2
( n1  n2  2; )
2
 H o : 1   2 ,H1 : 1   2
2 2
x1  x2 (n  1).s1  (n2  1).s2
  t( n1 n2 2;) ,t  , với s 2  1
1 1 n1  n2  2
s2 (  )
n1 n2
- Nếu t  t  : Bác bỏ Ho.
( n1  n2  2; )
2
- Nếu t  t  : Chấp nhận Ho.
( n1  n2  2; )
2
 H o : 1   2 ,H1 : 1   2
2 2
x1  x2 (n  1).s1  (n2  1).s2
  t( n1 n2 2;) ,t  , với s 2  1
1 1 n1  n2  2
s2 (  )
n1 n2
( n1  n2  2; )
2
( n1  n2  2; )
2



b) Kiểm định giả thuyết thống kê: So sánh tỉ lệ của 2 tổng thể.
k k k k
f1  1 , f 2  2 , f  1 2
n1 n2 n1  n2
 H o : p1  p2 ,H1 : p1  p2
1  f1  f 2
 ( z )   z  , z 
2 1 1
2 2 f (1  f ).(  )
n 1 n2
2
2
 H o : p1  p2 ,H1 : p1  p2
f1  f 2
 ( z )  0, 5    z , z 
1 1
f (1  f ).(  )
n 1 n2
 H o : p1  p2 ,H1 : p1  p2
f1  f 2
 ( z )  0, 5    z , z 
1 1
f (1  f ).(  )
n 1 n2
c. Kiểm định giả thuyết thống kê: So sánh phương sai của 2 tổng thể.
- 1, 2 chưa biết nên tính s1 và s2 từ mẫu (sử dụng máy tính) nếu đề bài chưa
cho.
 H o : 12  2 ,H1 :12  2
2 2

2
s1  
- f  2
, f1  f (n1  1; n2  1;1  ), f 2  f (n1  1; n2  1; )
s2 2 2
 f  f1
- Nếu  : Bác bỏ Ho.
 f  f2
- Nếu f1  f  f 2 : Chấp nhận Ho.
 H o : 12  2 ,H1 :12   2
2 2

2
s1
- f  2
, f1  f (n1  1; n2  1;1   )
s2
- Nếu f  f1 : Bác bỏ Ho.
- Nếu f1  f : Chấp nhận Ho.



 H o : 12  2 ,H1 :12  2
2 2

2
s1
- f 
2
, f 2  f (n1  1; n2  1; )
s2
- Nếu f  f 2 : Bác bỏ Ho.
- Nếu f  f 2 : Chấp nhận Ho.
5. Hệ số tương quan mẫu và phương trình hồi quy tuyến tính mẫu.

n n n
n xi yi   xi  yi
i 1 i 1 i 1
a. Hệ số tương quan mẫu: r 
n n n n
n xi2  ( xi )2 n yi2  ( yi )2
i 1 i 1 i 1 i 1

Phương trình hồi quy tuyến tính mẫu:   A  Bx
y
n n n n n
n xi yi   xi  yi  yi  B. xi
i 1 i 1 i 1 i 1 i 1
với B  n n
và A  .
2 2 n
n x  ( xi )
i
i 1 i 1

b. Trong trường hợp sử dụng bảng tần số:
xi x1 x2 … xk
yi y1 y2 … yk
ni n1 n2 … nk

Ta tính theo công thức thu gọn như sau:
k k k
n ni xi yi   ni xi  ni yi
i 1 i 1 i 1
Hệ số tương quan mẫu: r 
k k k k
n ni xi2  ( ni xi )2 n ni yi2  ( ni yi )2
i 1 i 1 i 1 i 1

Phương trình hồi quy tuyến tính mẫu:   A  Bx với
y
k k k k k
n ni xi yi   ni xi  ni yi n y i i
 B. ni xi
i 1 i 1 i 1 i 1 i 1
B k k
và A  .
2 2 n
n n x  ( ni xi )
i i
i 1 i 1



c. Sử dụng máy tính bỏ túi để tính hệ số tương quan mẫu và phương trình hồi quy
tuyến tính mẫu:

Tác vụ CASIO 570MS CASIO 570ES
Bật chế độ nhập tần số Không cần Shift Mode  4 1
Khởi động gói Hồi quy
Mode Mode Reg Lin Mode STAT A+BX
tuyến tính
x1 , y1 Shift , n1 M+
 X Y FREQ
xk , yk Shift , nk M+ x1 = y1 = n1 =
Nhập số liệu   
ni  1 thì chỉ cần nhấn xk = yk = nk =
xi , yi M+
Xóa màn hình hiển thị AC AC
Xác định:
 Hệ số tương quan Shift 2  3 = Shift 1 7 3 =
mẫu (r)
 Hệ số hằng: A Shift 2  1 = Shift 1 7 1 =
 Hệ số ẩn (x): B Shift 2  2 = Shift 1 7 2 =

Thoát khỏi gói Hồi quy Mode 1 Mode 1

Lưu ý: Máy ES nếu đã kích hoạt chế độ nhập tần số ở phần Lý thuyết mẫu rồi thì
không cần kích hoạt nữa.
……………………………………….


Tom tat cong thuc xstk

More Related Content

What's hot

Viewers also liked

Similar to Tom tat cong thuc xstk

Tom tat cong thuc xstk