04 fisica - conservacion energia trabajo

04 fisica - conservacion energia trabajo

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  Problemas de F´ısica1o Bachillerato Principio de conservaci´on de la energ´ıa mec´anica 1. Desde una altura h dejamos caer un cuerpo. Hallar en qu´e punto de su recorrido se cumple Ec = 1 4 Ep 2. Desde la parte inferior de un plano inclinado lanzamos hacia arriba un cuerpo con una velocidad inicial de 10 m/s, tal y como indica la figura. El cuerpo recorre una distancia de 4 metros sobre el plano hasta que se detiene. Calcular, aplicando el principio de conservaci´on de la energ´ıa mec´anica, cual es el valor del coeficiente de rozamiento. 45º v0=10 m/s Δe=4 m 3. Desde el suelo lanzamos hacia arriba un cuerpo con una velocidad inicial de 20 m/s. Vamos a suponer que el rozamiento con el aire es una fuerza constante y de valor 10 N. Hallar a qu´e altura m´axima llega, y que ´esta es menor que si no hubiera rozamiento. (Masa del cuerpo 10 kg) 4. Una masa de 30 g comprime un muelle de constante el´astica 100 N/m una longitud de 15 cm, ver figura. Cuando se suelta, el muelle empuja la masa hacia arriba de un plano inclinado 20o . El coeficiente de rozamiento en todo el recorrido es µ=0.2. Calcula la velocidad que tiene la masa en el momento en el que el muelle recupera su longitud natural. 20º
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  5. Un autom´ovilde 1200 kg sube una pendiente del 10% a 90 km/h. Si el coeficiente de rozamiento din´amico es µ=0.4, calcular cual es la potencia en caballos desarrollada por el motor. 6. Si dejamos caer un cuerpo desde una altura H llega al suelo con una velocidad v. ¿Si duplicamos la altura se duplicar´a la velocidad con qu´e llega al suelo? Justi- ficar usando el principio de conservaci´on de la energ´ıa mec´anica. (El rozamiento se considera despreciable) 7. Desde un plano inclinado 45◦ , tal y como muestra la figura se deja caer un cuerpo. Usando el principio de conservaci´on de la energ´ıa calcular qu´e distancia recorre el cuerpo sobre el plano horizontal hasta que se detiene. Hay rozamiento tanto en el plano inclinado como en el tramo horizontal. h=5 m, µ=0.2, m=2 kg. 45º e=? 2 kg 2 kg 5 m Resoluci´on de los problemas Problema 1 Como nos preguntan en que punto de su recorrido ocurre la relaci´on indicada, es decir, que su energ´ıa cin´etica es la cuarta parte de la energ´ıa potencial, vamos a suponer que la altura m´axima a la que asciende el cuerpo es H. En el punto m´as alto la velocidad a la que llega es nula, por lo tanto, usando el principio de conservaci´on de la energ´ıa mec´anica, en ese punto tendremos que EM = Ec + Ep = 1 2 mv2 + mgh = 1 2 m 02 + mgH = mgH (1) Sustituyendo en la f´ormula de la energ´ıa mec´anica la condici´on del problema EM = Ec + Ep = 1 4 Ep + Ep = 5 4 Ep = 5 4 mgh (2) 2
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  Como la energ´ıamec´anica seg´un la ecuaci´on (1) es mgH, sustituyendo en la ecuaci´on (2) mgH = 5 4 mgh de donde simplificando m y g calculamos h h = 4 5 H Problema 2 Como ahora existe rozamiento, el principio de conservaci´on de la energ´ıa toma ahora la forma EMi = EMf + WR (3) La energ´ıa mec´anica inicial EMi ser´a la suma de la energ´ıa cin´etica m´as la potencial. Como el cuerpo parte desde el suelo su energ´ıa potencial es nula, por lo tanto su energ´ıa mec´anica vendr´a dada s´olo por la cin´etica, es decir EMi = 1 2 mv2 0 De la misma manera, en el instante final el cuerpo se detiene despu´es de subir una altura h, por lo que su energ´ıa mec´anica final s´olo ser´a energ´ıa potencial gravitatoria EMf = mgh La altura h que asciende el cuerpo puede hallarse sabiendo la distancia ∆e que recorre sobre el plano. Por trigonometr´ıa, la altura a la que sube el cuerpo no es m´as que el cateto opuesto del tri´angulo y la hipotenusa la distancia recorrida sobre el plano, luego sin α = h ∆e , de donde despejando, h = ∆e sin α (4) El trabajo de rozamiento, WR, se calcula con la f´ormula WR = FR ∆e pues el desplazamiento y la fuerza en este caso son paralelos y llevan el mismo sentido (cos ϕ = 1). Sustituyendo en la ecuaci´on (3) todo lo obtenido y teniendo en cuenta que FR = µmg cos α llegamos a que 1 2 mv2 0 = mgh + µ mg cos α∆e 3
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  En esta ´ultimaecuaci´on, simplificando las masas de todos los miembros, sustituyendo el valor de h de la ecuaci´on (4) y multiplicando todo por dos, llegamos a v2 0 = 2 g sin α∆e + 2 µg cos α∆e Despejando µ de esta ´ultima µ = v2 0 − 2 g sin α∆e 2 g cos α∆e (5) Sustituyendo en la ecuaci´on (5) los datos del problema µ = 102 − 2 · 9, 8 · sin 45 · 4 2 · 9, 8 · cos 45 · 4 = 44, 563 55, 437 = 0, 803 Problema 3 En este problema tambi´en interviene la fuerza de rozamiento del aire, as´ı pues, una vez m´as EMi = EMf + WR La fuerza de rozamiento es constante y su valor nos lo dan. En nuestro caso, la distancia sobre la que act´ua el rozamiento es igual a la altura que asciende el cuerpo (∆e = h). La energ´ıa mec´anica inicial ser´a s´olo energ´ıa cin´etica y la final s´olo energ´ıa potencial ya que el cuerpo se detiene. Sustituyendo todo esto en la ecuaci´on anterior 1 2 mv2 0 = mgh + FR h Sacando factor com´un a h 1 2 mv2 0 = h (mg + FR) y despejando h = mv2 0 2(mg + FR) (6) Sustituyendo los valores del problema en la ecuaci´on (6) h = 10 · 202 2 · (10 · 9, 8 + 10) = 4000 216 = 18, 51 m Para demostrar el ´ultimo apartado del problema, al no haber fuerza de rozamiento, si hacemos FR = 0 en la ecuaci´on (6) nos queda h = mv2 0 2mg = v2 0 2g = 202 2 · 9, 8 = 400 19, 6 = 20, 4 m 4
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  altura que esmayor que cuando consider´abamos la fuerza de rozamiento. Problema 4 A diferencia de los problemas considerados antes, ahora, al tener un muelle hemos de considerar la energ´ıa potencial el´astica que posee cuando est´a comprimido. Si un muelle se comprime una distancia y respecto de su posici´on de equilibrio, la energ´ıa potencial que almacena es, como ya sabemos, Ep = 1 2 k y2 (7) donde k es la constante el´astica del muelle. Como tambi´en tenemos rozamiento una vez m´as el principio de conservaci´on de la energ´ıa se escribe EMi = EMf + WR (8) con la diferencia de que en la energ´ıa mec´anica hemos de contar esta vez la energ´ıa cin´etica, la energ´ıa potencial gravitatoria (pues el cuerpo asciende por el plano) y la energ´ıa potencial el´astica. Nos piden hallar qu´e velocidad adquiere el cuerpo cuando el muelle se destensa. Tomando como origen de alturas el punto donde se halla el cuerpo unido al muelle, la energ´ıa inicial vendr´a dada por la energ´ıa potencial el´astica, ya que el cuerpo no posee velocidad. Por lo tanto EMi = 1 2 k y2 La energ´ıa mec´anica final vendr´a dada por la potencial gravitatoria y por la cin´etica, pues al destensarse el muelle, ´este no tiene energ´ıa el´astica, luego EMf = 1 2 mv2 + mgh El trabajo de rozamiento ser´a como siempre WR = FR ∆e. Sustituyendo todo en la ecuaci´on (8) 1 2 ky2 = 1 2 mv2 + mgh + FR ∆e (9) Vamos a hacer ahora algunas consideraciones respecto a la ecuaci´on (9). La distancia y que est´a comprimido el muelle es igual al espacio ∆e que recorre el cuerpo, entonces y = ∆e. Por otra parte la distancia recorrida sobre el plano inclinado y la altura h est´an relacionadas por el sin α, como ya demostramos en el Problema 2, f´ormula (4), de donde por lo dicho se deduce que h = ∆e sin α ⇒ h = y sin α 5
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  Teniendo en cuentatodo esto, la ecuaci´on (9) se convierte en 1 2 ky2 = 1 2 mv2 + mg y sin α + µmg cos α y (10) en la que hemos sustituido el valor de de FR. Multiplicando la ecuaci´on (10) por dos ky2 = mv2 + 2mg y sin α + 2µmgy cos α y despejando la velocidad v = ky2 − 2mg y sin α − 2µmgy cos α m (11) Sustituyendo en (11) los datos del problema, expresados en unidades del SI (30 g=0,03 kg y 15 cm =0,15 m) v = 100 · 0, 152 − 2 · 0, 03 · 9, 8 · 0, 15 · sin 20 − 2 · 0, 2 · 0, 03 · 9, 8 · 0, 15 · cos 20 0, 03 = 2, 20325 0, 03 = 73, 441 = 8, 57 m/s Problema 5 Como el coche sube con velocidad constante, la potencia P desarrollada por el motor es P = F · v (12) Al ascender por la pendiente, la fuerza necesaria para conseguirlo vendr´a de sumar la componente tangencial del peso y la fuerza de rozamiento F = FT + FR = mg sin α + µmg cos α (13) La pendiente es de un 10%, lo cual significa que por cada 100 m subidos a lo largo del plano se suben 10 m en altura, o sea, el porcentaje de la pendiente nos da el valor del seno del ´angulo de la pendiente, sin α = 10 100 = 0, 1, ⇒ cos α = 1 − sin2 α = 1 − 0, 12 = 0, 99 = 0, 9949 Sustituyendo los datos en la ecuaci´on (13) F = 1200 · 9, 8 · 0, 1 + 0, 4 · 1200 · 9, 8 · 0, 9949 = 5856, 42 N 6
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  Y con lavelocidad, 90 km/h ⇒ 25 m/s, sustiuyendo en (12) P = 5856, 42 · 25 = 146410, 52 W Para pasar la potencia a caballos, como 1 CV=735 W, dividiendo el ´ultimo resultado entre 735 P = 146410, 52 735 = 199, 19 CV Problema 6 En un punto situado a una altura H, la energ´ıa mec´anica de un cuerpo en reposo (v=0) ser´a EMi = Ec + Ep = 1 2 mv2 + mgH = 0 + mgH = mgH (14) Cuando el cuerpo llega al suelo toda la energ´ıa mec´anica ser´a ahora energ´ıa cin´etica pues la altura es nula EMf = Ec + Ep = 1 2 mv2 + mg · 0 = 1 2 mv2 (15) Como la energ´ıa mec´anica se conserva, EMi = EMf , igualando (14) y (15) 1 2 mv2 = mgH Eliminando m, podemos determinar con qu´e velocidad llega el cuerpo al suelo, resultando ser v = 2gH (16) Ahora nos dicen que la altura la multiplicamos por 2, por lo tanto la velocidad, llam´emosla v , con que el cuerpo llega ahora al suelo ser´a v = 2g · 2H = 4gH = 2 gH (17) Dividiendo (17) entre (16) sabremos la relaci´on entre las velocidades v v = 2 √ gH √ 2gH = 2 √ gH √ 2 √ gH = 2 √ 2 = √ 2 y entonces v = √ 2v Al multiplicar la altura por 2, la velocidad no se multiplica por 2 sino por √ 2 7
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  Problema 7 La conservaci´onde la energ´ıa mec´anica, como tenemos rozamiento, ser´a de nuevo EMi = EMf + WR Vamos a fijarnos en el dibujo para comprender bien cuales son los valores iniciales y finales. Al principio el cuerpo se halla en reposo y a una altura de 5 m por lo que su energ´ıa mec´anica ser´a s´olo potencial gravitatoria. 45º e=? 2 kg 2 kg 5 m Al final el cuerpo ha vuelto al suelo y est´a en reposo por lo que su energ´ıa potencial es nula y la cin´etica tambi´en, luego la energ´ıa mec´anica final ser´a cero. El trabajo de rozamiento habr´a que dividirlo en dos partes ya que la fuerza de roza- miento no vale lo mismo sobre el plano inclinado y sobre el plano horizontal. Por todo ello, el principio de conservaci´on de la energ´ıa mec´anica se escribe ahora mgh = WR1 + WR2 donde WR1 es el trabajo sobre el plano inclinado y WR2 sobre el plano horizontal. En funci´on de estos trabajos pues mgh = FR1 ∆e1 + FR2 ∆e2 (18) El espacio que hemos de calcular es ∆e2 y es el que en la figura hemos representado por e. El espacio ∆e1 podemos ponerlo una vez m´as en funci´on de la altura con la ecuaci´on (4), h = ∆e sin α, de donde ∆e1 = h sin α (19) Teniendo en cuenta el valor de la fuerza de rozamiento en cada plano y sustituyendo en (18) mgh = µmg cos α h sin α + µmg∆e2 (20) 8
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  En la ecuaci´on(20) podemos eliminar el factor mg de todos sus miembros, obteniendo h = µh cos α sin α + µ∆e2 = µh cot α + µ∆e2 (21) Y finalmente el valor del espacio recorrido sobre el plano horizontal es ∆e2 = h − µh cot α µ (22) Sustituyendo en (22) todos los valores ∆e2 = 5 − 0, 2 · 5 · cot 45 0, 2 = 5 − 0, 2 · 5 · 1 0, 2 = 4 0, 2 = 20 m F´ORMULAS USADAS EN LOS PROBLEMAS Trabajo W = F∆e cos ϕ Energ´ıa cin´etica Ec = 1 2 mv2 Energ´ıa potencial gravitatoria Ep = mgh Energ´ıa potencial el´astica Epe = 1 2 ky2 Trabajo de rozamiento WR = FR∆e Energ´ıa mec´anica EM = Ec + Ep = 1 2 mv2 + mgh Conservaci´on de la energ´ıa mec´anica EMi = EMf Conservaci´on de la energ´ıa mec´anica en presencia de fuerzas de rozamiento no conserva- tivas EMi = EMf + WR c Jos´e Bosch Bailach 9